Die Philosophie der Mathematik

Mathematische Notwendigkeit

Die meisten Philosophen haben mathematische Wahrheiten in gewissem Sinne für notwendig gehalten, zumindest in dem Sinne, dass sie a priori, also im Voraus ohne Beobachtung der Welt, erkannt werden können. Normalerweise gehen wir nicht davon aus, dass die Gesetze der Physik zwangsläufig gelten; es ist lediglich so, dass das Universum beschaffen ist, dass sie zutreffen. Betrachten wir jedoch einen fundamentalen Satz der Zahlentheorie, dass jede positive ganze Zahl auf genau eine Weise als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden kann, wobei die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt. Wer etwas Mathematik kennt, wird wissen, dass es Bereiche gibt, in denen der Satz der eindeutigen Faktorisierung nicht gilt; dennoch erscheint es unnatürlich zu sagen, dass wir nur zufällig in einem Universum leben, in dem der Satz für die positiven ganzen Zahlen zutrifft, und wir hätten in einem leben können, in dem sie auf zwei oder mehr im Wesentlichen verschiedene Weisen faktorisierbar wären. Warum? Es ist keine überzeugende Antwort zu sagen, dass wir uns kein Universum vorstellen können, in dem der Satz für die positiven ganzen Zahlen falsch wäre: Wahrscheinlich gibt es viele Dinge, die wir uns nicht vorstellen können, die dennoch hätten so sein können. Es erscheint unnatürlich, weil der Satz ein Theorem ist, was bedeutet, dass er durch rigorose deduktive Argumentation bewiesen wurde. Wenn wir nicht die Prinzipien der Logik infrage stellen, nach denen der Beweis erfolgt, können wir die Schlussfolgerung nur dann in Frage stellen, wenn wir die Prämissen infrage stellen. Die letztendlichen Prämissen des Beweises sind die Axiome der Zahlentheorie. Diese wurden nicht bewiesen, weshalb sie „Axiome“ und nicht „Theoreme“ genannt werden. Genauer gesagt wurden sie innerhalb der Zahlentheorie, die von ihnen ausgeht, nicht bewiesen. Sie können in einer allgemeineren Theorie, die die Zahlentheorie umfasst, bewiesen werden, und wurden es auch; doch solche Beweise heranzuziehen, bedeutet, sich auf unsicheres, also diskutables, Terrain zu begeben. Dennoch erscheint es unnatürlich zu behaupten, wir lebten zufällig in einem Universum, in dem diese Axiome gelten. Sie wirken nicht wie etwas, dessen Falschheit wir entdecken könnten; ebenso wenig wirken sie wie etwas, dessen Wahrheit wir durch Beobachtung der uns umgebenden Welt erlangt haben. Sie erscheinen vielmehr wie Prinzipien, die verkörpern, was wir unter „Zahl“ verstehen, wobei das Wort auf die natürlichen Zahlen, also die ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter, angewendet wird. Dies ist natürlich noch kein Argument oder philosophische Position: Es ist lediglich Ausdruck unserer ursprünglichen Zurückhaltung, zu denken, dass ein mathematisches Theorem falsch hätte sein können, wenn die Welt anders beschaffen wäre als wir sie vorfinden.