Die Philosophie der Mathematik

Mathematische Notwendigkeit

Die Extrusion der Anschauung aus der Arithmetik

Kants Einfluss auf die meisten Philosophen war enorm; über viele Jahrzehnte hinweg waren selbst diejenigen, die ihm widersprachen, gezwungen, sich in seinen Begriffen auszudrücken. Die Mathematiker jedoch bewegten sich meist in die entgegengesetzte Richtung. Das neunzehnte Jahrhundert sah einen beständigen Versuch, die Analysis, also die Theorie der reellen Zahlen, streng zu begründen, seien sie rational wie sieben oder irrational wie die Quadratwurzel aus zwei. Dies war dringend nötig aufgrund der Antinomien, die durch die Versuche des vorangegangenen Jahrhunderts entstanden waren, die Infinitesimalrechnung auf dem Begriff unendlich kleiner Zahlen zu gründen, die von null verschieden sind; ein fast ebenso starkes Motiv war es, die Analysis von geometrischen Begriffen unabhängig zu machen, oft beschrieben als Befreiung von jeglicher Intuition. Den Anfang machte der große tschechische Mathematiker und Philosoph Bernard Bolzano. Als Philosoph war er außergewöhnlich wenig von Kant beeinflusst und kaum beeindruckt. Als Mathematiker war er entschlossen, die Anschauung aus der Analysis zu verbannen und alles von den ersten Prinzipien aus zu beweisen, was beweisbar war, egal wie offensichtlich es geometrisch erscheinen mochte. Ein Grund dafür war, dass das, was offensichtlich scheint, nicht notwendigerweise wahr ist. Betrachtet man eine Funktion, die über ein Intervall kontinuierlich ist, als durch eine Kurve auf Millimeterpapier dargestellt, scheint es offensichtlich, dass diese Kurve innerhalb des Intervalls an allen bis auf endlich viele Punkte eine bestimmte Steigung haben muss; wenn die Kurve beispielsweise aus zwei geraden Segmenten in unterschiedlichen Winkeln besteht, hat sie an der Stelle, an der die beiden Linien zusammentreffen, keine Steigung. Bolzano lieferte jedoch das erste Beispiel einer Funktion, die über ein Intervall hinweg kontinuierlich ist, aber an keinem Punkt differenzierbar. Geometrisch ausgedrückt wäre dies eine kontinuierliche Kurve ohne bestimmte Steigung an irgendeinem Punkt; sie kann nicht gezeichnet werden, nur durch eine Folge immer genauerer Approximationen dargestellt werden. Auch wenn das Offensichtliche tatsächlich wahr ist, muss es nach Bolzano bewiesen werden, und zwar ohne auf äußere Vorstellungen von Raum oder Zeit zurückzugreifen: Mathematik befasst sich nicht nur mit Wahrheiten, sondern damit, welche Wahrheiten auf welchen anderen beruhen. So scheint es der Intuition offenkundig, dass, wenn eine kontinuierliche Kurve am Anfang eines Intervalls unter der x-Achse liegt und am Ende darüber, sie irgendwo das Intervall durchkreuzen muss. In rein arithmetischen Begriffen wird dies zum Zwischenwertsatz: Hat eine kontinuierliche Funktion am Anfang eines Intervalls einen negativen Wert und am Ende einen positiven, muss sie innerhalb des Intervalls den Wert null annehmen. 1817 veröffentlichte Bolzano einen Versuch, diesen Satz zu beweisen, der, wenn auch mit einer Lücke, das Programm unterstützte, die Analysis von räumlicher Anschauung zu befreien. In seiner Arbeit schrieb er, dass die Konzepte von Zeit und Bewegung der allgemeinen Mathematik ebenso fremd sind wie das Raumkonzept.

Eine Methode, die gewünschte Strenge in der Theorie der reellen Zahlen zu erreichen, ist die Axiomatik. Hierbei werden die grundlegenden Merkmale des Systems der reellen Zahlen isoliert, auf denen alle bekannten Beweise der Theoreme beruhen können, ähnlich wie Euklid seine Axiome und Postulate für die Geometrie formulierte. Diese Grundmerkmale können dann als Axiome angenommen werden, wobei alles, was über die reellen Zahlen bewiesen werden soll, daraus abgeleitet werden muss. Ein tieferer Ansatz besteht darin, die fundamentalen Prinzipien selbst zu beweisen. Dazu ist eine präzise Formulierung erforderlich, was reelle Zahlen sind: sie müssen konstruiert werden aus einfacheren mathematischen Entitäten mittels vorab gegebener Vorstellungen.

Da es verschiedene Methoden geben kann, die reellen Zahlen zu konstruieren, sind die beiden Methoden eher komplementär als konkurrierend. Die axiomatische Methode zeigt, welche Merkmale ein System mathematischer Entitäten haben muss, um als Konstruktion der reellen Zahlen zu gelten; eine solche Konstruktion garantiert, dass man nicht die Existenz eines Systems voraussetzen muss, das die Axiome erfüllt.

Die bekanntesten Methoden zur Konstruktion der reellen Zahlen sind die von Georg Cantor, der eine frühere Konstruktion von Karl Weierstrass verbesserte, und von Richard Dedekind; beide waren professionelle Mathematiker, obwohl Cantor umfangreiche philosophische Schriften verfasste, um seine Arbeit zu transfiniten Zahlen zu erklären und zu verteidigen. Dedekind hingegen machte philosophische Bemerkungen nur beiläufig, woraus sich nur eine skizzenhafte Position zur Mathematik ableiten lässt. Er befürwortete die Ansicht, dass Mathematik, zumindest der nicht-geometrische Teil, nur auf logischen Begriffen beruht und dass ein Rückgriff auf räumliche oder zeitliche Anschauung fremde Ideen einführt. So schrieb er zu Beginn seines berühmten kurzen Aufsatzes von 1872, Kontinuität und irrationale Zahlen, in dem er seine Methode zur Konstruktion der reellen Zahlen darlegte, dass das System der reellen Zahlen „ein eindimensionaler Bereich ist, der in beide Richtungen unendlich ausgedehnt ist“ und wies auf seinen Gebrauch geometrischer Metaphern hin, um anschließend die Notwendigkeit zu betonen, die entsprechenden rein arithmetischen Eigenschaften klar darzustellen, um den Anschein zu vermeiden, die Arithmetik benötige fremde Ideen.

Es lohnt sich, Dedekinds berühmte Konstruktion zu erläutern, um zu zeigen, was eine Konstruktion eines mathematischen Systems bedeutet. Dedekind nimmt an, dass er die rationalen Zahlen, bestehend aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen, als gegeben ansehen kann. Seine Konstruktion der reellen Zahlen beginnt mit der Überlegung, dass eine irrationale Zahl in Bezug auf die rationalen Zahlen eine bestimmte Position einnimmt: Jede rationale Zahl ist entweder kleiner oder größer als sie. Er betrachtet dann einen Schnitt in den rationalen Zahlen. Ein Schnitt teilt alle rationalen Zahlen in eine untere und eine obere Klasse, sodass keine der Klassen leer ist, jede rationale Zahl nur einer Klasse angehört, eine rationale Zahl, die kleiner ist als ein Mitglied der unteren Klasse, ebenfalls zur unteren Klasse gehört, und eine, die größer ist als ein Mitglied der oberen Klasse, zur oberen Klasse gehört. Dedekind betrachtete die Klasse als logischen Begriff. Ein solcher Schnitt teilt die rationalen Zahlen in alle Zahlen, die kleiner oder gleich einer gegebenen Zahl sind, und alle Zahlen, die größer sind, oder in solche, deren Quadrat kleiner als zwei ist, und solche, deren Quadrat größer als zwei ist. Ein Schnitt muss einem von drei Typen entsprechen: (1) die untere Klasse hat ein größtes Element, die obere Klasse kein kleinstes; (2) die obere Klasse hat ein kleinstes Element, die untere kein größtes; (3) die untere Klasse hat kein größtes Element, die obere kein kleinstes.

Obwohl Dedekind der Ansicht war, dass die Arithmetik nur logische Begriffe benötigt, glaubte er nicht, dass Logik allein Arithmetik liefert. Vielmehr sind mathematische Objekte und Strukturen freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sodass geistige Kreativität erforderlich ist, um sie zu erreichen. Nachdem er die Vorstellung eines Schnitts in der rationalen Linie beschrieben hatte, sagt er, dass wir nun Zahlen erzeugen können, die jedem Schnitt entsprechen: dies sind die reellen Zahlen. Einige entsprechen bereits existierenden rationalen Zahlen, andere nicht. Frege und Russell kritisierten Dedekind stark wegen dieses Schrittes. Russell wies darauf hin, dass dies nicht notwendig sei. Betrachtet man zunächst nur Schnitte, bei denen die obere Klasse kein kleinstes Element hat, so müssen keine neuen Zahlen erzeugt werden: Die reellen Zahlen können direkt mit den Schnitten identifiziert werden oder, noch einfacher, mit den oberen Klassen solcher Schnitte.