Die Philosophie der Mathematik

Mengenlehre

Nachdem der Schock über die Paradoxien überwunden war, begann man, eine konsistente Theorie der Mengen zu entwickeln, jedoch in einem neuen Geist. Die Mengenlehre wurde nicht länger als Teil der Logik betrachtet, sondern als eine äußerst mächtige mathematische Theorie. Die Standardaxiomatisierung stammt von Ernst Zermelo, später modifiziert von Adolf Fraenkel. Es handelt sich um eine streng erststufige Axiomatisierung: Die Variablen reichen über Mengen, es gibt keine zweitstufigen Variablen, und die einzigen primitiven Prädikate sind das Gleichheitszeichen und das zweistellige Prädikat, das Mitgliedschaft ausdrückt. Ein grundlegendes Axiom ist das der Extensionalität, das die Identität von Mengen mit denselben Elementen festlegt. Alle übrigen Axiome mit Ausnahme eines behaupten die Existenz von Mengen, die bestimmte Bedingungen für die Mitgliedschaft erfüllen, ausgedrückt durch andere Elemente des Bereichs. Dazu gehört ein Axiom der Unendlichkeit, das die Existenz einer abzählbaren Menge fordert, die sich wesentlich vom gleichnamigen Axiom Russells und Whiteheads unterscheidet.

In Zermelos Fassung gab es ein Axiomenschema, das der Separation. Es besagt, dass man zu jeder Menge eine Teilmenge bilden kann, die aus allen Elementen besteht, welche eine bestimmte Bedingung erfüllen, die in der Sprache der Theorie formulierbar ist. Um die Theorie einstufig zu halten, war ein Axiomenschema notwendig. Fraenkels Ersatz für dieses Schema beruhte auf einer stärkeren Intuition: Wenn eine Menge im Bereich liegt, dann auch jede Menge, die nicht mehr Elemente enthält. Dies wurde durch das Axiomenschema der Ersetzung ausgedrückt. Die so axiomatisierte formale Theorie ist als Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre bekannt, abgekürzt ZF-Mengenlehre.

Die Kumulative Hierarchie

Die Axiome der ZF-Mengenlehre sind keine bloße Sammlung von Existenzprinzipien, die keine Widersprüche zu bergen scheinen. Sie beruhen auf einer bestimmten Vorstellung eines Modells, der sogenannten kumulativen Hierarchie. Danach haben Mengen Ränge, die durch Ordinalzahlen dargestellt werden: Jeder Rang umfasst alle niedrigeren Ränge, und die Mitglieder einer Menge müssen einem niedrigeren Rang angehören als der Rang, zu dem sie gehört. Die Elemente des Ranges 0 sind diejenigen, die keine Mitglieder haben. Es gibt nur eine solche Menge, die leere Menge. Andere Elemente des Ranges 0 sind die Urelemente, Objekte, die keine Mengen sind. Die übliche Version der ZF-Mengenlehre ist die der reinen Mengenlehre, in der alle Mengen rein sind. Eine reine Menge ist eine, deren alle Mitglieder Mengen sind, ebenso die Mitglieder ihrer Mitglieder und so fort. Das bedeutet, dass die gesamte transitive Hülle einer Menge aus Mengen besteht.

Die transitive Hülle einer Menge ist die kleinste Menge, die alle ihre Mitglieder und die Mitglieder dieser Mitglieder enthält. Die reine ZF-Mengenlehre kann daher eine uneingeschränkte Version des Extensionalitätsaxioms übernehmen, die besagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn sie dieselben Mitglieder haben. Dies impliziert, dass nichts außer der leeren Menge keine Mitglieder hat, sodass ein Modell der reinen ZF-Mengenlehre keine Urelemente enthält. Für jede Ordinalzahl besteht der Rang aus allen Teilmengen der Gesamtheit der Elemente des vorhergehenden Ranges. So entstehen sukzessive alle Mengen höherer Ränge, und die Struktur der Hierarchie lässt sich fortsetzen bis ins Unendliche. Die Menge aller Mengen endlicher Ränge bilden die Gesamtheit der finiten Mengen.

Jede Menge in einem solchen Modell kann durch einen Baum dargestellt werden: Unter der Wurzel stehen die Knoten für ihre Mitglieder, unter diesen wiederum die Knoten für deren Mitglieder. Jede Verzweigung ist endlich und endet bei einem Knoten ohne Mitglieder. Damit ist der Baum wohlfundiert. Dieses Prinzip wird durch das Fundierungsaxiom ausgedrückt, das besagt, dass jede nichtleere Menge ein Element besitzt, dessen Schnittmenge mit ihr leer ist. Damit wird ausgeschlossen, dass es eine unendliche absteigende Folge von Mengen geben kann, in der jede Menge ein Mitglied der vorhergehenden ist.

Neben der ZF-Mengenlehre existieren andere Axiomatisierungen, etwa zwei-sortige Theorien, in denen Variablen über Klassen reichen, die von Mengen unterschieden werden. Klassen dürfen zwar umfassender existieren, sind aber keine Mitglieder anderer Klassen oder Mengen. Trotzdem bleibt die ZF-Mengenlehre das Standardmodell der formalen Mengenlehre.

Das Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist vielleicht die interessanteste Annahme. Es gilt nicht als Bestandteil der ZF-Mengenlehre, sondern ergänzt diese zur ZFC-Mengenlehre. Das Auswahlaxiom lässt sich am einfachsten mengen-theoretisch formulieren, ist aber im Kern eine logische Annahme. Es erlaubt, im Verlauf eines Beweises unendlich viele willkürliche Entscheidungen zu treffen. Die Logik gestattet nur endlich viele solcher Entscheidungen. Zermelo erkannte zuerst, dass eine solche Vorgehensweise nicht durch die Standardlogik gedeckt war, und formulierte sie daher ausdrücklich als Axiom. Es besagt in einer Fassung: Ist eine Menge aus disjunkten nichtleeren Mengen gegeben, so existiert eine Menge, die aus jedem dieser Teile genau ein Element enthält. In einer anderen Formulierung heißt es: Für jede Menge nichtleerer Mengen existiert eine Funktion, die jedem Element dieser Menge ein Element zuordnet, das zu ihr gehört. Diese Menge oder Funktion heißt Auswahlmenge beziehungsweise Auswahlfunktion.

Das Auswahlaxiom wurde lange diskutiert. Einige hielten es für selbstverständlich, andere lehnten es ab, weil es die Existenz von Objekten behauptet, die nicht explizit konstruiert werden können. Heute wird es meist akzeptiert, wenn auch mit Zurückhaltung, und Beweise, die es verwenden, werden in der Regel ausdrücklich gekennzeichnet.

Das Auswahlaxiom reduziert die Wahl unendlich vieler willkürlicher Objekte auf die Wahl einer einzigen Auswahlmenge oder -funktion. Es hat viele Konsequenzen, teils höchst kontraintuitive. Unter seinen Äquivalenten finden sich etwa die Aussage, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, und dass jede zwei Mengen in ihrer Mächtigkeit vergleichbar sind. Ohne das Auswahlaxiom könnten unendliche Kardinalzahlen unvergleichbar bleiben. Das Axiom sichert dagegen, dass sie geordnet sind: Für zwei Kardinalzahlen gilt stets, dass eine kleiner oder gleich der anderen ist.

Es gibt abgeschwächte Formen des Auswahlaxioms, etwa das abzählbare Auswahlaxiom oder das Axiom der abhängigen Auswahl, das eine abzählbare Folge aufeinanderfolgender Entscheidungen erlaubt. Das Axiom vereinfacht die Arithmetik der Kardinalzahlen erheblich. Russell illustrierte dies mit dem Beispiel eines Mannes, der unendlich viele Paare von Schuhen und Socken besitzt: Während sich die Anzahl der Schuhe leicht als abzählbar zeigen lässt, gelingt das bei den Socken nur mit Hilfe des Auswahlaxioms, da ohne dieses keine eindeutige Zuordnung angegeben werden kann.

Ein weiteres Beispiel betrifft die Definition des Unendlichen. Nach Dedekind ist eine Menge unendlich, wenn sie eine eineindeutige Abbildung auf eine echte Teilmenge von sich selbst zulässt. Diese Definition ist nur mit dem Auswahlaxiom äquivalent zur üblichen. Ohne dieses Axiom lässt sich nicht beweisen, dass jede nicht-endliche Menge im Sinne Dedekinds unendlich ist. Dies zeigt die zentrale Bedeutung des Auswahlaxioms für viele grundlegende Begriffe der Mathematik.

Gödel bewies, dass, wenn ZF konsistent ist, auch die Hinzufügung des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese konsistent ist. Cohen zeigte später, dass sowohl die Negation des Auswahlaxioms als auch die der Kontinuumshypothese konsistent hinzugefügt werden können. Daraus folgt, dass weder das eine noch das andere in ZF bewiesen oder widerlegt werden kann. Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese stellt ein ungelöstes Problem dar. Gödel war der Ansicht, dass die Reflexion über den Begriff der Menge uns zu neuen Axiomen führen werde, die eine Entscheidung ermöglichen. Ob unser Mengenbegriff zu unbestimmt ist, um eine eindeutige Antwort zuzulassen, bleibt offen.