Philosophische Probleme der Naturwissenschaften

Naturwissenschaft und Mathematik. Ontologische und erkenntnistheoretische Grundlagen der Mathematisierung des Wissens

Der bekannte Physiker Eugen Wigner sprach von der “unbegreiflichen Anwendbarkeit“ der Mathematik in den Naturwissenschaften, und N. Bourbaki schrieb: “In ihrer axiomatischen Form erscheint Mathematik als Ansammlung mathematischer Strukturen, und es stellt sich heraus, aus welchem Grund auch immer, dass einige Aspekte der Realität wie durch ein Vorherbestimmen in diese Formen zu passen scheinen.“

In der Tat enthalten einige philosophische Konzepte idealistische und mystische Elemente in ihren Versuchen, die ontologische Grundlage der Anwendbarkeit der Mathematik in der Erkenntnis zu begründen. So erklärte Pythagoras, dass “alles Zahl ist“ und “die Welt von Zahlen regiert wird“. Platon identifizierte Feuer, Wasser, Erde, Luft und Äther mit den regelmäßigen Polyedern. Kepler baute sogar ein Modell des Sonnensystems auf Grundlage der fünf “platonischen Körper“. Gottfried Wilhelm Leibniz behauptete, zwischen Mathematik und Natur existiere eine vorgesehene Harmonie. In der modernen Philosophie reduzieren die “logischen Atomisten“ Mathematik auf Logik.

Es wurden auch vielfältige erkenntnistheoretische Begründungen für die Mathematisierung des Wissens gegeben. So betrachtete Platon mathematisches Wissen als in der Seele des Menschen eingraviert, nicht als auf praktischer Erfahrung basierend. Kant erklärte die universelle Anwendbarkeit der Mathematik damit, dass Arithmetik und Geometrie apriorische Formen unserer “Sinnlichkeit“ seien und deshalb in jeder Erfahrung gegenwärtig sind, so dass es nicht die Dinge oder den Raum gibt, die dreidimensional sind, sondern unsere Wahrnehmung. In der modernen Mathematikphilosophie stützen die Intuitionisten die Arithmetik auf eine apriorische Anschauung der Zeit, und die übrige Mathematik auf die Arithmetik.

Die rationale Erklärung für die universelle Anwendbarkeit der Mathematik in der Erkenntnis besteht darin, dass Qualität und Quantität von Dingen für sich allein nur in der Abstraktion existieren, während einzig ihr Einheit, die als “Maß“ bezeichnet wird, objektive Existenz hat.

Die Kategorie des Maßes spielte bereits in der Philosophie der Vorsokratiker eine fundamentale Rolle, wie die Äußerungen von Pythagoras und Heraklit belegen. Daher vermieden die Griechen insbesondere die Verwendung der Abstraktion der aktuellen Unendlichkeit, die nicht dem Gesetz des Maßes unterliegt. Der “fünfte Postulat“ von Euklid über parallele Linien, in dem die Idee der aktuellen Unendlichkeit implizit enthalten ist, erschien ihnen nicht so selbstverständlich wie andere Axiome und Postulate, und das Axiom “Das Ganze ist größer als der Teil“ verbot es direkt, Objekte wie unendliche Mengen zu betrachten, bei denen der Teil gleich dem Ganzen ist. Die Entdeckung der Unmessbarkeit von Segmenten durch die griechischen Mathematiker, d. h. das Fehlen einer gemeinsamen Maßeinheit, führte zur ersten Krise in den Grundlagen der Mathematik.

Da die Methode der Erkenntnis immer durch die Natur des erkennbaren Objekts bestimmt ist, erklärt die ontologische Universalität des Maßes die erkenntnistheoretische Universalität der Mathematik.

“Zur Mathematik gehören“, schrieb Descartes, “nur jene Wissenschaften, in denen entweder Ordnung oder Maß betrachtet wird, und es ist völlig unerheblich, ob es sich dabei um Zahlen, Figuren, Sterne, Töne oder etwas anderes handelt.“ Descartes hielt es für möglich, jede korrekt formulierte wissenschaftliche Frage auf die Lösung einer mathematischen Aufgabe zu reduzieren; jede mathematische Aufgabe wiederum könne auf eine algebraische reduziert werden, und jede algebraische Aufgabe auf die Lösung einer einzigen Gleichung. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, eine unbekannte Größe durch bekannte auszudrücken. Jede wissenschaftliche Aufgabe kann gelöst werden, wenn ihre Formulierung von allem Überflüssigen befreit wird und auf die Beziehungen der einfachsten intuitiv verständlichen Begriffe reduziert wird. So betrachtete Descartes die gesamte physische Welt als möglich, durch das Konzept der Ausdehnung zu beschreiben. Raum und Zeit sind verschiedene Arten von Ausdehnung, und Geschwindigkeit ist das Verhältnis von Raum zu Zeit. Die Bewegung eines Punktes wird vollständig durch zwei Parameter beschrieben — Geschwindigkeit und Richtung. Wenn in einem Raum (zweidimensional) eine Metrik eingeführt wird, wird jeder Punktposition ein Zahlenpaar zugeordnet, und die Trajektorie der Bewegung eines Punktes wird zu einer Zahlsequenz.

Durch die Bewegung eines Punktes entsteht ein “geometrischer Ort der Punkte“, oder eine Menge von Punkten, die durch ein gemeinsames Merkmal definiert sind, und zwischen den “aktuell“ Koordinaten eines Punktes besteht ein regelhaftes Verhältnis, das diese Punkte nacheinander erzeugt. Die Bewegungsgleichung ist das Zeichenmodell des Prozesses.

Ein abstraktes Verhältnis hat somit zwei verschiedene, aber koordinierte “Projektionen“ — eine geometrische, anschauliche Darstellung und eine numerische Ausdrucksweise. Darin besteht, so Descartes, die Essenz der Mathematisierung der Natur: “Physik“ wird auf Geometrie reduziert, Geometrie auf Arithmetik, und letztere wird in der Sprache der Algebra ausgedrückt, die die Besonderheit hat, dass sie, obwohl sie vollständig symbolisch ist, alles ausdrücken kann. Die Schaffung praktischer Bezeichnungen wurde zu einer entscheidenden Bedingung für die Mathematisierung der Naturwissenschaften im 17. Jahrhundert. François Viète und Leibniz leisteten einen Beitrag zur Verbesserung der Symbolik. Letzterer meinte, dass die Bezeichnungen “die Vorstellungskraft anregen sollten“, d. h. die Symbole selbst sollten eine heuristische Rolle bei der Erlangung neuer Ergebnisse spielen und nicht einfach das bereits Entdeckte ohne deren Teilnahme fixieren.

Allerdings gebührt das Verdienst für die effektive Anwendung der Mathematik zur Beschreibung der Natur nicht Descartes, sondern Newton, weshalb man sagt: “Descartes erklärte alles, aber rechnete nichts, Newton rechnete alles, aber erklärte nichts“, weshalb die Physik von Descartes als “hypothetisch“ und die von Newton als “mathematisch“ bezeichnet wird.

Hegel seinerseits betonte ebenfalls, dass “die Mathematik der Natur, wenn sie eine Wissenschaft werden will, im Wesentlichen eine Wissenschaft der Maße sein muss“. Da Struktur ebenso ein spezifisches Einheit von Quantität und Qualität ist wie das Maß, sagt N. Bourbaki nichts anderes, wenn er Mathematik als die Wissenschaft der Strukturen definiert. Sogar das Unendliche als spezifisches mathematisches Objekt ist nicht nur unbegrenzte Wiederholung, sondern “Unendlichkeit der Maßverhältnisse“ oder “Knotenlinie“ der Maße.

Mathematisierung des Wissens in der Astronomie und Mechanik

Früher als in anderen Wissenschaften drang die Mathematik in die Mechanik und Astronomie ein. Mit mechanischen Phänomenen setzten sich die Menschen bereits in den ersten Jahrhunderten der Zivilisation auseinander. Das Schifffahren, das Bewegen von Lasten mit Hilfe von Hebeln, die Bedingungen des Gleichgewichts der Kräfte — überall war zumindest ein grundlegendes Wissen über Mechanik erforderlich.

Die Mechanik untersucht die allgemeinste und grundlegendste Art der Bewegung, auf die jede andere Veränderung zurückgeführt werden kann. Diese Idee bildet die Grundlage der atomistischen Theorie des Demokrit.

Der Beginn der mathematischen Beschreibung der Natur war die Erstellung des Kalenders. Die babylonischen Priester entdeckten, dass Sonnenfinsternisse alle 6585 Tage wiederkehren, was langjährige Beobachtungen an verschiedenen Orten erforderte, da aufeinanderfolgende Finsternisse in der Regel nur in unterschiedlichen Teilen der Erde sichtbar sind. Dies wurde mathematisch noch von Hipparchus von Rhodos begründet.

Die Bewegungen der Himmelskörper zeichnen sich durch außergewöhnliche Regelmäßigkeit aus, weshalb Aristoteles behauptete, dass Mathematik nur für die “überirdische Welt“ anwendbar sei.

Geometrie und Trigonometrie, die für die Geodäsie, die Navigation und den Bauwesen von Bedeutung waren, wurden auch in der Astronomie verwendet, da das Himmelsgewölbe der irdischen Oberfläche ähnlich war. In der Astronomie fand nicht nur die ebene, sondern auch die sphärische Trigonometrie Anwendung. Die Schaffung des heliozentrischen Systems wäre nicht möglich gewesen, hätte Nikolaus Kopernikus, abgesehen von seinen medizinischen und juristischen Kenntnissen, während seines zehnjährigen Aufenthalts in Italien nicht auch gründliche Kenntnisse in Geometrie erworben. Die mathematische Bearbeitung der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe führte Johannes Kepler zur Hypothese, dass die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch seien.

Doch es war Isaac Newton, der als Erster in der Astronomie gezielt die Methode des mathematischen Modellierens anwandte. Zunächst ersetzte er die Planeten durch materielle Punkte, die als Zentren von Kräften fungierten, die nur vom Abstand abhängen. Danach verkomplizierte er allmählich das ursprüngliche, einfache Modell, um es in der Lage zu machen, die beobachteten Phänomene zu erklären. Die heuristische Rolle der Mathematik bestand dabei darin, die Intuition in die richtige Richtung zu lenken.

Mathematik als Sprache der Wissenschaft

Im Allgemeinen spielt die Mathematik im Hinblick auf die Naturwissenschaften die Rolle einer formalen Metatheorie, die einen Vorrat an fertigen Formen zur Darstellung von Wissen bereitstellt. Doch als nützliche und bequeme Sprache der Wissensdarstellung führt die Mathematik, wie jede von uns verwendete Sprache, unmerklich auch zu solchen Objekten, die nur im Rahmen der Sprache existieren. Schon Parmenides bemerkte, dass die Sprache uns in die Irre führt, da sie das Wort “Nichtsein“ enthält, obwohl es das Nichtsein nicht gibt. So erschafft die Statistik “Durchschnittswerte“, die in der Realität nicht existieren, und in der platonischen Mathematik wird zugelassen, dass Elemente einer Menge nicht nur Individuen, sondern auch Mengen sind, was zu Paradoxien führt. Dadurch entsteht der Eindruck, dass “mathematische Formeln unabhängig von uns existieren, dass sie klüger sind als ihre Schöpfer“, wie Heinrich Hertz schrieb.

Gleichzeitig, indem der Physiker mit einem mathematischen Modell eines Prozesses in Form einer Gleichung arbeitet und diese willkürlich verändert, erhält er neue Beziehungen zwischen Größen, die im Experiment noch nicht beobachtet wurden. Dies ist der Methodus der mathematischen Extrapolation, durch die viele wichtige Ergebnisse erzielt wurden. So modifizierte James Clerk Maxwell die Gleichungen der Elektrodynamik so, dass daraus logisch das Vorhandensein eines variablen elektromagnetischen Feldes folgte, das sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet — die “Hertz-Wellen“. Albert Einstein schrieb: “Ich bin überzeugt, dass ein rein mathematischer Aufbau Gesetze entdecken wird, die den Schlüssel zum Verständnis der Phänomene der Natur liefern“ (1955).

Bedeutung der mathematischen “Idee der Invarianz“ in der Physik

Ein Beispiel für die produktive Verwendung einer wichtigen mathematischen Idee in der Physik ist das Prinzip der Invarianz (Symmetrie). Im Jahr 1841 entdeckte der englische Mathematiker und Logiker George Boole eine Klasse algebraischer Funktionen, die unter bestimmten Transformationen invariante Eigenschaften aufwiesen. Später entwickelten Arthur Cayley und James Joseph Sylvester ein neues Gebiet der Algebra — die Theorie der Invarianten. In der Physik entspricht der mathematischen Idee der Invarianz die Idee der Relativität. Als grundlegendes Merkmal mechanischer Bewegung wurde ihre Relativität von Galileo festgestellt und erlangte in den Theorien des 20. Jahrhunderts, besonders in denen von Albert Einstein, fundamentale Bedeutung. Einstein wies darauf hin, dass alle physikalischen Gesetze die Eigenschaft der Invarianz besitzen müssen.

In anderen Wissenschaften zeigte sich das Invarianzmerkmal gewisser Größen bei der Anwendung mathematischer und systematisch-struktureller Methoden des Erkennens. So tritt die Struktur als invariantes Element von Systemen in der Chemie, Kristallographie, Biologie, Soziologie und Linguistik auf. Der Isomorphismus von Strukturen verschiedenartiger Phänomene schafft die Grundlage für ihre einheitliche mathematische Beschreibung. Beispielsweise hat Coulombs Gesetz der Wechselwirkung elektrischer Ladungen die gleiche mathematische Form wie das Gesetz der “Gravitation“ von Isaac Newton.

Einstein erkannte, dass Raum- und Zeitparameter, die Trajektorie der Bewegung und die Masse in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich sein können, also sich in ihrer Größe ändern können, je nach Art der Darstellung oder Beschreibung (den “Transformationen“, der “Umformulierung“), dass jedoch invariierende Eigenschaften bestehen und Gesetze existieren, die die veränderlichen Merkmale miteinander verbinden und deren gemeinsame Veränderlichkeit koordinieren.

Die Mathematik selbst wird, wie bereits Felix Klein in seinem “Erlangen-Programm“ (1872) zeigte, durch die Idee der Invarianz geordnet. So wird die Geometrie zu einem Spezialfall der Invariantentheorie. Die Gruppentheorie, ein Teilgebiet der Algebra, ermöglicht es, nicht nur die physikalische Welt, sondern auch die Mathematik neu zu betrachten. Zwischen dem Begriff der Zahl und dem der Gruppe besteht eine tiefgehende Verbindung. Aus erkenntnistheoretischer Sicht stellt das Konzept der Gruppe die gleiche Problematik auf einer höheren Ebene dar, die auch mit dem Konzept der Zahl verbunden ist. Die Bildung der natürlichen Zahlenreihe begann mit der Bestimmung des “ersten Elements“ und der Regel, die die folgenden Zahlen erzeugte. Egal wie weit man sich in der Komplexität der erzeugten “Elemente“ voranbewegt, alle gehören derselben Gesamtheit, der “Gruppe“, an. In der Gruppentheorie wird der Gegensatz zwischen “Element“ und “Operation“ überwunden. Operationen werden zu Elementen. Eine Gruppe ist eine geschlossene Menge von Operationen, wenn zwei beliebig aufeinanderfolgende Transformationen dasselbe Ergebnis liefern wie eine einzelne Operation. Nur durch das Konzept der Gruppe konnte Hermann Minkowski der speziellen Relativitätstheorie von Einstein eine strenge mathematische Form geben und sie auf völlig neue Weise präsentieren.

Die Rolle der Messung in der Mathematisierung des Wissens

In das naturwissenschaftliche Wissen werden Zahlenwerte durch Messungen eingeführt. Messung bezeichnet das Verfahren, bei dem die Eigenschaften von Objekten in Form von Zahlenwerten oder Zahlen dargestellt werden. In der Naturwissenschaft sind Beobachtungen in der Regel mit Messungen der beobachteten Parameter verbunden. Zunächst werden die vorhandenen Eigenschaften in qualitative Klassen unterteilt und durch Vergleich hinsichtlich des “Mehr-Weniger“ in Bezug auf die Intensität eines bestimmten gewählten Parameters geordnet. Jeder Abstufung kann ein gewisser numerischer Wert oder Punkt zugewiesen werden. So wird die Härte von Mineralien nach einer zehnstufigen Skala bewertet. Ein Quecksilberthermometer stellt auf der Skala subjektive Wärmeempfindungen oder den Grad der Erwärmung als eine Reihe von Werten dar, die der Größe der thermischen Ausdehnung des Arbeitskörpers, des Quecksilbers, entsprechen. Der Erfinder des Thermometers stützte sich auf die Hypothese einer gleichmäßigen Volumenzunahme bei Erwärmung. Der Schöpfer der klassischen Messtheorie, H. Helmholtz, bezeichnet als “fundamentale“ Messungen solche, die keine vorhergehenden Messungen erfordern, während Messungen, die von anderen abhängen, als “abgeleitete“ Messungen bezeichnet werden. R. Carnap sprach von “klassifizierenden“, “vergleichenden“ und “metrischen“ wissenschaftlichen Begriffen usw. Die Grundlage jeder Messtheorie bildet die Idee des Isomorphismus zwischen einem empirisch gefundenen relationalen System und einem bestimmten Zahlensystem, etwa dem System der natürlichen oder reellen Zahlen. Somit kann die Messung als eine Art mathematisches Modell betrachtet werden, bei dem das Zahlensystem das Modell realer Beziehungen darstellt.

In wissenschaftlichen Untersuchungen werden Messungen jeder Größe möglichst mehrfach durchgeführt (da bei ausreichender Genauigkeit die Ergebnisse nicht exakt wiederholt werden), um die statistische Theorie der Ergebnisverarbeitung anzuwenden, den Mittelwert zu berechnen und den für diese Art der Messung charakteristischen Fehler zu bestimmen.

Mathematisches Modellieren

Mathematische Modelle sind eine Art von Zeichen-Symbol-Modellen. So stellt die Formel des Kreises in symbolischer Form alle seine Eigenschaften dar. Alle Naturwissenschaften, die Mathematik verwenden, können als mathematische Modelle der von ihnen untersuchten Phänomene betrachtet werden. Ein Modell ist nicht identisch mit dem Phänomen, da es aus künstlichen Objekten — Zeichen — besteht. Es stellt nur einige seiner Aspekte in logisch verbundener Form dar und gibt eine Annäherung an die Realität. Zum Beispiel ist die Hydrodynamik ein Modell der Bewegung von Flüssigkeiten.

Im Modell sind alle Annahmen, die seiner Konstruktion zugrunde liegen, ausdrücklich aufgelistet und bei seiner Erstellung verwendet. So werden bei der Formalisierung einer inhaltlichen mathematischen Theorie alle Axiome und Ableitungsregeln der Formeln aufgezählt, und keine anderen Ausdrücke als die zulässigen können dort erscheinen, es sei denn, es handelt sich um einen Fehler. Die Annahmen, die dem Modell eines natürlichen Phänomens zugrunde liegen, können durchaus grob sein. So verwendete das Newtonsche Modell des Sonnensystems folgende Annahmen: Himmelskörper sind materielle Punkte mit entsprechender Masse, lokalisiert in ihren Schwerpunkten, zwischen denen eine Kraft wirkt, die gleich dem Produkt der Massen ist, geteilt durch das Quadrat des Abstands zwischen den genannten Schwerpunkten und multipliziert mit einem experimentell berechneten Faktor. Trotz der Grobheit dieses Modells ermöglichte es, die Position der Himmelskörper über lange Zeiträume vorherzusagen und sogar die Existenz von zuvor nicht beobachteten Himmelskörpern aufgrund ihrer Wechselwirkungen mit beobachteten Himmelskörpern vorherzusagen. So wurde 1846 von U. Le Verrier und J. Adams die “auf dem Papier“ existierende Planet Neptune entdeckt, und 1930 entdeckte P. Lowell den Planeten Pluto. Ein genaueres relativistisches Modell ermöglichte es, das Verhalten von Merkur zu erklären, das für das vorherige Modell eine Anomalie darstellte.

In der Geschichte der Wissenschaft wurde dasselbe Phänomen häufig unterschiedlich modelliert. Zur Erklärung des Lichts wurden korpuskuläre und wellenartige Modelle vorgeschlagen, bis schließlich das elektromagnetische Modell entstand. Jedes dieser Modelle erforderte eine eigene mathematische Beschreibung. Die korpuskuläre Optik verwendete die Mittel der euklidischen Geometrie und ermöglichte es, die Gesetze der Reflexion und Brechung des Lichts herzuleiten. Das Wellenmodell verwendete bereits einen anderen mathematischen Apparat und konnte Phänomene wie Interferenz und Beugung erklären, die in der geometrischen Optik nicht verständlich waren.

Vor dem Erscheinen von Computern beschränkte sich mathematisches Modellieren auf die Erstellung einer analytischen Theorie des Phänomens, die nicht immer bis zu Formeln geführt wurde, weil die Natur wesentlich komplexer war als das Modell. Die Vereinfachung eines Modells (zum Beispiel die Ersetzung eines nichtlinearen Modells durch ein lineares) bedeutete unvermeidlich eine Verringerung der Anzahl der abgeleiteten Schlussfolgerungen und den Verlust von Informationen. Bei der Verwendung von Computern wird weiterhin ein logisch-mathematisches Modell des Problems erstellt, auf dessen Grundlage das Computerprogramm entwickelt wird. Doch der Forscher verfolgt nun nicht mehr das gleiche Ziel wie zuvor — die Ableitung einer Berechnungsformel. Jetzt strebt er an, alle Parameter des Phänomens zu berechnen. So wurde das Modell der Folgen eines Atomkriegs erstellt, die die Ökologie des Planeten beeinflussen könnten.

Mathematisches Modellieren wird auch dann eingesetzt, wenn nicht genügend über die physikalische Natur bekannt ist. In diesem Fall wird ein hypothetisches Modell erstellt, aus dem beobachtbare Folgerungen abgeleitet werden. Hypothetische Modelle erfüllen eine heuristische Funktion, indem sie beispielsweise Ideen für neue Experimente anregen.

Die Geschichte der Wissenschaft zeigt die Bedeutung von Hypothesen und den darauf basierenden Modellen. So baute Nikolaus Kopernikus auf der heliozentrischen Hypothese ein mathematisches Modell des Sonnensystems auf. Das “planetarische Modell“ des Atoms von Ernest Rutherford ermöglichte es Niels Bohr, die quantenmechanischen Zahlen der Elektronenbahnen zu berechnen und so weiter.

In der Vergangenheit wurden mathematische Modelle der Natur auf Grundlage des Prinzips des laplace’schen Determinismus erstellt. Es wurde angenommen, dass zwischen den verschiedenen Zuständen eines Systems zu verschiedenen Zeiten eine eindeutige Beziehung besteht. Doch schon im 18. Jahrhundert begannen Wissenschaftler, statistische Modelle anzuwenden, zunächst zur Beschreibung sozialer Phänomene und später auch zur Beschreibung der Natur. J. C. Maxwell, Ludwig Boltzmann und andere entwickelten die kinetische Gastheorie, die auf der Hypothese beruhte, dass jedes Volumen eines Gases aus einer sehr großen Anzahl chaotisch bewegter Moleküle besteht. Es stellte sich heraus, dass auf der Grundlage solcher einfachen Annahmen eine reiche Theorie entwickelt werden konnte, die durch Experimente bestätigt wurde. So wurden theoretisch-wahrscheinlichkeitsbasierte Modelle zur Grundlage der modernen Physik, besonders der Physik des Mikrokosmos. Die Schrödinger-Gleichung ist ein Modell des Verhaltens eines Elektrons im Wasserstoffatom und bildet im Prinzip die theoretische Grundlage der gesamten Chemie. Die Lösung der Gleichung bedeutet, die Wellenfunktion zu finden, die dem stationären Zustand des Atoms entspricht. Es gibt immer viele Lösungen, und jede entspricht einem bestimmten Energiewert. Der Grundzustand ist der Zustand mit der geringsten Energie. Aber die genaue Lösung der Schrödinger-Gleichung kann nur im einfachsten Fall für ein Elektron gefunden werden. Mit der Zunahme der Elektronenzahl wächst die Komplexität des Problems katastrophal.

Die Mathematisierung des Wissens besteht nicht nur in der Verwendung fertiger mathematischer Strukturen als Modelle, sondern auch in der Entwicklung mathematischer Theorien: Die Bedürfnisse der “himmlischen Mechanik“ stimulierten die Schaffung von Newtons “Fluxionsmethode“, also der Differential- und Integralrechnung.