Die Philosophie der Mathematik

Mengenlehre

Skolems Paradoxon

Leopold Löwenheim hatte 1915 einen wichtigen Satz bewiesen, dessen Inhalt und Beweis später von Thoralf Skolem in Arbeiten von 1920 und 1922 verfeinert wurden. Das Ergebnis des Löwenheim-Skolem-Satzes besagt, dass jede Menge von erststufigen Formeln, und damit jede erststufige Theorie, sofern sie überhaupt ein Modell hat, auch ein höchstens abzählbares Modell besitzt. Dieses formale Resultat führt zu dem, was als Skolems Paradoxon bekannt ist. Viele erststufige Theorien haben als intendierte Modelle solche mit einem nicht abzählbar unendlichen Bereich; die Mengenlehre ist ein offensichtliches Beispiel. Wie kann es sein, dass wir Theorien formulieren, deren Axiome auf den ersten Blick einen Bereich verlangen, der weit größer ist als die natürlichen Zahlen, und dass sie dennoch in einem abzählbaren Bereich erfüllbar sind, falls sie überhaupt erfüllbar sind? Nach dem Vollständigkeitssatz der erststufigen Logik hat eine Theorie genau dann ein Modell, wenn sie konsistent ist. Wie kann es dann sein, dass, wenn die ZF-Mengenlehre konsistent ist, diese Theorie, die alle Aleph-Zahlen Cantors enthält, ein Modell innerhalb der natürlichen Zahlen besitzen kann?

Es gibt verschiedene Antworten auf Skolems Paradoxon. Zwei davon lauten:

1. Es gibt keine absolut nicht abzählbaren Gesamtheiten: Jede unendliche Gesamtheit ist tatsächlich abzählbar. Wenn wir eine Theorie konstruieren, die den Anschein erweckt, dass ihr Modellbereich nicht abzählbar sein muss, entsteht dieser Anschein dadurch, dass im Modell nicht genügend Abbildungen existieren, um die natürlichen Zahlen auf die Elemente des Bereichs abzubilden. In der Realität existiert eine solche Abbildung, im Modell jedoch nicht.

2. Die Existenz eines abzählbaren Modells für eine erststufige Theorie, die durch ein nicht abzählbar unendliches Modell erfüllbar ist, folgt aus der Unzulänglichkeit einer erststufigen Sprache, unsere Vorstellung des intendierten Modells auszudrücken. Unser einziger Grund, die Konsistenz der Theorie zu glauben, leitet sich aus unserer Vorstellung ihres intendierten Modells ab; wir halten beispielsweise die ZF-Mengenlehre für konsistent, weil wir intuitiv das durch die kumulative Hierarchie gegebene Modell erfassen, durch ein hinreichend großes Segment von Ordinalzahlen hindurch. Der Beweis des Löwenheim-Skolem-Satzes erlaubt es nicht, irgendeine konkrete Vorstellung eines abzählbaren Modells der Theorie zu bilden; wir sollten nicht an seine Existenz glauben, wenn wir keine Vorstellung des nicht abzählbaren Modells hätten, das wir mit der Theorie beschreiben wollen.

Welche dieser beiden Antworten halten Sie für zutreffend? Oder glauben Sie, dass die Wahrheit irgendwo dazwischen liegt? Skolems Paradoxon ist höchst lohnend zum Grübeln: Es wird dringend empfohlen, sich intensiv damit auseinanderzusetzen.