Die Philosophie der Mathematik

Conclusion

Dieser Studienleitfaden hat Ihnen keine Antworten geliefert: Abgesehen davon, dass er einige Informationen darüber gibt, was verschiedene Philosophen und Mathematiker gesagt haben, und über logische und mathematische Ergebnisse, die zu berücksichtigen sind, hinterlässt er lediglich einige sehr schwierige Fragen. Nun, was haben Sie erwartet? Sie studieren Philosophie, nicht Geologie.

Versuchen wir im Rückblick, die Hauptfragen zu überblicken. Die angewandte Mathematik kann Konzepte aus Erfahrung, Beobachtung, wissenschaftlichen Theorien und sogar aus der Wirtschaft übernehmen. Wirklich untersucht haben wir jedoch die Philosophie der reinen Mathematik. Und gerade ihre Reinheit führt zu vielen der Fragen, über die wir uns den Kopf zerbrochen haben.

Ist reine Mathematik lediglich eine Reihe von Vorlagen für mathematische Anwendungen?

Gibt es tatsächlich ein Problem mit der Existenz der Objekte der reinen Mathematik, oder können wir es den Anwendungen überlassen, die Objekte bereitzustellen?

Wenn es ein Problem gibt, wie kann es gelöst werden? Auf welche Weise können wir die Existenz abstrakter Objekte und deren ausreichende Anzahl garantieren?

Wenn es kein Problem gibt, wie können wir die Anwendungen der reinen Mathematik rechtfertigen? Indem wir die mathematischen Theorien so formulieren, dass sie die Existenz von Objekten nicht verlangen? Oder indem wir zeigen, dass die Annahme ihrer Existenz nur zu einer konservativen Erweiterung wissenschaftlicher Theorien führt, die entsprechend formuliert sind?

Ist die Anwendbarkeit der Sinn der reinen Mathematik? Oder ist sie ein unerwarteter, aber unwesentlicher Bonus? Können wir die Anwendungen vorhersagen, die auftreten werden? Müssen wir das überhaupt?

Was ist die Quelle mathematischer Notwendigkeit? Kann sie von logischer Notwendigkeit unterschieden werden? Wenn nicht, warum war es dann so schwierig, die Mathematik aus reiner Logik abzuleiten? Wenn doch, welche andere Art von Notwendigkeit kann Mathematik besitzen?

Worin besteht die Wahrheit einer wahren mathematischen Aussage? Kann sie wahr sein, auch wenn wir keine Möglichkeit haben und niemals haben werden, sie zu beweisen? Oder liefert uns der Besitz eines Beweises die einzige Vorstellung davon, was die Wahrheit einer mathematischen Aussage ausmacht? Falls Letzteres zutrifft, müssten die von klassischen Mathematikern akzeptierten Argumentationsmethoden überarbeitet werden? Oder können wir sie weiter anwenden, ohne dass eine weitere Rechtfertigung erforderlich ist als ihre allgemeine Akzeptanz?

Beim Lesen dieses Studienleitfadens werden Ihnen sicherlich noch andere Fragen begegnet sein: Die hier aufgelisteten sind nur die wichtigsten. Versuchen Sie, Antworten zu finden, die Sie zufriedenstellen. Schließlich gibt es in gewissem Sinne einen Aspekt, in dem die Philosophie der Mathematik der einfachste Teil der Philosophie ist:

Wenn Sie diese Probleme nicht lösen können, welche philosophischen Probleme können Sie dann hoffen, zu lösen?