Die Philosophie der Mathematik

Mathematische Notwendigkeit

Kant und die a priori Anschauung

Mehr als sechzig Jahre vor Mill schrieb Immanuel Kant in seiner Kritik der reinen Vernunft von 1781, wohl dem bekanntesten philosophischen Werk seit Aristoteles, dass mathematischen Aussagen ein Status zwischen dem Empirischen und dem rein Logischen zukommt. Er schlug zwei verschiedene Dichotomien zur Klassifikation korrekter Urteile oder, wie wir sagen könnten, wahrer Aussagen vor. Sie konnten als analytisch oder synthetisch eingestuft werden; ebenso konnten sie als a priori oder a posteriori gemacht oder erkannt werden. Analytische Aussagen sind solche, deren Verneinung zu einem Widerspruch führt; sie werden also allein durch die Logik gestützt. Kant betrachtete sie als sehr eingeschränkt, nämlich so, dass ein durch ein Prädikat ausgedrücktes Konzept im Konzept des Subjekts enthalten ist; ein Beispiel wäre „Alle Rosen sind Blumen“, da das Blühen Teil des Konzepts einer Rose ist. Analytische Aussagen sind nach Kant trivial und sagen nichts Wesentliches; analytische Urteile erweitern unser Wissen nicht. Alle anderen Aussagen sind synthetisch: Ihre Verneinung führt nicht zu einem Widerspruch, und ihre Anerkennung als wahr bedeutet, etwas Tatsächliches anzuerkennen, das die Welt wirklich charakterisiert.

Ein Urteil ist a posteriori, oder eine Aussage a posteriori bekannt, wenn es auf Erfahrung, das heißt auf Beobachtung durch die Sinne, beruht. Ein Urteil ist a priori, oder eine Aussage a priori bekannt, wenn es im Voraus, unabhängig von aller Erfahrung, gemacht oder erkannt werden kann. Alle analytischen Urteile sind a priori, da sie keine Erfahrungsgrundlage benötigen: Sie können von jedem, der die Konzepte versteht, als richtig erkannt werden, unabhängig von den gemachten Erfahrungen. Doch nicht alle a priori Urteile sind analytisch: Es gibt auch das synthetisch a priori. Zu dieser Klasse, so Kant, gehören mathematische Urteile.

Synthetische a priori Urteile beruhen auf dem, was Kant reine oder a priori Anschauung nennt. Das Wort „Anschauung“ bedeutet in Kant-Übersetzungen nicht das alltägliche englische Verständnis von „inspirierter Vermutung“. Es bezeichnet die Wahrnehmung eines bestimmten Objekts oder Systems von Objekten durch Sinneswahrnehmung oder Sinnesvorstellung. Die Vorstellung einer a priori Anschauung ist schwer fassbar. Kant meinte, wir begreifen Raum und ebenso Zeit als eine allumfassende Einheit. Die Möglichkeit, a priori Anschauungen von Raum und Zeit zu haben, beruht nicht darauf, dass wir zufällig in einem Universum leben, in dem Objekte in einem dreidimensionalen Raum angeordnet sind und sich über die Zeit verändern. Vielmehr ist die Wahrnehmung von Dingen in Raum und Zeit eine Bedingung dafür, dass wir sie überhaupt erfassen können: Raum und Zeit sind somit Formen der Anschauung. Wir können daher Raum und Zeit im Voraus, das heißt a priori, erkennen. Was in diesen a priori Anschauungen von Raum und Zeit wesentlich enthalten ist, kann a priori erkannt werden, ist jedoch nicht analytisch, sondern synthetisch: Seine Verneinung würde nicht zu einem Widerspruch führen, aber auch nichts liefern, das wir uns hätten vorstellen können, und könnte ohne Überprüfung der realen Welt als falsch erkannt werden.

Zur Zeit Kants und lange danach galt die Mathematik als Wissenschaft des Raums und der Quantität und wurde entsprechend in Geometrie und Arithmetik unterteilt. Kant hielt die Geometrie für auf unserer a priori Anschauung des Raums begründet und die Arithmetik auf unserer a priori Anschauung der Zeit. Die Wahrheiten beider Zweige der Mathematik waren daher weder analytisch noch a posteriori, sondern synthetisch a priori. Zeit tritt in der Arithmetik in dem weiten Sinn, wie sie im Differentialkalkül betrachtet wird, ein, das gewöhnlich über Änderungsraten eingeführt wird; es bleibt jedoch weniger offensichtlich, dass Arithmetik mit Zeit zu tun hat, als dass Geometrie mit Raum zu tun hat. Durch die geometrische Darstellung von Funktionen reeller Zahlen, ursprünglich von Descartes eingeführt, war es üblich, grundlegende Prinzipien der Analysis auf geometrische Anschauung zu stützen. Bei der Arithmetik beschränkte sich Kant jedoch auf die Zahlentheorie, die Theorie der natürlichen Zahlen. Er behandelte keine Theoreme wie den Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung, sondern nur elementare Rechenaufgaben wie „7 + 5 = 12“. Wie tritt Zeit in die Zahlentheorie ein? Kants Idee war, dass der Begriff der Gesamtheit der positiven ganzen Zahlen die allgemeine Vorstellung einer Folge verkörpert: Die positiven Zahlen sind diejenigen Elemente, die man durch sukzessives Addieren von eins anfangend bei eins erhält. Dies erscheint heute kaum umstritten, abgesehen davon, dass manche lieber von der Gesamtheit der natürlichen Zahlen sprechen, deren Folge bei null beginnt. Was sukzessive geschieht, vollzieht sich in der Zeit: Zuerst wird eins zu null addiert, um eins zu bilden, dann eins dazu, um zwei zu bilden, und so weiter, jeweils auf das Vorhergehende folgend. Es war also sehr natürlich für Kant zu glauben, dass der Begriff einer Folge wesentlich temporal ist; wir können uns eine Folge nicht vorstellen, ohne sie als in der Zeit erzeugt zu denken. Da der Begriff einer Folge integraler Bestandteil des Begriffs einer positiven Zahl oder einer natürlichen Zahl ist, beruht selbst die Zahlentheorie auf unserer a priori Anschauung der Zeit.

Die Einzelheiten von Kants Theorie der a priori Anschauungen sind nur für diejenigen wesentlich, die sie im Detail vertreten oder verteidigen möchten. Die wichtigen Elemente seiner Mathematikphilosophie sind, dass unser Wissen über mathematische Wahrheiten nicht von Beobachtungen der Welt abhängt, sondern unabhängig von solchen Beobachtungen oder von Kenntnissen über zufällige empirische Fakten gewonnen werden kann; und dass diese Wahrheiten nicht rein logisch sind, sondern vom allgemein bekannten, a priori erfassten Charakter von Raum und Zeit abhängen.