Die Philosophie der Mathematik

Die Geburt der modernen Logik

Bolzano und seine Nachfolger hatten sich darauf konzentriert, Appelle an die Anschauung aus der Analysis zu verbannen. Kant jedoch hatte argumentiert, dass ein solcher Rückgriff selbst in der Zahlentheorie, der Theorie der natürlichen Zahlen, integraler Bestandteil sei. Die Aufgabe, die Anschauung auch aus diesem grundlegenderen Zweig der Mathematik zu entfernen, übernahm Gottlob Frege.

Frege war kein professioneller Philosoph, sondern Professor der Mathematik, doch hatte er einen tiefgreifenden Einfluss auf die moderne analytische Philosophie. Er war der erste Mensch in der Geschichte, der nahezu all seine Anstrengungen der Logik widmete, sowohl in ihren formalen als auch in ihren philosophischen Aspekten, sowie der Philosophie der Mathematik. Von frühester Karriere an setzte er sich ein einziges großes Ziel: eine endgültige Grundlage für die Arithmetik zu entwickeln, also für Zahlentheorie und Analysis.

Wie kann gezeigt werden, dass für zahlentheoretische Beweise kein Rückgriff auf Anschauung erforderlich ist? Eine Voraussetzung besteht darin zu zeigen, dass wesentliche Begriffe rein logisch definiert werden können. Die andere besteht darin, Beweise in der Zahlentheorie so durchzuführen, dass jeder Rückgriff auf Anschauung ausgeschlossen wird. Dies wird durch Formalisierung des Schlusses möglich. In der gewöhnlichen informellen Argumentation, wie Mathematiker sie betreiben, werden Schritte, manchmal auch große, dann unternommen, wenn sie uns einleuchtend erscheinen. Daraus ergibt sich eine doppelte Gefahr. Die scheinbare Einleuchtendheit eines Schrittes kann aus einer bloß intuitiven Notwendigkeit herrühren, deren wir uns nicht bewusst sind: wir halten das, was in Wirklichkeit auf Anschauung beruht, fälschlich für rein logisch. Aber wir können auch den umgekehrten Fehler begehen, glauben, wir hätten uns auf Anschauung berufen, während der inferentielle Schritt ein unverfälschtes Beispiel logischer Deduktion ist.

Freges Mittel, diesen beiden Gefahren zu entgehen, war die Formalisierung mathematischer Schlussfolgerungen. Zunächst war eine formale Sprache erforderlich, dann eine formale Charakterisierung der einzigen zulässigen inferenziellen Schritte in einem Beweis in dieser Sprache. Die Sätze einer solchen formalen Sprache bestehen, der Bequemlichkeit halber, aus Symbolen wie eine mathematische Gleichung, nicht aus Worten. Es gibt eine bestimmte Liste primitiver Symbole und präzise Regeln, wie Sätze aus ihnen gebildet werden können; alle Sätze werden aus primitiven Symbolen und weiteren, darauf definierten Symbolen aufgebaut, sodass jeder Satz prinzipiell nur aus primitiven Symbolen umgeschrieben werden könnte. Formale Beweise werden dann durch Auflistung einiger Anfangsaxiome und ebenso präzise Beschreibungen, ausschließlich in Bezug auf die Form der Sätze, der erlaubten inferenziellen Übergänge charakterisiert, durch die ein Satz aus einem oder mehreren anderen abgeleitet werden kann. Den Symbolen und damit den Sätzen der formalen Sprache werden Bedeutungen zugewiesen; die Überprüfung, ob ein formaler Beweis den Regeln entspricht, ist jedoch ein rein mechanischer Prozess, der ohne Kenntnis der Bedeutungen durchgeführt werden kann. Wird ein formaler Beweis so als korrekt bestätigt, können wir sicher sein, dass die Ableitung seiner Schlussfolgerung keinem verdeckten Rückgriff auf Anschauung oder einem anderen nicht ausdrücklich genannten Prinzip verdankt.

Dies ist das, was als formales System bekannt ist. Frege war der erste Mensch, der ein solches System konzipierte und realisierte. Formale Systeme spielen in der modernen mathematischen Logik als Untersuchungsobjekte eine bedeutende Rolle; Frege beabsichtigte das von ihm geschaffene System jedoch nicht zur Untersuchung, sondern zur Durchführung von Beweisen mathematischer Theoreme, die lückenlos und frei von Anschauungsrückgriffen sein sollten. Vokabular und Axiome formaler Systeme können je nach der zu formalisierenden mathematischen oder wissenschaftlichen Theorie variieren; die Formalisierung deduktiver Beweise ist jedoch allen gemeinsam, da alle nur logisches Denken verwenden. Freges erste Aufgabe war daher, die logische Folgerung zu formalisieren, zumindest so, wie sie in mathematischen Beweisen vorkommt.

Dies tat er in seinem ersten Buch, veröffentlicht 1879: ein kleines Buch voller ungewohnter Symbole, die den Titel Begriffsschrift tragen, wörtlich „Begriffsschrift“. Freges Begriffsschrift war das erste Werk der modernen mathematischen Logik. Vor ihm hatten mehrere versucht, eine systematischere Theorie der logischen Deduktion zu entwickeln, analog zu mathematischen Theorien. Der früheste war George Boole; der einflussreiche deutsche Vertreter dieser Schule war Ernst Schröder. Freges Formalisierung der Logik beruhte auf der Arbeit dieser Vorgänger nicht und unterschied sich in zwei Punkten davon. Wie er wiederholt betonte, erlaubte deren Symbolik bestenfalls, ein bestimmtes Argument ad hoc zu codieren, während seine Sprache eine Struktur war; um Aussagen beliebiger mathematischer Theorien, etwa der Zahlentheorie oder der euklidischen Geometrie, auszudrücken, wäre nur etwas zusätzliches Vokabular nötig. Die Struktur war bereits gegeben, Beweise würden nach den Regeln des logischen Systems durchgeführt.

Darüber hinaus war der Umfang der deduktiven Schlüsse, die in Freges Logik fallen, immens größer und umfasste alles, was in mathematischem Denken vorkommt. Dieses Denken ließ sich nicht auf aristotelische Syllogismen reduzieren, und Boole sowie seine Anhänger waren nur wenig darüber hinausgekommen. Frege konnte weiter gehen, weil er die Methode entdeckte, durch die Allgemeingültigkeit, ausgedrückt in der natürlichen Sprache durch Wörter wie „alle“, „einige“, „es gibt“, in der modernen Logik durch Quantoren und gebundene Variablen dargestellt wird. Seine logische Theorie umfasste tatsächlich alles, was in den Standardlogiksystemen der Gegenwart enthalten ist, einschließlich einer vollständigen Formalisierung der sogenannten Prädikatenlogik erster Stufe.

Auf diese Weise und mit diesem Ziel erfand Frege die moderne mathematische Logik. Die Sprache mathematischer Theorien weist Merkmale auf, die der natürlichen Sprache fehlen. Sie kennt keine Zeitformen, da in der Mathematik Gültiges zeitlos gültig ist. Sie kennt keine Modalität, also Hilfsverben wie „müssen“, „dürfen“, „können“ und Adverbien wie „notwendigerweise“ und „möglicherweise“: ein mathematischer Beweis beschäftigt sich nur mit dem, was ist, und unterscheidet nicht zwischen dem, was nicht anders sein könnte, und dem, was zufällig so ist. Mathematische Sprache enthält keine Verben wie „glauben“, „wissen“ oder „sich fragen“: Geisteszustände Einzelner sind nicht Gegenstand der Mathematik. Sie ist ebenso frei von vagen Ausdrücken, die in der natürlichen Sprache häufig vorkommen, da Mathematiker auf absolute Präzision der Begriffe abzielen. Die von Frege erfundene und von nachfolgenden Logikern übernommene Logik war nicht dazu bestimmt, diese allgegenwärtigen Sprachmerkmale zu behandeln: sie wurde entwickelt, um ein absolut zuverlässiges Instrument für mathematische Beweise zu schaffen. In jüngerer Zeit haben philosophisch orientierte Logiker versucht, den Anwendungsbereich der formalen Logik auf die natürliche Sprache auszuweiten, allerdings mit weniger klaren Ergebnissen als Frege bei der Systematisierung der mathematischen Logik; mathematisch orientierte Logiker bevorzugten, immer komplexere formale Theorien der Mathematik zu untersuchen.