Die Philosophie der Mathematik

Die Geburt der modernen Logik

Logizismus

Frege hatte eine etwas andere Axiomatisierung der Arithmetik, doch er war nicht in erster Linie daran interessiert, sie als axiomatische Theorie darzustellen. Vielmehr kam er zu dem Schluss, dass sie keine eigenen ersten Prinzipien benötige. Er zeigte, dass die Induktion keine besondere Schlussmethode der Arithmetik ist, sondern eine unmittelbare Folge der korrekten Definition des Begriffs „natürliche Zahl“. Ebenso bewies er, dass der Begriff einer Folge keiner Berufung auf Anschauung bedarf, sondern rein logisch charakterisiert werden kann. So gelangte er zu der Überzeugung, dass alle arithmetischen Wahrheiten allein aus der Logik ableitbar sind. Arithmetik war für ihn lediglich ein Zweig der Logik; der Grund für die Notwendigkeit arithmetischer Wahrheiten war derselbe wie jener der logischen Wahrheiten.

Diese These ist als Logizismus bekannt. Frege hatte seine allgemeinen erkenntnistheoretischen Ansichten von Kant übernommen. Von ihm nahm er die Dreiteilung der erkennbaren Sätze in analytische, synthetische a priori und a posteriori Wahrheiten an, auch wenn er keine kantische Erklärung für die synthetischen a priori Wahrheiten geben konnte, da seine Philosophie Kants Deutung der Anschauungen a priori nicht zuließ. Mit dieser Dreiteilung der erkennbaren Wahrheiten ging eine dreifache Einteilung der Erkenntnisquellen einher. Die a posteriori Wahrheiten werden durch Wahrnehmung erkannt, also durch Beobachtung, die von Begriffen geleitet und mittels der Sinne vollzogen wird. Die synthetischen a priori Wahrheiten, wie die der Geometrie, werden durch den Rückgriff auf Anschauungen a priori erkannt. Schließlich werden die analytischen Wahrheiten durch die Vernunft allein erkannt. Frege lehnte Kants Ansicht ab, analytische Wahrheiten könnten das Wissen nicht erweitern. Diese beruhte seiner Meinung nach auf einem unzureichenden Verständnis der möglichen Satzstruktur und auf einer zu engen Vorstellung vom Umfang der Logik.

Die Quelle unseres Wissens bestimmt den Geltungsbereich der erkannten Wahrheiten. Was durch Beobachtung erkannt wird, gilt nur für die Welt, wie sie in der Erfahrung erscheint: Es betrifft nur das, was direkt oder indirekt wahrnehmbar ist. Was aus reiner Anschauung erkannt wird, gilt nur für das, was im Raum oder in der Zeit ist: Es regelt nicht nur, was wir wahrnehmen, sondern auch, was wir uns vorstellen können. Doch die durch reine Vernunft erkannten Wahrheiten haben den weitesten Geltungsbereich. Sie gelten für Objekte jeder Art, abstrakte ebenso wie konkrete; sie gelten für alles, was wir intellektuell begreifen und sprachlich ausdrücken können, ob wir es uns vorstellen können oder nicht. In diesem Licht betrachtet teilt die Arithmetik mit der Logik den Charakter dessen, was aus der Vernunft allein hervorgeht. Frege betonte gern diesen Unterschied zwischen Arithmetik und Geometrie. Geometrie bezieht sich auf das, was im Raum ist; Arithmetik gilt in jedem Bereich. Wir können Objekte jeder Art zählen – nicht nur Messer und Berge, sondern auch Melodien, politische Theorien und die Zahlen selbst; und die Gesetze der Arithmetik gelten für all diese Dinge mit derselben Unerbittlichkeit. Frege nahm an, die Geometrie sei die Wissenschaft des physischen Raums, und er glaubte, dieser Raum sei euklidisch. Er räumte ein, dass man sinnvoll von einem Raum mit mehr als drei Dimensionen oder von einem nichteuklidischen Raum sprechen könne. Wir können uns ein solches Gebilde vorstellen; nur sind wir außerstande, es uns bildlich auszumalen. Doch wir können uns keine Welt vorstellen oder verständlich von einer sprechen, in der die Gesetze der Arithmetik versagen, ebensowenig wie von einer, in der die Gesetze der Logik nicht gelten.

Freges Erkenntnistheorie prädestinierte ihn daher, die logizistische These zu vertreten, dass arithmetische Wahrheiten analytisch sind, also weder aus Beobachtung noch aus irgendeiner Form der Anschauung stammen. Er entwickelte diese These erstmals in seinem kurzen Werk „Die Grundlagen der Arithmetik“, das 1884 erschien und als unverzichtbare Lektüre gilt: Es ist wohl die klarste und kraftvollste philosophische Abhandlung von solcher Kürze, die je verfasst wurde. Frege verband seinen Logizismus mit einer weiteren Auffassung, die als Platonismus bekannt ist und zwei Thesen vereint. Erstens sind mathematische Aussagen wörtlich zu nehmen, das heißt, sie haben wirklich die Struktur, die sie ihrem Anschein nach besitzen. Die Aussage „Sieben teilt fünfunddreißig“ hat offenbar dieselbe Form wie „Der Mond umkreist die Erde“: Beide scheinen auszusagen, dass ein bestimmtes Objekt in einer bestimmten Beziehung zu einem anderen Objekt steht. Nach der platonischen Auffassung hat die arithmetische Aussage tatsächlich diese Form: Wenn wir mathematische Aussagen machen, beziehen wir uns auf wirkliche Objekte und Systeme von Objekten, auch wenn diese abstrakt sind. Der zweite Bestandteil des Platonismus besagt, dass die abstrakten Objekte, von denen in der Mathematik die Rede ist, unabhängig von uns existieren und dass die Aussagen über sie, sofern sie wahr sind, unabhängig von unserer Kenntnis dieser Wahrheit gelten. Mathematische Objekte sind ebenso objektiv wie physische oder andere Gegenstände, und Aussagen über sie sind ebenso objektiv wahr oder falsch wie Aussagen über Sterne oder Berge.

Es scheint zunächst widersprüchlich, Logizismus mit Platonismus zu verbinden, denn man neigt dazu, logische Gesetze als unabhängig von der Existenz bestimmter Objekte zu betrachten. Logizismus scheint daher eher mit der Auffassung vereinbar, arithmetische Aussagen nicht wörtlich zu verstehen, sondern so umzudeuten, dass sie keinerlei Bezug auf oder Quantifizierung über Objekte enthalten. Frege verband beide Prinzipien, indem er Zahlen als Klassen oder, wie er vorzog zu sagen, als Erweiterungen von Begriffen auffasste. Klassen betrachtete er als Objekte, und wie alle seine Zeitgenossen hielt er den Begriff der Klasse für einen logischen Begriff. Ein logischer Begriff war für ihn nicht in erster Linie ein Hilfsmittel zur Systematisierung deduktiver Schlüsse, sondern ein Begriff von universeller Anwendbarkeit auf Dinge jeder Art. Er sprach lieber davon, dass Objekte unter einen Begriff fallen, als davon, dass sie eine Eigenschaft besitzen; doch verstand er Begriffe extensionell – alles, was für einen Begriff gilt, muss auch für jeden gleichwertigen Begriff gelten. Für ihn war der Begriff des Begriffs dem der Klasse übergeordnet, die nur als Erweiterung eines Begriffs gedacht werden konnte; sie anders zu verstehen hieße, sie auf unverständliche Weise aus ihren Mitgliedern zusammengesetzt zu denken, während die einzige verständliche Erklärung für „x ist ein Mitglied von a“ lautet: „x fällt unter einen Begriff, dessen Erweiterung a ist“.