Philosophie der Naturwissenschaften

Ideale und philosophische Probleme der theoretischen Naturwissenschaft

Höhere Mathematik und Naturwissenschaft

Vor Galilei, Descartes und Newton, die die Grundlagen des mathematischen Apparats zur Beschreibung von Bewegungen legten, war die Verbindung zwischen Mathematik und Naturwissenschaft nicht offensichtlich. Die Idee, dass Mathematik reale Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten ausdrückt, wurde bereits von Kopernikus geäußert, doch erst in Form der höheren Mathematik wird sie zum Werkzeug naturwissenschaftlicher Erkenntnis, deren Sprache zur Sprache strenger Theorie wird. Eine naturphilosophische Begründung dieses neuen Status der Mathematik liefert Descartes, indem er Materie als ausgedehntes Objekt betrachtet und den physikalischen (realen, materiellen) Raum mit der Ausdehnung (dem abstrakten Raum) gleichsetzt. Seitdem wird die physikalische Realität durch mathematische Beschreibungen von Prozessen in unabhängigen Variablen – Koordinaten und Zeit – erschlossen.

Im 19. Jahrhundert waren die treibenden Kräfte der Entwicklung der höheren Mathematik vor allem praktische Aufgaben in Mechanik, Geodäsie, Hydro- und Aerodynamik. Es entstanden die grundlegenden Bereiche der Analysis, Vektoralgebra und analytischen Geometrie, sowie die Theorien der Konvergenz von Reihen und Funktionen einer komplexen Variablen.

Eine herausragende Rolle in der Entstehung der höheren Mathematik spielte der Direktor der astronomischen Sternwarte und Professor der Universität Göttingen, Carl Friedrich Gauß (1777–1855). Bei der Entwicklung mathematischer Methoden zur Untersuchung der Erdoberfläche schuf er universelle differenzial-geometrische Verfahren zur Analyse gekrümmter Flächen. Seine Arbeit „Arithmetische Untersuchungen“ (1801) gilt als Beginn der modernen Zahlentheorie. Gauß führte die erste systematische Untersuchung der Konvergenz von Reihen durch, führte eine geometrische Darstellung komplexer Zahlen ein, indem er sie mit Punkten in der Ebene verband. Ihm gehören die Entdeckung elliptischer Funktionen und die ersten Zweifel an der apriorischen Gegebenheit des Raumes, der nur eine euklidische Geometrie zulässt, an. Gauß nahm an, dass für große Maßstäbe eine andere Geometrie gelten müsse.

Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts entstand die Theorie der Grenzwerte, auf deren Grundlage die Methoden der Infinitesimalrechnung zu einem eigenen theoretischen Bereich der mathematischen Analysis zusammengeführt wurden. Ausgehend von praktischen Problemen der Naturwissenschaft und Technik wurden Differential- und Integralrechnung zu einem Teilbereich der reinen Mathematik, abgeschlossen in sich selbst und weit entfernt von konkreten naturwissenschaftlichen Fragestellungen. Bedeutende Beiträge zur theoretischen Formulierung der Analysis leisteten J. Fourier (1768–1830), A. Cauchy (1789–1857), N. Abel (1802–1829), B. Bolzano (1781–1848) und K. Weierstraß (1815–1897). Gleichzeitig entwickelten W. Hamilton (1805–1865) und G. Grassmann (1809–1877) die Theorie der komplexen Zahlen und legten die Grundlage für eine neue mathematische Disziplin – die Vektoranalysis.

Ein herausragendes Ereignis in der Mathematik war die nicht-euklidische Geometrie, deren erste öffentliche Darstellung Nikolaus Lobatschewski (1792–1856) verdankt. In seiner Arbeit „Über die Grundlagen der Geometrie“ leitete er Gleichungen ab, die eine analytische Darstellung nicht-euklidischer Räume ermöglichen. Dieses neue Gebiet wurde später als hyperbolische Geometrie bezeichnet. Lobatschewskis Idee der Vielfalt geometrischer Systeme sowie die Vorstellung, dass geometrische Eigenschaften des Raumes von seiner physikalischen Natur abhängen, stellten einen der größten Fortschritte des 19. Jahrhunderts dar, der zunächst kaum Anerkennung fand. Unabhängig von ihm entwickelte zwei Jahre später der ungarische Mathematiker János Bolyai (1802–1860) die Idee der nicht-euklidischen Geometrie in seiner Arbeit „Absolute Wissenschaft des Raumes“, die ebenfalls zunächst auf Unverständnis stieß.

Die Bestätigung neuer Ideen in der Geometrie hängt eng mit den Arbeiten von Georg Riemann (1826–1866) zusammen, der die Geometrie als Lehre von kontinuierlichen N-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (Mengen homogener Elemente) betrachtete, die Idee des mathematischen Raumes entwickelte und eine allgemeine Definition des „Mannigfaltigkeitsraumes“ einführte, die sowohl funktionale als auch topologische Räume einschließt. Das neue Konzept des Riemannschen Raumes vereinte auf der Grundlage der Krümmung die Geometrien von Euklid, Lobatschewski und die von Riemann selbst entwickelte elliptische Geometrie. Riemann wies auf die Relativität der Geometrie in Bezug auf Raummaßstäbe und Materieeigenschaften hin und entwickelte die Lehre von der Krümmung des Raumes in Bezug auf die physische Realität. Die Theorie gekrümmter Räume mit beliebiger Dimension bildete zu Beginn des 20. Jahrhunderts die Grundlage der Relativitätstheorie.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts strebten Wissenschaftler danach, die Methoden der Mathematik zu beherrschen und ihre Mittel effektiv einzusetzen, um die physikalische Essenz jenseits des Beobachtbaren auszudrücken. In diesem Zusammenhang erweitert sich auch das Disziplinenfeld der Mathematik. Dazu gehören Beziehungen zwischen Vektoren und Operatoren in funktionalen Räumen, die Vielfalt von Räumen beliebiger Dimensionen, angewandte Rechenmethoden sowie ein neues Feld philosophischer Probleme im Zusammenhang mit der Neubewertung der Grundlagen der Mengenlehre und der logischen Beweisverfahren.

Um die Jahrhundertwende bestimmte sich die Mathematik durch vier Hauptgebiete: Arithmetik und Algebra, mathematische Analysis, Geometrie sowie analytische Mechanik und mechanische Physik. Im 20. Jahrhundert umfasst sie: mathematische Logik, Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Topologie, analytische Geometrie, komplexe Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik, Darstellungstheorie, reellen und funktionalen Analysis, Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Informatik und Gruppentheorie. Ende des 19. Jahrhunderts arbeiteten in der Mathematik etwa 1.000 Menschen; bis zum letzten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts waren es etwa 300.000 Fachleute.