Die Philosophie der Mathematik

Mathematische Notwendigkeit

Der Empirismus von John Stuart Mill

Einige Philosophen haben dennoch vertreten, dass mathematische Wahrheiten so zu verstehen sind wie die Wahrheiten der Naturwissenschaften, als Aussagen, die allgemeine Fakten über die Welt festhalten—über die Art, wie die Welt beschaffen ist. Der bekannteste unter ihnen war John Stuart Mill, dessen Ansichten zu diesem Thema in seinem Werk „A System of Logic“ von 1843 zu finden sind. Nach seiner Auffassung unterscheidet sich die Mathematik von anderen Wissenschaften nur durch ihre weit größere Allgemeinheit: Sie befasst sich mit Eigenschaften des physischen Universums, die noch allgemeiner sind als jene, die von der Physik untersucht werden.

Mills „empiristische“ Philosophie der Mathematik ist bis heute nicht tot: Es gibt noch Mathematikphilosophen, die die Mathematik für eine Wissenschaft wie jede andere halten. Auffällig ist jedoch der große Unterschied zu den Naturwissenschaften. Selbst wenn man alle Ansichten Mills akzeptiert, bleibt sie herausragend verschieden. Denn Mill behauptet lediglich, dass die grundlegenden Konzepte der Mathematik, wie etwa die Zahl, aus unserer Wahrnehmung äußerer Objekte abgeleitet sind und dass die grundlegenden Prinzipien, die sie regeln, Verallgemeinerungen aus beobachteten Tatsachen über diese Objekte sind; er versucht nicht zu leugnen, dass mathematische Theoreme durch deduktives Schließen aus diesen ersten Prinzipien gewonnen werden. Keine Naturwissenschaft besitzt diesen Charakter. Sie mag beginnen, indem sie als Grundkonzepte solche annimmt, die aus grober Beobachtung gewonnen wurden, und als erste Prinzipien Verallgemeinerungen aus diesen Beobachtungen; doch sie verfeinert ihre Konzepte schnell und macht genauere Beobachtungen. Sie entwickelt eine Theorie, so präzise wie möglich, und kann daraus komplexe Folgerungen ableiten; der wissenschaftliche Zweck besteht jedoch darin, Ergebnisse zu erzielen, die durch weitere Beobachtung überprüfbar sind, deren Widerlegung eine Revision der Theorie erfordert. Zweck des deduktiven Arguments in der Mathematik ist dagegen, die Wahrheit der erreichten Schlussfolgerungen zu begründen: Sie bedürfen normalerweise keiner Überprüfung durch Beobachtung, um festzustellen, ob sie mit der Realität übereinstimmen. Die empiristische Philosophie scheint die zentrale Rolle des Beweises in der Mathematik nicht erklären zu können.

Es ist zutreffend, wie Imre Lakatos in „Proofs and Refutations“ gezeigt hat, dass ein überzeugendes Gegenbeispiel zu einem vermeintlichen Theorem eine Überarbeitung der ersten Prinzipien einer Theorie oder häufiger die Neufassung einer Definition veranlassen kann; doch besteht ein auffälliger Unterschied zwischen der mathematischen und der wissenschaftlichen Theorie. Im mathematischen Fall reicht es, wie Wittgenstein bemerkte, dass das Gegenbeispiel nur vorgestellt oder beschrieben wird, während ein Gegenbeispiel zu einer empirischen Theorie tatsächlich existieren muss, um Wirkung zu entfalten. Dies liegt daran, dass die bloße Möglichkeit eines Gegenbeispiels ausreicht, um eine mathematische Aussage zu widerlegen; und was durch die bloße Möglichkeit widerlegt werden kann, beansprucht nicht nur faktisch, wahr zu sein, sondern notwendig wahr zu sein.