Philosophie und die Naturwissenschaften

Rationalität, Revolution und Realismus

The Personalist Bayesian Account of Rational Belief

Probability and Evidence

Keine Menge an Beweisen kann eine wissenschaftliche Theorie deduktiv beweisen, und keine Menge an Beweisen kann eine wissenschaftliche Theorie streng widerlegen. Manche könnten versucht sein, die gesamte Idee aufzugeben, dass Beweise der Grund dafür sind, bestimmte Theorien anderen vorzuziehen. Doch dies erscheint zu voreilig. Eine andere mögliche, angesichts des unbestreitbaren und überwältigenden empirischen Erfolgs der Wissenschaft sicherlich plausiblere Schlussfolgerung ist, dass Beweise und Widerlegungen immer zu viel verlangt waren: Beweise können einige Theorien zumindest als rational glaubwürdiger darstellen als andere, wobei einige weniger glaubwürdige Theorien durch die Beweise beinahe unglaubwürdig werden. Eine naheliegende Vorgehensweise, um diese Idee zu präzisieren, ist die Verwendung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit. Theorien mögen durch Beweise nicht bewiesen werden, aber sie können im Lichte der Beweise viel wahrscheinlicher sein als ihre Rivalen. Theorien mögen nicht durch Beweise widerlegt werden, aber sie können so unwahrscheinlich gemacht werden, dass es kaum einen Unterschied macht. Es gibt eine lange Geschichte von Versuchen, diese Vorschläge zu entwickeln. Diese Versuche haben den großen Vorteil, dass sie die einfache und mathematisch präzise Wahrscheinlichkeitstheorie nutzen können, wodurch die Diskussion über die Fragen viel schärfer wird als üblich in der Philosophie.

Carnap and Probabilistic Inductive Logic

Leser, die mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeit noch nicht vertraut sind, sollten die kurze Darstellung von David Papineau im Begleitband zu diesem Werk oder eine der Referenzen in der Bibliographie konsultieren. Obwohl der Wahrscheinlichkeitskalkül zunächst für Ereignisse entwickelt wurde – etwa das Ereignis, dass bei einem Münzwurf Kopf erscheint, oder dass ein radioaktives Atom in einem bestimmten Zeitintervall zerfällt – kann er auch auf Sätze angewendet werden. Der Wissenschaftsphilosoph Rudolf Carnap entwickelte die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit eines Satzes S – die Chance, dass S wahr ist – dem Anteil der möglichen Welten entspricht, in denen S gilt, im Verhältnis zu allen möglichen Welten. Eine Tautologie hat daher die Wahrscheinlichkeit eins, da sie in allen möglichen Welten wahr ist, und ein Widerspruch hat die Wahrscheinlichkeit null. Die Wahrscheinlichkeit des Satzes entweder S oder S' ist das Maß der Vereinigung der möglichen Welten, in denen S wahr ist, und derer, in denen S' wahr ist, abzüglich der Welten, in denen beide wahr sind. Im Einklang mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeit gilt daher, dass die Wahrscheinlichkeit von S oder S' gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten von S und S' minus der Wahrscheinlichkeit von S und S' ist.

Ein wichtiger Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit von S unter der Bedingung S'. Im Fall von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen kann man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit erfragen, dass ein einzelnes, aus einem gut gemischten Kartenspiel gezogener Karten einen Herz zeigt, wenn die gezogene Karte rot war. Intuitiv ist die Antwort 1/2, während die unbedingte Wahrscheinlichkeit eines Herzens natürlich 1/4 beträgt. Unter der Bedingung, dass S' nicht null ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit p(S | S') gleich dem Verhältnis von p(S und S') zu p(S'). Nach Carnaps Interpretation misst p(S | S') den Anteil der möglichen Welten, in denen S' gilt, die auch S enthalten. Die Idee war, dass der Wahrscheinlichkeitskalkül auf diese Weise eine natürliche Erweiterung der deduktiven Logik bieten würde. Die Schlussfolgerung von der Prämisse S' zur Konklusion S ist deduktiv gültig, wenn jede Interpretation der Sprache, in der diese Sätze ausgedrückt werden, die S' wahr macht, auch S wahr macht. Wenn S' S impliziert, muss S in allen möglichen Welten wahr sein, in denen S' gilt, und das Verhältnis ist daher eins; wenn es mindestens eine Interpretation gibt, in der S' wahr und S falsch ist, folgt S' S deduktiv nicht. Carnaps Idee bestand darin, formal zu fassen, dass S' S 'fast impliziert' oder dass S' 'fast' S als falsch nahelegt. Im ersteren Fall wäre S in nahezu allen möglichen Welten wahr, in denen S' gilt, sodass die bedingte Wahrscheinlichkeit nahezu eins beträgt, im letzteren Fall nahezu null.

Carnaps Ansatz war, dass diese Erweiterung der Logik der deduktiven Folgerung zur Logik der partiellen Folgerung Aussagen stützen könnte wie die Folgende: obwohl die Gesamtheit der Beweise keine der verfügbaren Theorien T1 bis Tn erzwingt, impliziert sie dennoch eine davon, sagen wir T3, in einem höheren Maß als ihre Rivalen, und obwohl die Beweise nicht die Falschheit einer Theorie T erzwingen, tun sie es fast. Diese Urteile wären ebenso objektiv wie die deduktiven Urteile, von denen sie eine natürliche Verallgemeinerung darstellen. Ein erfolgreicher Ansatz für partielle Folgerungen zwischen Sätzen wäre gleichzeitig ein Ansatz für rationale Grade des Glaubens. So wie eine rationale Person Tautologien vollständig glaubt und Widersprüche vollständig ablehnt und rational glauben muss, dass Sokrates sterblich ist, wenn sie glaubt, dass alle Menschen sterblich sind und dass Sokrates ein Mensch ist, muss sie rational Newtons Theorie in einem bestimmten Maß glauben, wenn sie die Gesamtheit der Beweise akzeptiert und die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben ist. Der Ansatz liefert demnach eine objektive Antwort auf das Problem der rationalen Präferenz, etwa warum es rational ist, die darwinistische Evolutionstheorie der kreationistischen Erklärung vorzuziehen: weil die bedingte Wahrscheinlichkeit der Darwin-Theorie gegeben die Beweise weit über der Wahrscheinlichkeit der Kreation liegt und die Theorie somit objektiv wahrscheinlicher ist.

Dies ist eine hervorragende Idee. Leider funktioniert sie nicht. Sie scheitert aus den gleichen Gründen wie die sogenannte klassische Interpretation der Wahrscheinlichkeit. Der entscheidende Fehler liegt in der impliziten Annahme, dass es immer nur eine Möglichkeit gibt, die Möglichkeiten zu beschreiben oder aufzuteilen, sodass es immer eine Antwort auf die Frage gibt, wie der Anteil der möglichen Welten, in denen S' gilt, zu den Welten steht, in denen sowohl S' als auch S gelten. Dieser Fehler zeigt sich selbst in scheinbar einfachen Fällen.

Angenommen, es gibt drei Individuen, die entweder eine Eigenschaft P besitzen oder nicht. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich der Satz 'Zwei der drei Raben sind schwarz' wahr ist. Die möglichen Welten könnten zunächst so definiert werden, dass sie die Verhältnisse von schwarzen zu nicht-schwarzen Raben darstellen. Dann gäbe es vier mögliche Welten (keiner, einer, zwei oder alle drei schwarz), und der Satz wäre in einer von vier Fällen wahr. Andererseits könnten wir jeden Raben individuell betrachten und die möglichen Welten durch jede mögliche Verteilung von schwarz und nicht-schwarz über alle Raben bestimmen. Dann gäbe es acht Möglichkeiten, und der Satz wäre in drei von acht wahr. Auf diese Weise ergäbe sich eine andere Wahrscheinlichkeit für denselben Satz. Es ist unklar, wie man argumentieren könnte, dass eine Zählweise korrekt und die andere falsch ist. Außerdem erlaubt diese Zählweise kein induktives Lernen: Beobachtete Raben beeinflussen die Wahrscheinlichkeit der folgenden Raben nicht im gleichen Maße. Die Probleme für Carnaps Ansatz verschärfen sich, wenn das Universum unendlich ist.

Obwohl das Carnap-Programm längst tot ist, wird es hier skizziert, weil sein Scheitern die Agenda für neuere Ansätze vorgibt. Manche Leser könnten die neuere probabilistische Theorie als 'nicht objektiv genug' empfinden. Es ist jedoch zu bedenken, dass die vollständig objektive probabilistische Darstellung offenbar eindeutig gescheitert ist.

The Basics of Personalist Bayesianism

Kann Wahrscheinlichkeitstheorie trotz des Scheiterns des Carnap-Programms weiterhin korrektes wissenschaftliches Denken charakterisieren? Die einflussreiche bayesianische Schule argumentiert, dass dies möglich ist. Ein bayesianischer Agent hat 'Grade des Glaubens' in allen in seiner Sprache ausdrückbaren Propositionen. Ein solcher Agent ist rational, wenn (a) zu jedem Zeitpunkt seine Grade des Glaubens den Regeln der Wahrscheinlichkeit entsprechen und (b) er seine Überzeugungen im Lichte der zwischenzeitlich gesammelten Beweise nach dem Prinzip der Bedingung aktualisiert.

Zum Punkt (b): Angenommen, zwischen zwei Zeitpunkten geschah epistemisch relevant für Theorie T nur, dass eine Aussage e, die vorher unbekannt war, nun als Beweis akzeptiert wird. Das Prinzip der Bedingung verlangt, dass der Grad des Glaubens an T zum Zeitpunkt t2 derselbe ist wie zuvor unter der Bedingung e, also p(T | e). Mit anderen Worten, der 'posteriore' Grad des Glaubens nach Erhalt von Beweisen entspricht dem 'prioren' Grad vor dem Beweis.

Der Ansatz wird Bayesianisch genannt, weil Wahrscheinlichkeiten der Form p(T | e) entscheidend sind und mittels des Satzes von Bayes bewertet werden. Er wird personalistisch genannt, weil er explizit Carnaps Idee ablehnt, dass es nur einen objektiven Wert für die Anfangswahrscheinlichkeiten gibt. Diese Freiheit über die Anfangswahrscheinlichkeiten bedeutet, dass zwei gleichermaßen rational bayesianische Agenten sehr unterschiedliche Grade des Glaubens in dieselbe Theorie im Lichte derselben Beweise haben können, ohne dass der Ansatz vollständig subjektiv wäre. Jeder der Anforderungen (a) und (b) übt objektive Zwänge auf die Grade des Glaubens aus, die nicht notwendigerweise von realen Menschen erfüllt werden.

Beispielsweise verlangt die Wahrscheinlichkeitstheorie, dass ein rationaler Agent jede logische Wahrheit vollständig glaubt, also mit Grad eins. Bayesiansches Denken erfordert auch, dass ein Agent rational die Grade des Glaubens addiert, wenn sich Ereignisse gegenseitig ausschließen, etwa dass die Sonne entweder morgen aufgeht oder über Nacht explodiert, aber nicht beides.

Bayesianism and Rationality: The Two Main Questions

Die beiden Zwänge für rationale Grade des Glaubens haben somit objektiven Gehalt. Es stellt sich die Frage, ob ein Agent diese Prinzipien erfüllen muss, um als rational zu gelten. Das erste Problem, dass die Grade des Glaubens Wahrscheinlichkeiten sein müssen, wird durch das Dutch-Book-Argument diskutiert: Wer gegen die Regeln verstößt, ist gezwungen, auf Wetten zu setzen, die sicher Verluste bringen. Das zweite Problem, ob die Einhaltung der beiden bayesianischen Bedingungen einen Agenten automatisch rational macht, ist philosophisch herausfordernder. Es geht darum, ob intuitive Urteile über korrektes wissenschaftliches Denken durch die bayesianische Sichtweise erfasst werden.

Bestimmte Aspekte wissenschaftlichen Denkens erscheinen unbestritten, und die bayesianische Position liefert klare Erklärungen: Theorien können durch Beobachtungen oder Experimente bestätigt werden, insbesondere wenn sie 'strenge Tests' bestehen. Ein bekanntes Beispiel ist Fresnels Wellentheorie des Lichts, die durch die Entdeckung bestätigt wurde, dass der Mittelpunkt des geometrischen Schattens einer kleinen undurchsichtigen Scheibe beleuchtet ist, was die Theorie vorhersagte. Bayesianisch bedeutet dies, dass Beweise eine Theorie bestätigen, wenn sie deren Wahrscheinlichkeit erhöhen. Das Prinzip der Bedingung erfordert, dass der posterior Grad des Glaubens nach der Evidenz der frühere Glaube unter Bedingung dieser Evidenz ist. Da die Wahrscheinlichkeit der Evidenz unter der Theorie eins beträgt, vereinfacht sich die Bayes'sche Formel, sodass die Bestätigung umso größer ist, je unwahrscheinlicher die Evidenz zuvor war.

Wie verhält es sich mit subtileren Aspekten wissenschaftlichen Denkens? Bei Kuhns Arbeit treten die Probleme des Duhem-Problems und der Vorhersage versus Anpassung auf. Das Bayesianische Modell erlaubt, diese Probleme im Lichte der Wahrscheinlichkeiten der Theorien und der bedingten Evidenz zu analysieren.

Bayesianismus und das Duhem-Problem

Duhem wies darauf hin, dass keine Aussage, die wir natürlich als eine „einzelne“ wissenschaftliche Theorie betrachten würden – sei es die Newtonsche Theorie der Mechanik und Gravitation, die klassische Wellentheorie des Lichts, die spezielle Relativitätstheorie oder andere – deduktive Konsequenzen besitzt, die direkt auf empirischer Ebene überprüfbar sind. Um etwa aus der Newtonschen Theorie Vorhersagen über die Positionen der Planeten abzuleiten, die als direkt empirisch überprüfbar gelten könnten, benötigt man weitere unabhängige Annahmen, etwa über die Existenz anderer massiver Körper im Sonnensystem oder über die Brechung des Lichts beim Eintritt in die Erdatmosphäre. Wenn sich die beobachtete Konsequenz als falsch herausstellt, folgt deduktiv nur, dass mindestens eine der Prämissen – das heißt mindestens eine Annahme aus der Menge, bestehend aus der zentralen zu prüfenden Theorie und allen Hintergrund- oder Hilfsannahmen – falsch sein muss. Ist T die zentrale Theorie und A die Konjunktion der notwendigen Hilfsannahmen, und nur die Verbindung T und A führt zu einer empirischen Konsequenz e, dann kann aus der Beobachtung, dass e falsch ist, lediglich geschlossen werden, dass die Verbindung T und A falsch ist, was natürlich der Negation von T oder A entspricht. Teilt sich die zu prüfende zentrale Theorie selbst in eine Kernannahme C und eine Menge spezifischerer Annahmen S, wie etwa die Wellentheorie des Lichts mit der Kernannahme, dass Licht eine Art Welle in einem Medium ist, ergänzt durch spezifischere Annahmen über Wellenart und Medium, wird die Situation noch komplexer. Die formale Darstellung des Experiments umfasst dann C, S und die Hilfsannahmen A. Nur die Konjunktion C, S und A führt zu einer Evidenz e, sodass die Falschheit von e nur die Falschheit von C, S und A nach sich zieht. Deduktiv betrachtet stehen dem Wissenschaftler nun drei Optionen offen: die gesamte zentrale Theorie behalten und ein Hilfsmittel ablehnen, die Hilfsannahmen akzeptieren, aber eine spezifische Annahme anstelle der Kernannahme ablehnen, was als Modifizierung der zentralen Theorie betrachtet wird, oder die Kernannahme selbst ablehnen.

Wissenschaftler nutzen jedoch nicht immer die ihnen durch diese deduktiven Überlegungen gebotene Freiheit. Manchmal erscheint es klar angemessen, eine Hilfsannahme im Lichte einer experimentellen Anomalie abzulehnen. Ein klassisches Beispiel ist die Entdeckung des Planeten Neptun. Es gab unerklärliche Unregelmäßigkeiten in der beobachteten Umlaufbahn des Planeten Uranus. Die Newtonsche Theorie zusammen mit den damals akzeptierten Hilfsannahmen und Anfangsbedingungen führte zu falschen Vorhersagen. Anstatt die zentrale Newtonsche Theorie abzulehnen, schlugen Adams in England und Leverrier in Frankreich unabhängig voneinander vor, dass der Fehler in der Hilfsannahme über die Anzahl und Massen anderer Planeten mit gravitativer Wirkung auf Uranus liege. Ausgehend von der Annahme der Richtigkeit der Newtonschen Theorie postulierten sie die Existenz eines bisher unbekannten Planeten jenseits von Uranus, was später astronomisch bestätigt wurde. Die Beibehaltung der zentralen Theorie angesichts einer Anomalie erscheint hier wissenschaftlich gerechtfertigt und gilt als großer Erfolg der Newtonschen Theorie.

Die Verteidigung einer geschätzten Theorie gegen scheinbare Gegenbeweise durch Ablehnung weniger zentraler Annahmen kann hingegen eher Pseudowissenschaft kennzeichnen. Velikovskys Arbeit ist ein deutliches Beispiel. Seine zentrale Theorie behauptete, ein Komet habe sich einst von Jupiter gelöst und die Erde auf mehreren Umläufen besucht, was bedeutende Ereignisse wie die Teilung des Roten Meeres und den Fall der Mauern von Jericho ausgelöst haben soll. Anomalie war das Fehlen entsprechender Aufzeichnungen in anderen Kulturen der Zeit. Velikovsky wies darauf hin, dass dies ein Fall des Duhem-Problems sei: die Annahme, dass solche Katastrophen in anderen Kulturen aufgezeichnet worden wären, setzt nicht nur seine Kometenhypothese voraus, sondern auch Hilfsannahmen, etwa dass Schreiber solche Ereignisse notiert hätten. Analog zu den Newtonianern ging Velikovsky davon aus, dass sein Komet existierte und seine postulierten Bewegungen ausführte, und schloss, dass Katastrophen in anderen Kulturen beobachtet wurden und so traumatisch waren, dass ein kollektives Vergessen eintrat. Velikovsky postulierte, dass dieser Zustand nur die Kulturen betraf, die Aufzeichnungen führten, aber keine entsprechenden Katastrophen verzeichneten.

Jede angemessene Darstellung wissenschaftlicher Rationalität müsste den Unterschied zwischen diesen beiden Episoden erklären: Adams und Leverriers Vorgehen als wissenschaftlich vernünftig und Velikovskys Vorgehen nicht. Cohn Howson und Peter Urbach behaupten, dass eine Analyse auf Grundlage personalistischer Bayesianischer Prinzipien das Duhem-Problem vollständig lösen könne. Betrachten wir ein theoretisches System, dargestellt als Konjunktion T und A, wobei weder T noch A allein Beobachtungen implizieren, und eine experimentelle Konsequenz dieser Konjunktion als falsch herausgestellt wurde. Deduktiv ist weder T noch A allein falsifiziert. Die Bayessche Analyse ermöglicht es jedoch, die asymmetrische Reaktion zu modellieren: Wenn ein Agent p(e | A) nahezu p(e) bewertet, während p(e | T) deutlich kleiner als p(e) eingeschätzt wird, bleibt die posteriori Wahrscheinlichkeit für A nahezu unverändert, während die für T stark sinkt. Historische Beispiele wie die Newtonsche Theorie und Uranus zeigen dies anschaulich: Adams und Leverrier hielten an der zentralen Theorie fest und schoben die Schuld den Hilfsannahmen zu. Bayesianische Modellierung mit geeigneten Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass dies rational nachvollziehbar ist.

Allerdings bleibt unklar, welche Rekonstruktion der Überzeugungsdynamik von Wissenschaftlern als akzeptabel gilt. Zahlen in Bayesianischen Analysen dienen idealisierten Modellen, nicht der exakten historischen Realität. Ein wesentliches Problem dieser Analyse ist, dass sie Velikovskys Vorgehen formal genauso modellieren kann wie das von Adams und Leverrier: Mit denselben Annahmen über Priors und Likelihoods zeigt die Bayessche Analyse, dass Velikovsky rational gehandelt hätte, obwohl sein Vorgehen historisch und inhaltlich höchst zweifelhaft ist. Die Kritik an personalistischen Bayesianischen Analysen lautet daher, dass sie zu stark auf individuellen Überzeugungen basieren, um objektives wissenschaftliches Schließen adäquat zu erfassen.

Bayesianismus und „Vorhersage versus Anpassung“

Kuhn argumentierte, dass Anhänger bestehender Paradigmen, die neue Belege innerhalb ihres Paradigmas erklären wollen, weder illogisch noch unwissenschaftlich handeln. Ein Weg, empirische Unterstützung für Theorien zu begründen, wäre, zwischen vorhergesagten und bereits bekannten Fakten zu unterscheiden. Könnte man zeigen, dass korrektes empirisches Unterstützen neuen Vorhersagen gegenüber bereits bekannten Fakten stärkeres Gewicht verleiht, wären Kuhns Anhänger im Falle neuer Phänomene unwissenschaftlich, wenn sie die Evidenz lediglich innerhalb des alten Paradigmas erklärten. Phlogistonisten versuchten etwa, die Gewichtszunahme von Quecksilber nach Verbrennung in ihr Paradigma zu integrieren. Wenn Vorhersagen mehr bestätigen als Anpassungen, wäre ihre Argumentation unzureichend, da Lavoisiers Sauerstofftheorie das Ergebnis vorhergesagt hatte.

Die Frage bleibt: Verleiht korrektes empirisches Unterstützen neuen Vorhersagen einen confirmatorischen Vorteil? Keynes und Mill vertraten skeptische Positionen. Keynes hielt den Wert von Vorhersagen für imaginär. Mill kritisierte die Überbewertung von Vorhersagen und führte William Whewell als Beispiel an, der erfolgreiche Vorhersagen als besonders wahrheitsstiftend ansah. Duhem vertrat ähnliche Ansichten, wonach die höchste Prüfung einer Theorie darin bestehe, ob sie zukünftige, bislang unbekannte Phänomene korrekt anzeigt. Viele Wissenschaftsphilosophen teilten diese Sicht.

Alte Belege bestätigen nie (und das ist problematisch)

Einige Analysten, etwa Clark Glymour und John Earman, argumentierten, dass Bayesianismus impliziere, dass nur neue Belege eine Theorie bestätigen, was intuitiv unsinnig erscheine. In Bayesianischen Modellen gilt, dass bekannte Belege als Teil des Hintergrundwissens gelten und daher keine Bestätigung bewirken. Glymour verweist jedoch auf historische Fälle, etwa die allgemeine Relativitätstheorie und die Präzession des Merkurs, wo bereits bekannte Belege die Theorie stark bestätigten.

Der Versuch von Garber, Niiniluoto und Jeffrey

Glymour schlug vor, dass nicht die empirische Tatsache selbst, sondern die logische Erkenntnis, dass die Theorie die bekannte Evidenz impliziert, die Bestätigung liefert. Dazu wird ein primitives logisches Verknüpfungssymbol eingeführt, das deduktive Konsequenz repräsentiert. Wenn ein Agent Wahrscheinlichkeiten nicht nur auf wissenschaftliche Theorien, sondern auch auf logische Konsequenzen anwendet, kann gezeigt werden, dass bestimmte Paare von Theorie und Evidenz eine höhere posteriori Wahrscheinlichkeit erzeugen. Damit kann die Entdeckung, dass eine Theorie die alte Evidenz impliziert, diese Theorie bestätigen. Probleme bleiben jedoch bestehen: Erstens muss der Agent perfekt deduktiv logisch sein, zweitens ist die intuitive Rechtfertigung zweifelhaft, da empirische Evidenz über Mercury, nicht logische Ableitungen, die Relativitätstheorie bestätigt.

Howson und Urbachs Versuch, das ‚Problem alter Beweise‘ zu lösen

Einige Bayesianer, insbesondere Colin Howson und Peter Urbach, argumentieren, dass Glymour die Sache verdreht hat: Intuitiv ist es korrekt, dass alte Beweise wissenschaftliche Theorien bestätigen können, und die bayesianische Position liefert genau dieses intuitiv richtige Ergebnis. Die entscheidende Behauptung hinter dieser speziellen bayesianischen Analyse lautet folgendermaßen: Wahrscheinlichkeiten sind stets implizit relativ zum Hintergrundwissen; wenn jedoch der Einfluss eines Beweises e auf eine Theorie T abgewogen wird, ist die richtige Wahrscheinlichkeit für e der Grad des Glaubens, den man an e gehabt hätte, befände man sich in der kognitiven Situation, in der man sich tatsächlich befindet, außer dass man e nicht kennt.

Wenn e unbekannt ist, entspricht dieser ‚korrekte Glaube‘ einfach dem tatsächlichen Grad des Glaubens im Moment unmittelbar vor der Kenntnis von e. Ist e jedoch bereits bekannt, besitzt der relevante Glaube einen kontrafaktischen Charakter: Man stellt sich vor, dass das relevante Hintergrundwissen nicht B ist, wie es tatsächlich ist, sondern sozusagen B ohne e, also das, was übrig bleibt, wenn e aus dem Hintergrundwissen B entfernt wird. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit von e für bekannte Beweise nicht eins sein muss, und in der Tat ist sie im Allgemeinen nicht eins. Somit kann, entgegen Glymour, alter Beweis bayesianisch bestätigt werden.

Mehrere Probleme machen diesen Vorschlag jedoch höchst problematisch. Ein formales Problem ist, dass die Menge der Sätze B ohne e nicht eindeutig definiert ist. Das einfache ‚Löschen‘ von e aus der (deduktiv abgeschlossenen) Menge von Bs Folgerungen hat keine wirkliche Wirkung, da e einfach als Folgerung vieler anderer Konsequenzen von B wieder auftaucht. Angenommen, B ist auf irgendeine Weise axiomatisiert und wir charakterisieren B ohne e als die Menge der Konsequenzen der Axiome, aus denen e entfernt wurde. Da Beweisaussagen wie e normalerweise keine Axiome sind, bleibt B durch diese Operation im Allgemeinen vollständig unverändert. Angenommen, {B1 ... Bn} sind Axiome für B, wobei keines der Bi die Beweisaussage e ist; da e eine Konsequenz von B ist, erkennt man leicht, dass die folgende Axiomatisierung logisch äquivalent zur ersten ist: {e, e impliziert B1, e impliziert B2, ..., e impliziert Bn}. Doch nun hätte das ‚Löschen‘ von e aus dieser Axiomensammlung verheerende Folgen, da die verbleibenden Axiome alle relativ schwache Aussagen sind, die Sätzen der Form ‚entweder nicht e oder Bi‘ entsprechen.

Howson und Urbach argumentieren, dass wir trotz dieser formalen Schwierigkeiten in vielen Fällen eine hinreichend gute intuitive Vorstellung der erforderlichen Idee haben. Angenommen, eine Münze wurde einmal geworfen und zeigt ‚Kopf‘; wir können dennoch leicht verstehen, dass die Münze eine Wahrscheinlichkeit von einem halben hatte, ‚Zahl‘ zu zeigen. Dann sagen wir im Grunde: ‚Angenommen, mein Hintergrundwissen wäre so, wie es ist, außer dass ich nicht gewusst hätte, dass die Münze Kopf zeigte, dann würde ich jedem möglichen Ausgang eine Wahrscheinlichkeit von einem halben zuweisen.‘

Doch unabhängig von diesem Münzbeispiel ist es, wie John Earman ebenfalls angedeutet hat, keineswegs klar, dass man sich vorstellen kann, was Einsteins kognitive Situation 1915 gewesen wäre, hätte er nichts über die Präzession des Merkurperihelions gewusst. Einsteins gesamtes Denken war so stark von der Anomalie des Merkurs beeinflusst, dass es kaum möglich erscheint, zu bestimmen, was er geglaubt hätte, hätte er davon nichts gewusst. Wenn dem so ist, kann man keinerlei echten Sinn in seinen Glaubensgraden zu anderen Aussagen gegen diesen kontrafaktischen Hintergrund sehen. Ebenso habe ich, nachdem ich Fresnels Gedanken und Werke viele Jahre studiert habe, keine Vorstellung davon, was es bedeuten könnte, über Fresnels ‚Hintergrundwissen‘ zu sprechen, als hätte er beispielsweise nichts über das Phänomen der Beugung an geraden Kanten gewusst. Wenn dies zutrifft, versagt für diese speziellen bekannten Beweise die kontrafaktische Interpretation von p(e) durch Howson und Urbach.

Angenommen, wir akzeptieren dennoch vorübergehend diese kontrafaktische Interpretation, führt sie dann zu einer zufriedenstellenden Lösung der Predictivismus-Debatte? Die bayesianische Analyse liefert nun die (intuitiv richtige) Implikation, dass bekannte Beweise manchmal bestätigen. Ein Forscher im Jahr 1915, der irgendwie die kontrafaktische Interpretation anwendet, weist der Aussage, dass Merkur auf diese Weise präzediert, eine Wahrscheinlichkeit deutlich unter eins zu. Da die allgemeine Relativitätstheorie R diese Aussage impliziert, ergibt sich p(R | e) = p(R)/p(e), was viel größer ist als p(R). Der Forscher wird R also durch e stark bestätigt sehen.

Allerdings kann, wie inzwischen bekannt, auch eine klassische, nichtrelativistische Erklärung für Merkurs Bewegungen gegeben werden, indem ad hoc Annahmen über die Dichteverteilung der Sonne gemacht werden, die exakt auf die bekannten Fakten über Merkur zugeschnitten sind. Diese Möglichkeit wurde durch Dickes Arbeit in den 1960er-Jahren bekannt. Nennen wir diese klassische Erklärung C. C impliziert ebenfalls e, sodass ein Agent, der die kontrafaktische Interpretation anwendet, p(e) deutlich unter eins setzt und p(C | e) ableitet, was C bestätigt. Dies ist zunächst nicht problematisch: Schließlich ist C uns eher sympathisch, da es Merkurs Bewegung richtig beschreibt. Solange der Agent C jedoch eine sehr niedrige Anfangswahrscheinlichkeit zuweist, viel niedriger als R, liefert die bayesianische Analyse das intuitiv richtige Urteil, dass R nach Berücksichtigung von e deutlich wahrscheinlicher bleibt als C. Misst man die Unterstützung von e für Theorie T durch die Differenz S(T,e) = p(T | e) - p(T), so ergibt sich für R und C:

S(R,e) = p(R)(1/p(e) - 1) und S(C,e) = p(C)(1/p(e) - 1).

Vorausgesetzt, p(e) ist in beiden Fällen gleich und nicht eins, folgt S(R,e) > S(C,e), wenn und nur wenn p(R) > p(C). Anders ausgedrückt wird ein Agent e als stärkere Unterstützung für R als für C sehen, genau dann, wenn seine Anfangswahrscheinlichkeit für R höher ist als die für C.

Eine ähnliche Analyse zeigt, dass ein Beweisstück, etwa ein Aspekt der Fossilienfunde, das sowohl von einer spezifischen darwinistischen Theorie als auch von einer speziellen Schöpfungstheorie impliziert wird, die beiden Theorien unterschiedlich unterstützt, abhängig vollständig von den anfänglichen Wahrscheinlichkeiten vor diesem Beweis.

Ein solcher Bayesianer wird in diesen Fällen Beweisurteile treffen, die genau den weniger formalisierten Urteilen der wissenschaftlichen Gemeinschaft entsprechen, sofern er R eine viel höhere Anfangswahrscheinlichkeit als C und der darwinistischen Theorie eine viel höhere Wahrscheinlichkeit als der speziellen Schöpfungstheorie zuweist. Hält er jedoch fest an C oder an spezieller Schöpfung und vergibt höhere Wahrscheinlichkeiten, sieht er die Beweise als zusätzliche Unterstützung für seine bevorzugten Theorien. Analog zum Duhem-Problem: Hält man den Fossilienbefund für stets zugunsten des Darwinismus aus wissenschaftlicher Sicht, kann man nicht behaupten, dass personalistischer Bayesianismus eine vollständige Darstellung dieser Prinzipien ist.

Erwiderungen auf den Vorwurf übermäßigen Subjektivismus

Bayesianer reagieren oft auf den Vorwurf, ihre Wissenschaftsauffassung sei zu sehr auf subjektive Anfangswahrscheinlichkeiten angewiesen, indem sie Ergebnisse über das ‚Überfluten‘ oder ‚Auswaschen‘ der Anfangswahrscheinlichkeiten anführen. Zunächst wird der Vorteil eines gewissen Subjektivismus betont, dann argumentieren sie, dass dieses Element oft überwunden wird. Unter gewissen Bedingungen tendieren alle Bayesianer zur Übereinstimmung.

Die formalen Ergebnisse tragen jedoch kaum philosophisches Gewicht. Anfangswahrscheinlichkeiten werden nur im Grenzwert vollständig ausgewaschen, was nie vollständig erreicht wird. Jede theoretische Präferenz, selbst die intuitiv bizarrste, kann rational sein: Eine Kreationistin kann trotz hoher Anfangswahrscheinlichkeit für ihre Theorie und niedriger Wahrscheinlichkeit für die Evolution die Beweise akkumulieren und zu einer überwältigenden posterioren Wahrscheinlichkeit für ihre Theorie gelangen. Dass diese etwas niedriger als die Anfangswahrscheinlichkeit ist, tröstet wenig; ebenso wenig der Gedanke, dass zukünftige Beweise die Posterioren angleichen könnten. Personalistischer Bayesianismus erkennt, dass solche Agenten rational sein können.

Ein zweiter Einwand ist, dass der Vorwurf übermäßigen Subjektivismus gänzlich fehlgeht. Die Prinzipien des personalistischen Bayesianismus sind natürliche Erweiterungen logischer Prinzipien. Die Forderung nach Kohärenz, dass Glaubensgrade den Wahrscheinlichkeitsregeln genügen, ist eine Erweiterung deduktiver Konsistenz. Ramsey verwendete den Begriff Konsistenz für beide Aspekte. Einige Bayesianer verteidigen die Bedingung als analytisch. Jede weitere Anforderung würde die Logik überschreiten und Annahmen über die Welt erfordern, deren Begründung problematisch wäre. Dorling und Howson folgern, dass jede weitere Forderung willkürlich wäre und Ramsey daher recht hatte: Induktive Logik muss die Anfangswahrscheinlichkeitsverteilung eines Agenten als gegeben behandeln. Wenn dies zulässt, dass ein rationaler Velikovskian oder Kreationist möglich ist, muss dies akzeptiert werden. Unterschiedliche Prioren bedeuten nicht, dass der Agent irrational oder unwissenschaftlich ist.

Dieser Einwand kann auf zwei Weisen kritisiert werden: Erstens, sind die Prinzipien wirklich logisch? Zweitens, selbst wenn, reicht Logik allein für eine Theorie des wissenschaftlichen Schließens aus?

Vorhersage muss nicht Vorhersage sein

Abhängig von der bayesianischen Analyse kann ein Bayesianer unterschiedliche Antworten auf das Problem alter und neuer Beweise unterstützen. Welche Antwort ist intuitiv korrekt? Gibt neue Evidenz ceteris paribus mehr Unterstützung, und wenn ja, warum? Die Frage ist offen, oft wird sie durch falsche Unterscheidungen verschleiert.

Warum sollte der Zeitpunkt der Entdeckung eines Beweises die Stärke seiner Unterstützung beeinflussen? Dass die Präzession des Merkurperihelions vor Einsteins Theorie gut untersucht war, während der gravitative Sternverschiebungseffekt später entdeckt wurde, sollte keine Rolle spielen. Psychologisch mag es beeindruckend erscheinen, wenn eine Theorie ein Experiment vorhersagt, das zuvor niemand bedacht hatte. Aber dies ist kein epistemisch relevantes Prinzip.

Wichtiger ist die Unterscheidung zwischen Beweisen, die ‚natürlich‘ aus einer Theorie folgen, und solchen, die in die Theorie ‚hineinmodelliert‘ werden müssen. Alte und neue Fakten sind weniger relevant als der Unterschied zwischen Beweisen, die in die Theorie integriert wurden, und solchen, die dies nicht wurden, etwa durch Anpassung eines zuvor freien Parameters.

Ein Beispiel: Die ‚wissenschaftliche Kreationisten-Theorie‘ passt lediglich den Fossilienbefund an, indem angenommen wird, dass der Schöpfer bestimmte Erscheinungen einfügte. Copernicus hingegen musste keine besonderen Annahmen treffen, um Planetenstationen und Rückläufigkeiten zu erklären, diese folgten notwendigerweise aus der Bewegungsperspektive seiner Theorie. Ebenso enthält die allgemeine Relativitätstheorie keine freien Parameter bezüglich Merkurs Periheldurchgang, weshalb der Erfolg der Theorie in der richtigen Vorhersage des Orbits entscheidend war.

Die Unterscheidung kann als Vorhersage versus nachträgliche Anpassung markiert werden, wobei Vorhersage nicht zeitlich zu verstehen ist und auch alte Fakten einschließt. Moritz Schlick schrieb, dass die Bestätigung einer Vorhersage nichts anderes bedeutet als die Stützung einer Formel für Daten, die nicht zur Aufstellung der Formel genutzt wurden. Newtons Theorie hatte, wie jede gute Theorie, Vorhersagewert: Sie war auf andere Situationen anwendbar. Vorhersagen können die Entdeckung bisher unbekannter Phänomene oder die Einordnung bereits bekannter Phänomene in den neuen Rahmen betreffen.

Trotz vieler Vorzüge hat das bayesianische System Probleme, wie in diesem Abschnitt gezeigt. Es mag die formal beste Behandlung der Bestätigung sein, benötigt aber dennoch Erweiterung und Verbesserung.