Die Philosophie der Mathematik

Warum gibt es eine Philosophie der Mathematik?

Viele intellektuelle Disziplinen stellen den Philosophen vor besondere Probleme: Es kann eine Philosophie der Biologie oder der Ökonomie geben. Doch seit der Zeit Platons fasziniert und fordert die Mathematik Philosophen in einem ganz besonderen Maße heraus. Dies liegt an ihrem einzigartigen Charakter. Wie die Philosophie erscheint sie als a priori Untersuchung; doch ihre Methoden unterscheiden sich völlig von denen der Philosophie, ebenso wie der definitive Charakter ihrer Ergebnisse: Mathematik macht stetige Fortschritte, während die Philosophie weiterhin in endloser Verwirrung über die Probleme verharrt, denen sie zu Beginn begegnete.

Dieser Unterschied zwischen den beiden Fachgebieten bestimmt den Unterschied zwischen einem Studienführer für einen Teilbereich des einen und einem Studienführer für einen Teilbereich des anderen. Ein Studienführer für einen Teilbereich der Mathematik wird darauf abzielen, Informationen über ein mathematisches Gebiet zu vermitteln. Verschiedene Autoren können unterschiedliche Gebiete wählen oder dasselbe Gebiet auf unterschiedliche Weise präsentieren; aber alle stimmen darin überein, dass ihr Ziel darin besteht, die Leser in bestimmten Wahrheiten zu unterrichten. Ein Studienführer für einen Teilbereich der Philosophie hat nicht die Aufgabe, Ähnliches zu versuchen: Sein Ziel ist es, den Lesern zu helfen, zu eigenen Schlussfolgerungen über die Wahrheit der Materie zu gelangen. Er kann sie über die Ansichten von Autoren informieren, über die Argumente, die sie vorgebracht haben, die Unterscheidungen, die sie getroffen haben, und die Theoreme, die sie bewiesen haben; aber er sollte nicht versuchen, die Leser von der Wahrheit einer Antwort auf eine philosophische Frage zu überzeugen. Aus diesem Grund werde ich jede solche Versuchung vermeiden. Dieser Studienführer wird kein philosophisches Fazit befürworten oder über die Gültigkeit eines philosophischen Arguments urteilen: Sein Zweck ist es, den Leser auf den Weg zu bringen, solche Argumente und Schlussfolgerungen selbst zu bewerten.

Was braucht man, um die Philosophie der Mathematik zu studieren?

Die Philosophie der Mathematik ist ein spezialisierter Bereich der Philosophie, aber nicht nur ein spezialisierter Bereich. Viele der Fragen, die in ihr auftauchen, sind zwar nicht alle, aber besondere Fälle allgemeinerer Fragen, die anderswo in der Philosophie auftreten, und sie erscheinen in der Philosophie der Mathematik in besonders reiner oder vereinfachter Form. In einem wichtigen Aspekt ähnelt das Fach der Philosophie der Zeit. Man würde kaum versuchen, die Philosophie der Biologie ohne ein funktionierendes Wissen über Biologie anzugehen oder die Philosophie der Ökonomie ohne Grundkenntnisse der Ökonomie. Ebenso ist es unklug, sich der Philosophie der Mathematik zu widmen, ohne über eine gewisse Grundlage in Mathematik zu verfügen, so wie man keine umfassende Studie über die Philosophie der Zeit unternehmen kann, ohne zu verstehen, wie Zeit in den Theorien der Physiker behandelt wird. Im Fall der Mathematik gibt es eine zusätzliche Voraussetzung: Man sollte auch ein angemessenes Wissen über mathematische Logik haben, nicht so sehr als Teil des Untersuchungsobjekts, sondern als Werkzeug der Untersuchung. Dennoch können einige Fragen der Philosophie der Mathematik auch von jemandem fruchtbar betrachtet werden, der nur wenig Mathematik oder mathematische Logik kennt, ebenso wie bei einigen philosophischen Problemen über die Zeit. Es ist jedoch sicherer, sich einer solchen Frage mit einem gewissen Hintergrundwissen zu nähern, selbst wenn nur, um sich selbst zu versichern, dass technisches Wissen nicht relevant ist und die aus ihm resultierenden Schlussfolgerungen nicht beeinflusst.

Wer wenig Kenntnisse der mathematischen Logik hat, sollte dringend welche erwerben, da diese für weit mehr als die Philosophie der Mathematik relevant sind. Wer wenig Mathematikkenntnisse hat, muss dieses Defizit jedoch nicht beheben, bevor er sich für die Philosophie der Mathematik interessiert. Es wäre verwegen, vor größerem mathematischen Wissen Arbeiten zu veröffentlichen; dennoch kann man viele Debatten und Theorien über das Fachgebiet gut verstehen, ohne umfassende Kenntnisse des Gegenstands zu besitzen. Eine gewisse Vertrautheit mit der Philosophie der Mathematik ist ein wesentlicher Bestandteil einer philosophischen Ausbildung, wie die Vertrautheit mit der Philosophie der Ökonomie es nicht ist. Welchen Wert hätten beispielsweise die Meinungen eines Menschen über Notwendigkeit, wenn er nichts über die Notwendigkeit mathematischer Wahrheiten sagen könnte?

Die grundlegenden Fragen der Philosophie der Mathematik

Die zentrale Frage in der Philosophie der Mathematik betrifft somit den Status des Fachgebiets. Diese zerfällt in vier Unterfragen: Erstens, wie wissen wir, dass unsere mathematischen Theorien wahr sind? Zweitens, worum geht es in der Mathematik? Anders gesagt, wenn eine mathematische Aussage wahr ist, was macht sie wahr? In welchem Sinne ist sie wahr? Drittens, sind mathematische Wahrheiten notwendigerweise wahr, und wenn ja, was ist die Quelle dieser Notwendigkeit? Unsere Antworten auf diese Fragen können nur dann zufriedenstellend sein, wenn sie gleichzeitig eine weitere Frage beantworten: Viertens, wie ist es möglich, mathematische Wahrheiten auf die äußere Realität anzuwenden, und worin besteht diese Anwendung? Es ist natürlich nicht so, dass Philosophen der Mathematik diese Fragen nacheinander separat beantworten. Meistens entwickeln sie umfassende Theorien über die Natur der Mathematik, die, wenn sie korrekt sind, Antworten auf alle diese Fragen liefern.