Die Philosophie der Mathematik

Mengenlehre

Platonismus

Die klassische Mathematik, deren extremstes Beispiel die Cantorsche Mengenlehre ist, beruht auf einer platonistischen Auffassung dessen, was Mathematik ist. Nach dieser Auffassung beschreiben mathematische Aussagen Objekte und System von Objekten, die wir uns vorstellen können, die aber völlig unabhängig von uns und von unserem Wissen oder dem, was wir beweisen können, existieren. Wir müssen nicht in der Lage sein, effektiv mit einzelnen Elementen eines mathematischen Systems zu operieren, um Tatsachen über es zu beweisen; es genügt, dass wir diese Elemente in ihrer Gesamtheit erfassen und benennen können. Auf diese Weise können wir eine große Zahl von Aussagen über die reellen Zahlen beweisen, obwohl wir nicht einmal mehr als eine Minderheit einzelner reeller Zahlen genau angeben können. So wie bei einer realistischen Interpretation empirischer Aussagen diese durch die empirische Realität unabhängig von unserem Wissen oder unserer Erfahrung eindeutig wahr oder falsch sind, verleiht die platonistische Interpretation mathematischer Aussagen jeder Aussage mit klarem Sinn eine bestimmte Wahrheit oder Falschheit, unabhängig davon, ob wir sie beweisen oder widerlegen können. Wenn die Aussage zu einer Theorie gehört, die auf unterschiedliche Systeme mathematischer Objekte angewendet werden soll, die nicht alle isomorph sind, ist sie möglicherweise nicht absolut wahr oder falsch, sondern in einigen Systemen, die Modelle der Theorie sind, wahr und in anderen falsch. Dennoch ist sie innerhalb eines einzelnen Modells der Theorie eindeutig wahr oder falsch, und beim Beweisen von Sätzen innerhalb der Theorie können wir folgern, als hätte die Theorie ein einzigartiges intendiertes Modell.

Kurt Gödel vertrat in einigen bekannten Aufsätzen über die Philosophie der Mathematik eine konsequent platonistische Sichtweise. Diese war nicht durch den Logizismus befleckt, wie es bei Freges Version des Platonismus der Fall war. Gödel glaubte, dass wir über eine mathematische Intuition verfügen, die nicht mit unserer logischen Fähigkeit gleichzusetzen ist. „Intuition“ in diesem Sinne entspricht nicht der kantischen a priori Intuition; sie ist lediglich die Fähigkeit, eine unabhängig existierende mathematische Realität zu erfassen, ähnlich wie wir durch Sinneswahrnehmung die physische Realität erfassen. Diese Fähigkeit zeigt sich nach Gödel darin, dass wir Axiome aufstellen und deren Wahrheit erkennen können, die diese Realität regeln. Für Gödel hat der Glaube an die Existenz mathematischer Objekte außerhalb von uns denselben Status wie der Glaube an die Existenz materieller Objekte und ist ebenso zwingend. Beide lassen sich als Postulate bezeichnen, Postulate, ohne die wir unsere Erfahrung – sowohl sinnliche als auch mathematische – nicht erklären könnten und die daher nicht geleugnet werden können.

Es ist ein Fehler, die Bedeutung unvollständiger informeller Vorstellungen mathematischer Strukturen, die unsere Theorien beschreiben sollen, geringzuschätzen – wie etwa die kumulative Hierarchie als Modell der ZF-Mengenlehre. Der beste Weg, die Rolle solcher Vorstellungen zu erkennen, ist es, Fälle zu betrachten, in denen wir keine solche Vorstellung haben. Ein Beispiel liefert das System der Mengenlehre, bekannt als NF oder New Foundations, nach dem Titel des Artikels „New Foundations for Mathematical Logic“, in dem W. V. O. Quine es erstmals darlegte. Quine entwickelte die Theorie in formalistischer Absicht: Er hatte kein Modell im Sinn, sondern lediglich eine Ahnung, dass eine bestimmte syntaktische Einschränkung der Axiome Widersprüche verhindern würde. Eine Mengenlehre, die auf der einfachen Typentheorie beruht, ist eine unendlich viele Sorten umfassende Theorie, bei der die Variablen Subskripte in Form natürlicher Zahlen tragen, um ihren Typ anzuzeigen. Eine Formel ist wohlgeformt, wenn das Symbol für die Zugehörigkeit zu Mengen auf der rechten Seite stets eine Variable vom einen Typ höher als die Variable auf der linken Seite hat. Quines NF ist eine einheitlich sortierte erststufige Theorie; sie lässt sich durch ein Extensionalitätsaxiom und ein Schema des Comprehension-Axioms axiomisieren, das die Bedingungen für die Existenz von Mengen angibt. Quines Vermutung war, dass die Theorie konsistent ist, solange die Bedingung für die Zugehörigkeit zu einer Menge, wie sie durch das Schema angegeben wird, „stratifiziert“ ist. Eine Formel ist stratifiziert, wenn Subskripte an die Variablen angefügt werden können, sodass sie eine wohlgeformte Formel der einfachen Typentheorie ergibt; das Comprehension-Schema hat daher die Form, dass es jede stratifizierte Formel repräsentiert, die eine bestimmte Variable nicht frei enthält. Die Mengen, über die die Variablen der Theorie reichen, sind nicht in Typen unterteilt; Stratifizierung ist lediglich ein syntaktisches Mittel, das hoffentlich Widersprüche verhindert.

Die resultierende Theorie ist sehr eigenartig. In ihr lässt sich die Existenz einer Universummenge nachweisen, die alle Mengen als Mitglieder enthält, einer Menge aller Einheitsmengen, einer Menge aller Einheitsmengen von Einheitsmengen und so weiter. Diese Mengen zeigen abnehmende Kardinalität. Daraus folgt, dass das Auswahlaxiom widerlegt werden kann, das mit der Existenz einer unendlichen absteigenden Folge von Kardinalzahlen unvereinbar ist; dies wiederum erlaubt den Beweis des Unendlichkeitsaxioms, da das Auswahlaxiom sicherlich zuträfe, wenn alle Mengen endlich wären.

Ernsthafte Bemühungen, ein Modell für NF zu entwickeln, sind gescheitert. Die Natur des Problems wird durch eine Beobachtung von Ernst Specker deutlich: Angenommen, wir erweitern die einfache Typentheorie, indem die Variablen negative ganze Zahlen als Subskripte tragen dürfen. Die resultierende Theorie ist konsistent, wenn die einfache Typentheorie es ist: In jedem Beweis treten nur endlich viele Variablen auf, sodass er in einen Beweis innerhalb der einfachen Typentheorie umgewandelt werden kann, indem jeder Subskriptindex um denselben Betrag erhöht wird, sodass der niedrigste Index null ist. Die Theorie der positiven und negativen Typen kann offensichtlich kein Standardmodell haben, in dem jeder Typ die Klasse aller Teilmengen des einen Typs darunter ist, da sonst eine unendliche absteigende Folge von Kardinalzahlen entstünde. Speckers Bemerkung lautet, dass ein Modell für NF existiert, genau dann, wenn es ein Modell der Theorie der negativen Typen gibt, in dem jeder Typ eine Kopie des unmittelbar darunter liegenden Typs ist; jeder Typ wird dann ein Modell für NF.

NF widerlegt lebendig die formalistische Behauptung, dass es in der Mathematik nur darauf ankomme, welche Sätze sich aus einem beliebig gewählten Axiomensystem ableiten lassen. Der Beweis eines Satzes innerhalb von NF ist zwar mathematisch interessant, sein Inhalt ist jedoch, dass eine bestimmte Formel innerhalb der formalen Theorie NF ableitbar ist, nicht, dass eine bestimmte Aussage über eine konkrete mathematische Struktur gilt. NF wird nicht als Definition einer mathematischen Struktur oder Klasse mathematischer Strukturen betrachtet, gerade weil wir keine Vorstellung davon haben, wie ein Modell davon aussehen würde; wir betrachten sie einfach als eine etwas exzentrische formale Theorie.

Intuitive Vorstellungen mathematischer Strukturen spielen daher eine wichtige Rolle in der Mathematik. Aber werden sie durch eine spezielle intellektuelle Fähigkeit gewonnen, die den Namen mathematische Intuition verdient? Sind sie ihrer Beschreibung in Worten voraus oder werden sie aus solchen Beschreibungen abgeleitet? Dies sind die Fragen, die zu beantworten sind, um zu entscheiden, ob ein Platonismus nach Gödel vertretbar ist oder nicht.

Quine verteidigte den Platonismus auf ganz anderen Grundlagen. Er nimmt mathematische Theorien wörtlich in dem Sinne, dass die darin vorkommenden Existenzquantoren standardmäßig zu verstehen sind, und betrachtet sie daher als Postulation mathematischer Objekte. Eine solche Postulation hält er für unverzichtbar für die Nutzung solcher Theorien in wissenschaftlichen Anwendungen. Mathematische Theorien sind Ergänzungen zu wissenschaftlichen Theorien: Bewertet werden muss die zusammengesetzte Theorie aus wissenschaftlichen und mathematischen Komponenten. Eine Theorie ist gerechtfertigt, wenn sie erklärende oder prognostische Kraft besitzt.