Die Philosophie der Mathematik

Die Geburt der modernen Logik

Die Anwendung der Mathematik

Damit ist nicht gesagt, dass Frege es für ganz unproblematisch hielt, entweder die Auffassung der Zahlen als Objekte oder die Existenz der Klassen, mit denen er sie identifizierte, zu rechtfertigen. Im Gegenteil, dies war für ihn ein zentrales Anliegen, das ihn schließlich zu Fall brachte. In den „Grundlagen der Arithmetik“ behandelte er die natürlichen Zahlen als eine Art innerhalb der größeren Gattung der Kardinalzahlen. Kardinalzahlen sind jene, die angeben, wie viele Dinge einer bestimmten Art, also unter einem bestimmten Begriff fallend, existieren. Cantor hatte gezeigt, wie sich eine Theorie der transfiniten Kardinalzahlen entwickeln lässt, die dazu dienen, präzise anzugeben, wie viele Dinge es gibt, wenn eine ungenaue Antwort lauten würde: unendlich viele. Freges Gleichsetzung der natürlichen Zahlen mit den endlichen Kardinalzahlen entsprach seiner Auffassung, dass das Prinzip, das die Anwendungen einer mathematischen Theorie regelt, für ihre Charakterisierung wesentlich ist. „Allein die Anwendbarkeit“, schrieb er, „erhebt die Arithmetik vom Rang eines Spiels zu dem einer Wissenschaft.“ Die Einzelheiten einer konkreten Anwendung einer solchen Theorie sind für die Mathematik nebensächlich, die rein und frei von empirischen Begriffen bleiben muss. Doch das allgemeine Prinzip, das alle ihre Anwendungen möglich macht, ist innerlich und muss in der Art und Weise verkörpert sein, in der die Objekte der Theorie bestimmt werden. Die allgemeinste Anwendung der natürlichen Zahlen ist ihre Verwendung als Kardinalzahlen, und daher müssen sie als solche definiert werden. Aus ähnlichen Gründen folgte Frege in seinem späteren Werk „Grundgesetze der Arithmetik“ nicht der Strategie von Cantor und Dedekind, zunächst die rationalen Zahlen aus den natürlichen und dann die reellen aus den rationalen zu definieren, sondern ging unmittelbar von den natürlichen zu den reellen Zahlen über. Er argumentierte, dass die rationalen Zahlen in derselben Weise angewandt werden wie die reellen, nämlich um das Maß einer Größe zu bestimmen, und daher als Zahlen derselben Art betrachtet werden müssen.

In den „Grundlagen der Arithmetik“ erkannte Frege die Beziehung der Kardinaläquivalenz als grundlegend an und übernahm die Definition „Es gibt ebenso viele F wie G“ im Sinne von „Es gibt eine eineindeutige Zuordnung der F zu den G“, die unter Mathematikern gerade zum Standard wurde. Eine Abbildung ist eineindeutig, wenn sie verschiedene F auf verschiedene G abbildet; sie ist „auf“ statt nur „in“ die G, wenn jedes G das Bild eines F ist. Um Kardinalzahlen als Objekte zu verstehen, ist es notwendig, den Operator „die Zahl der D“ zu definieren. Frege legte das Prinzip fest:

Die Zahl der F ist gleich der Zahl der G genau dann, wenn es ebenso viele F wie G gibt.

Wenn man dies mit der Definition von „ebenso viele“ verbindet, wird daraus:

Die Zahl der F ist gleich der Zahl der G genau dann, wenn es eine eineindeutige Abbildung der F auf die G gibt.

Frege erwog kurz, dieses Prinzip einfach festzulegen und als Definition des Operators „die Zahl der O“ zu behandeln. Doch verwarf er es, weil es keinen Wahrheitswert für eine Aussage liefert, die eine Zahl mit einem Objekt gleichsetzt, das nicht als Zahl gegeben ist, und damit auch nicht für Kontexte der Form „die Zahl der F = x“, in denen eine Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Stattdessen betrachtete er das Prinzip als Leitfaden dafür, wie „die Zahl der F“ zu definieren sei, nämlich als die Klasse der Begriffe G, für die es ebenso viele F wie G gibt. Diese Definition benutzte er dann ausschließlich, um das Prinzip selbst abzuleiten und daraus – mithilfe weiterer Definitionen, etwa von „Null“ und „Nachfolger“ – alle Grundprinzipien der Zahlentheorie zu gewinnen.

Freges Vorgehen steht in schärfstem Gegensatz zu dem von Dedekind, der 1888 seine eigene Darstellung der Grundlagen der Arithmetik veröffentlichte: „Was sind und was sollen die Zahlen?“ Dedekind teilte mit Frege die Auffassung, dass natürliche Zahlen als Objekte behandelt werden sollten und dass der Begriff dessen, was er „System“ nannte – eine Klasse mit darauf definierten Operationen und Relationen –, ein logischer sei. Doch sah er die Anwendbarkeit keineswegs als zentral an. Er wollte vielmehr die abstrakte Struktur der natürlichen Zahlen charakterisieren, was ihm außerordentlich gut gelang; ihre Anwendung als endliche Kardinalzahlen betrachtete er lediglich als nebensächliche Folgerung. Um die Existenz der natürlichen Zahlen zu begründen, stützte er sich auf einen psychologischen Prozess, an den viele Mathematiker und Philosophen jener Zeit – heute für uns befremdlich – glaubten: die Abstraktion. Abstraktion besteht darin, sich auf bestimmte Merkmale eines Objekts oder Systems von Objekten zu konzentrieren und den Rest außer Acht zu lassen. Man nahm an, dieser Vorgang führe zur Entstehung eines abstrakten Objekts oder Systems, das tatsächlich frei von den vernachlässigten Merkmalen sei. Um auf diese Weise die natürlichen Zahlen zu gewinnen, glaubte Dedekind, mit einem konkreten System von Objekten beginnen zu müssen, das zu den natürlichen Zahlen isomorph ist. Durch Anwendung der Abstraktion auf dieses System meinte er, das abstrakte System der natürlichen Zahlen zu erhalten, dessen jedes Glied keine andere Eigenschaft besitze als die, die sich aus seiner Stellung im System ergibt. Die Arbeiten seines heutigen Nachfolgers Paul Benacerraf verdienen Beachtung. Benacerraf glaubt wie Dedekind, dass die natürlichen Zahlen keine anderen als strukturelle Eigenschaften besitzen. Da er – wie alle heutigen Denker – nicht an den Prozess psychologischer Abstraktion glaubt, schließt er daraus, dass die natürlichen Zahlen überhaupt keine bestimmten Objekte sind, nicht einmal abstrakte. Von „den“ natürlichen Zahlen zu sprechen ist für ihn eine Redensart, ähnlich wie wenn man von „der“ achtelementigen Booleschen Algebra spricht: Man meint damit lediglich ein beliebiges Mitglied einer Familie isomorpher Systeme.

War Frege im Recht, anzunehmen, dass das Prinzip, das den möglichen Anwendungen einer mathematischen Theorie zugrunde liegt, dieser Theorie innerlich ist und in unserer Erklärung der Bedeutung ihrer Aussagen verkörpert sein muss? Oder hatte Dedekind recht, sie als peripher zu betrachten, sodass der Inhalt der Theorie allein durch ihre reine Struktur zu erklären sei? Sicherlich irrte Frege darin, zu glauben, dass sich alle Anwendungen im Voraus bereitstellen lassen. Wir sind oft überrascht von den fruchtbaren Anwendungen mathematischer Theorien, die sich als möglich erweisen – wie könnten wir garantieren, dass solche Überraschungen nie auftreten? Ein Fregeaner könnte antworten, dass wir, wenn eine Anwendung möglich wird, für die wir nicht vorgesorgt haben, zurückkehren, analysieren sollten, was diese Anwendung ermöglicht hat, und dementsprechend das allgemeine Prinzip, das die Anwendungen der Theorie regelt, weiter fassen sollten, um so den Inhalt der Theorie umfassender zu charakterisieren. Ziel sei es nicht, Überraschungen zu vermeiden, die nur eine psychologische Reaktion darstellen, sondern zu verhindern, dass die Anwendungen der Mathematik wie Wunder erscheinen.