Die Philosophie der Mathematik

Intuitionismus

Intuitionistische Logik

Im neunzehnten Jahrhundert, beginnend mit Leopold Kronecker, empfanden viele Mathematiker der als konstruktivistisch bekannten Richtung die platonistische Auffassung der Mathematik als fremd und wünschten, dass Mathematik nicht so weit von den Konstruktionen entfernt stehe, die menschliche Mathematiker tatsächlich herstellen können, und von Operationen, die sie tatsächlich durchführen können. Die Ausarbeitung eines spezifischen Programms für konstruktive Mathematik war die Leistung, oder eine der Leistungen, von L. E. J. Brouwer; die von ihm geschaffene Schule ist die der Intuitionisten.

Brouwer unternahm einen Schritt, den kein anderer Konstruktivist zuvor gegangen war: Er griff die Logik der klassischen Mathematik an, die man treffend als klassische, also zweiwertige Logik bezeichnet. Dieser Schritt lässt sich am besten vom Hilbertschen Finitismus aus betrachten. Hilbert vertrat die Ansicht, dass durch Anfangsquantoren gesteuerte Sätze, deren Variablen über eine unendliche Domäne reichen, sinnvoll seien, jedoch nicht als Aussagen mit bestimmten Wahrheitsbedingungen interpretiert werden könnten; vielmehr dienen sie dazu, Behauptungen aufzustellen, die der Sprecher möglicherweise beweisen kann oder auch nicht. Dem stimmte Brouwer vollständig zu. Der Wahrheitswert eines Satzes, der Quantifizierung über eine unendliche Domäne beinhaltet, ist, klassisch betrachtet, das Ergebnis einer unendlichen Operation: er hängt von den Wahrheitswerten seiner unendlich vielen Instanzen ab. Nach Brouwer jedoch haben wir kein Recht anzunehmen, dass jede unendliche Operation ein bestimmtes Ergebnis hat. Ein unendlicher Prozess ist definitionsgemäß einer, der nie endet, während das Ergebnis eines Prozesses das ist, was wir erhalten, wenn der Prozess abgeschlossen ist.

Bisher stimmte Brouwer mit Hilbert über den einzigen Sinn überein, der Sätzen mit Quantoren über unendliche Domänen gegeben werden konnte. Womit er nicht einverstanden war, war Hilberts nächster Schritt, nämlich zu sagen, dass Sätze, die Behauptungen ausdrücken und nicht Aussagen mit definierten Wahrheitswerten sind, nicht den üblichen Junktoren unterliegen. Was wir vielmehr benötigen, ist ein Verständnis der Junktoren als Mittel, aus Sätzen, die Behauptungen ausdrücken, komplexere Sätze zu bilden, die andere Behauptungen ausdrücken. Die Behauptung desjenigen, der eine mathematische Aussage aufstellt, besteht darin, sie beweisen zu können. Wir müssen daher die logischen Konstanten nicht durch Angabe der Wahrheitsbedingungen komplexer Sätze in Bezug auf ihre Teilsätze erklären, sondern durch Angabe, was anhand der Beweise der Teilsätze als Beweis eines komplexen Satzes gelten soll.

Der fundamentale Begriff der intuitionistischen Mathematik ist der der Konstruktion, das heißt die Spezifikation eines mathematischen Objekts oder Arguments durch welche Mittel auch immer. Brouwer selbst glaubte, dass eine Konstruktion niemals vollständig durch verbale oder symbolische Sprache vermittelt werden kann; er verstand Konstruktionen daher solipsistisch, als Prozesse im Geist eines einzelnen Mathematikers. Man könnte hingegen denken, dass Mathematik vollständig kommunizierbar ist. Eine alte philosophische These besagt, dass kommunizierbar Struktur und nicht Inhalt sei. Die strukturalistische Auffassung der Mathematik betrachtet die Struktur als ihr einziges Untersuchungsobjekt. Diese beiden Thesen zusammen implizieren, dass allein Mathematik vollständig kommunizierbar ist. Auch wenn man keine der beiden Thesen akzeptiert, könnte man darin genug Wahrheit sehen, um zu schließen, dass mathematische Konstruktionen kommunizierbar sind. Selbst dann, wenn ein Intuitionist so weit von Brouwers solipsistischer Sicht abweicht, wird er eine Konstruktion nicht mit einem sprachlichen Element gleichsetzen, das als physisches Objekt betrachtet wird. Mathematische Konstruktionen können nicht mit Sätzen oder Sequenzen von Sätzen in einer formalen Sprache gleichgesetzt werden, deren Vokabular und Satzbildungsmethoden im Voraus festgelegt wurden. Selbst wenn sie sprachlich oder symbolisch ausgedrückt werden, bleiben sie mentale Konstruktionen, soweit das Verständnis ihrer beabsichtigten Bedeutung integral zu ihnen ist; und ihre Ausdrucksmöglichkeiten sind so unbegrenzt wie die Sprache selbst.

Eine intuitionistische Erklärung einer logischen Konstante erfolgt daher durch die Angabe, wann eine Konstruktion als Beweis eines Satzes zu gelten hat, dessen Hauptoperator diese Konstante ist, wobei bekannt vorausgesetzt wird, was als Beweis der unmittelbaren Teilsätze gilt. Ein Beweis von "A und B" ist offensichtlich etwas, das A und B beweist. Ein Beweis von "A oder B" ist etwas, das entweder A oder B beweist. Ein Beweis von "A impliziert B" ist eine Operation, bei der erkannt werden kann, dass sie, auf jeden Beweis von A angewandt, einen Beweis von B liefert. Ein Beweis von "nicht A" ist eine Operation, bei der erkannt werden kann, dass sie, auf jeden Beweis von A angewandt, einen Widerspruch liefert; er garantiert somit, dass wir niemals einen Beweis von A finden werden. Wenn die Domäne aus den natürlichen Zahlen besteht, werden die Quantoren im Wesentlichen nach Hilbert verstanden: ein Beweis von "für alle x gilt A(x)" ist eine Operation, bei der erkannt werden kann, dass sie auf jede natürliche Zahl n angewandt einen Beweis von A(n) liefert; ein Beweis von "es existiert x, sodass A(x)" ist eine natürliche Zahl n zusammen mit einem Beweis von A(n). Um berechtigt zu sein, eine Aussage der Form "es existiert x, sodass A(x)" zu behaupten, muss ein Mathematiker nicht tatsächlich ein konkretes A(n) anführen; es genügt, ein effektives Verfahren anzugeben, um eines zu finden. Ebenso muss derjenige, der eine Disjunktion "A oder B" behauptet, nicht tatsächlich einen Beweis von A oder B vorlegen; es genügt, dass er ein Verfahren angibt, das einen Beweis des einen oder anderen liefert. Zum Beispiel kann er von einer großen Zahl behaupten, dass sie entweder prim oder zusammengesetzt ist, auch wenn er nicht weiß, welche Eigenschaft zutrifft, da Primzahlbestimmung entscheidbar ist.

Diese Interpretation der logischen Konstanten bestätigt viele Gesetze der klassischen Logik, aber sicherlich nicht alle. Am bekanntesten ist, dass sie das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht bestätigt. Die Behauptung einer Aussage der Form "A oder nicht A" bedeutet, dass ein effektives Verfahren existiert, um A zu entscheiden, das heißt, einen Beweis entweder von A oder von nicht A zu finden; dies ist daher nur gerechtfertigt, wenn A entscheidbar ist. Es darf nicht geschlossen werden, dass die intuitionistische Logik mit einer dreifachen Klassifikation von Aussagen arbeitet in wahr, falsch oder weder noch. Sie arbeitet überhaupt nicht mit den Begriffen Wahrheit und Falschheit, ihre Semantik verwendet ausschließlich den Begriff, dass eine Konstruktion ein Beweis einer Aussage ist. Die Begriffe Wahrheit und Falschheit sind in der intuitionistischen Mathematik nur insoweit zulässig, als eine bewiesene Aussage als wahr und eine widerlegte als falsch betrachtet werden kann; das heißt, sie lassen sich vollständig durch das Prinzip erklären, dass „A ist wahr“ gleichbedeutend mit A ist und „A ist falsch“ gleichbedeutend mit nicht A. Eine Aussage B als Hypothese anzunehmen, um einen konditionalen Beweis zu führen, bedeutet also, dass wir einen Beweis von B voraussetzen. Zu sagen, dass wir allgemein nicht annehmen können, dass eine Aussage A wahr oder falsch ist, bedeutet einfach, dass wir kein uneingeschränktes Recht haben, „A oder nicht A“ zu behaupten. Umgekehrt würde zu sagen, dass A weder wahr noch falsch ist, gleichbedeutend sein mit der Behauptung, dass weder A noch nicht A wahr ist, was einen Widerspruch darstellt. In der intuitionistischen Logik ist, wie in der klassischen Logik, „nicht (B oder C)“ gleichbedeutend mit „nicht B und nicht C“; „nicht (A oder nicht A)“ ist daher gleichbedeutend mit „nicht A und nicht nicht A“, was ein klarer Widerspruch ist. Daher ist das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten in der intuitionistischen Logik nicht gültig, wohl aber seine doppelte Verneinung.

Es ist sofort ersichtlich, dass das Gesetz der doppelten Verneinung ebenfalls intuitionistisch ungültig ist; denn wenn es gelten würde, könnte durch Einsetzen von „p oder nicht p“ für „q“ das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten unmittelbar folgen. Umgekehrt ist die Aussage, dass aus einem Beweis einer Aussage A sofort ein Widerspruch aus einem Beweis von nicht A ableitbar ist, offensichtlich gültig. Die doppelte Verneinung „nicht nicht A“ ist somit eine schwächere Aussage als A. Dies bedeutet im Wesentlichen, dass ein Beweis, dass A nicht widerlegt werden kann, nicht gleichbedeutend mit einem Beweis von A ist. Die Negation liefert jedoch nicht unbegrenzt nicht-äquivalente Aussagen. Die Kontraposition bleibt gültig: Aus „B impliziert C“ kann „nicht C impliziert nicht B“ abgeleitet werden, da aus einem Beweis von nicht C sofort ein Widerspruch aus einem Beweis von B abgeleitet werden könnte. Der Umkehrschluss von „nicht C impliziert nicht B“ auf „B impliziert C“ ist jedoch nicht gültig. Die dreifache Verneinung reduziert sich auf die einfache Negation.

Das wichtigste Scheitern eines klassisch gültigen Gesetzes der Prädikatenlogik ist die Unmöglichkeit, aus „nicht für alle x gilt A(x)“ zu schließen „es existiert x, sodass nicht A(x)“. Zu zeigen, dass ein Widerspruch entstehen würde, wenn wir eine Methode hätten, A(n) für jede natürliche Zahl n zu beweisen, liefert uns kein Mittel, eine Zahl n zu finden, für die A(n) nicht gilt.