Die Philosophie der Mathematik

Formalismus

Hilberts Programm

Hilbert war kein Formalist im eigentlichen Sinne des Wortes, doch er hatte eine sehr eingeschränkte Vorstellung vom Umfang sinnvoller mathematischer Aussagen. Er war der Ansicht, dass die Quantifikation über eine unendliche Gesamtheit, etwa über alle natürlichen Zahlen, selbst dann, wenn sie auf ein sinnvolles Prädikat angewandt wird, keine Aussage mit eindeutigem Wahrheitswert ergebe. Er gestand zu, dass eine solche Quantifikation einen sinnvollen Ausdruck hervorbringen könne, doch dieser könne nur als Anspruch des Sprechers verstanden werden, nicht als Feststellung einer wahren oder falschen Proposition. Die Existenzquantifikation, angewandt auf ein zahlentheoretisches Prädikat, dessen Geltung für jede konkrete Zahl beurteilbar ist, drückte eine unvollständige Mitteilung aus. Sie stellte einen Anspruch dar, der nur dann gerechtfertigt werden konnte, wenn der Sprecher eine konkrete Zahl angeben konnte, auf die das Prädikat zutraf. Durch die Behauptung des existenzquantifizierten Satzes beanspruchte er also, ein wahres Beispiel nennen zu können, ohne es tatsächlich zu nennen.

In ähnlicher Weise diente ein allquantifizierter Satz dazu, eine allgemeine Behauptung aufzustellen, die besser durch eine Formel ausgedrückt wurde, in der die durch den Quantor gebundenen Variablen frei blieben. Der Anspruch konnte nur dadurch gerechtfertigt werden, dass man eine Methode vorzeigte, mit der sich jede konkrete Aussage, die durch Einsetzen von Zahlenwerten für die freien Variablen entstand, beweisen ließ. Wurde ein Existenzquantor auf eine Formel mit freien Variablen angewandt, so drückte der resultierende Satz den Anspruch aus, nicht eine bestimmte Zahl, sondern eine berechenbare Funktion angeben zu können, die für jede mögliche Belegung der freien Variablen ein Beispiel des existenzquantifizierten Satzes liefern würde. Weiter reichte Hilberts Interpretation nicht.

Eine solche Behauptung aufzustellen, bedeutete zweifellos, etwas mit objektiver Bedeutung zu sagen: Der Anspruch konnte möglicherweise zur allgemeinen Zufriedenheit gerechtfertigt werden, oder der Sprecher konnte sich als unfähig erweisen, ihn zu begründen. Doch eine solche Behauptung war keine Proposition mit bestimmten Wahrheitsbedingungen, denn die Bedingung für die Wahrheit einer Proposition musste unabhängig vom kognitiven Zustand oder den Fähigkeiten des Sprechers sein. Manchmal konnte ein Satz, der scheinbar die Quantifikation über die unendliche Gesamtheit der natürlichen Zahlen enthielt, ergänzt werden, um eine echte Proposition auszudrücken, nämlich dann, wenn eine obere Grenze für den Wert der gebundenen Variablen festgelegt werden konnte. Die Quantifikation bezog sich dann nur auf ein endliches Anfangssegment der natürlichen Zahlen und führte so zu Aussagen mit klar bestimmbaren Wahrheitsbedingungen. Ein Satz hingegen, der unauflöslich die Quantifikation über alle natürlichen Zahlen enthielt, war dem Kalkül der Wahrheitsfunktionen entzogen. Er konnte nicht sinnvoll verneint oder als Bestandteil eines sinnvollen disjunktiven oder konditionalen Satzes verwendet werden. Da die klassische Zahlentheorie ihren Sätzen die unbegrenzte Anwendung logischer Operationen erlaubte, konnte sie im Allgemeinen nicht als sinnvolle Theorie gelten. Nur jene ihrer Formeln, die finitistisch interpretiert werden konnten, das heißt, die keine wesentliche Verallgemeinerung über die unendliche Gesamtheit der Zahlen enthielten, waren tatsächlich sinnvoll; der Rest besaß lediglich eine ideale Bedeutung, das heißt, er gab nur vor, Bedeutung zu haben.

Hilbert stand der klassischen Mathematik ambivalent gegenüber. Einerseits schätzte er den Bereich eindeutig sinnvoller Aussagen äußerst gering ein; andererseits wollte er die klassische Mathematik in ihrer Gesamtheit verteidigen, zumindest soweit sie nicht mit den mengentheoretischen Paradoxien in Konflikt geriet. Angesichts dieser Auffassung konnte die Verteidigung nicht direkt geführt werden wie bei Frege, da sich die Wahrheit der klassischen Mathematik nicht demonstrieren ließ. Sie musste notwendig indirekt erfolgen. Zu diesem Zweck erfand Hilbert die Metamathematik.

Die Metamathematik ist die mathematische Untersuchung formaler Systeme. Es war längst bekannt, dass formalisierte mathematische Theorien selbst zum Gegenstand mathematischer Forschung gemacht werden konnten, doch als Hilbert dies vorschlug, war es neu. Metamathematik bedeutete für Hilbert Beweistheorie, nicht Modelltheorie, da er den Variablen der Quantifikation keinen Sinn beimessen konnte, der sich auf die Elemente einer unendlichen Domäne bezog. Außerdem sollte sie eine durchweg sinnvolle Theorie sein, deren Aussagen keinerlei Zweifel an ihrem verständlichen Gehalt zuließen. Daraus folgte, dass alle metamathematischen Aussagen finitistisch sein mussten, ebenso wie die innerhalb der Metamathematik erlaubten Beweismethoden. Eine solche Theorie konnte zunächst auf die Peano-Arithmetik angewandt und später auf andere formalisierte Theorien ausgedehnt werden. Ihr Ziel war es, deren Widerspruchsfreiheit zu beweisen. Das war Hilberts Programm.

Für jemanden, der die Formeln der Arithmetik erster Stufe als sinnvoll ansah und die klassischen Beweismethoden als gültig anerkannte, war das Projekt, die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik zu beweisen, absurd: Was könnte ein überzeugenderer Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit sein als das Standardmodell? Doch Hilbert hielt nicht alle arithmetischen Formeln erster Stufe für sinnvoll; ein finitistischer Beweis der Widerspruchsfreiheit der klassischen Arithmetik war für ihn ein wichtiges, aber keineswegs triviales Ziel. Es mochte unzureichend erscheinen, nur die Widerspruchsfreiheit zu zeigen. Aber Hilbert betrachtete die klassische Mathematik als eine gewaltige Maschine zur Ableitung finitistischer Konsequenzen. Es ließ sich leicht zeigen, dass, wenn in der Peano-Arithmetik eine falsche finitistische Aussage ableitbar wäre – also eine Aussage mit freien Variablen, die bei einer bestimmten Wertezuweisung ein falsches Ergebnis lieferte –, dann müsste die Peano-Arithmetik widersprüchlich sein. Wenn sie also widerspruchsfrei war, musste jede aus ihr ableitbare finitistische Aussage wahr sein: Ein Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit war damit die notwendige Rechtfertigung.

Wie die Entdeckung von Russells Paradox ein Schlag für Freges Programm gewesen war, so waren Gödels Unvollständigkeitssätze von 1931 einer für Hilbert. Gödel bewies, dass jede konsistente formale Theorie der Arithmetik unvollständig war: In ihr ließ sich ein Satz konstruieren, der weder beweisbar noch widerlegbar war. Da dieser Satz offensichtlich wahr war, wenn er nicht beweisbar war – er behauptete gewissermaßen von sich selbst, nicht beweisbar zu sein –, musste jeder, der die Theorie als konsistent erkannte, auch den Satz als wahr anerkennen. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz beruhte darauf, dass sich das gesamte Denken des ersten Satzes innerhalb der formalen Theorie selbst formalisieren ließ. Daraus folgte, dass keine konsistente Theorie der Arithmetik ihre eigene Widerspruchsfreiheit beweisen konnte.

Das bedeutete, dass die Widerspruchsfreiheit der Peano-Arithmetik nicht mit Methoden bewiesen werden konnte, die vollständig innerhalb der Peano-Arithmetik darstellbar waren. Es bedeutete jedoch nicht, dass kein finitistischer Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit möglich war. Hilbert hatte nie genau festgelegt, was als finitistischer Beweis gelten sollte, und nach Gödels Ergebnis bewies Gentzen die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik mit Methoden, die zweifellos finitistisch waren, mit Ausnahme der transfiniten Induktion, die nur auf Aussagen mit freien Variablen bis zur Ordinalzahl ε₀ angewandt wurde. Aus Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz folgte, dass transfinite Induktion bis ε₀ in der Peano-Arithmetik nicht ableitbar war. Da Gentzen außerdem zeigte, dass transfinite Induktion bis zu jeder kleineren Ordinalzahl in der Peano-Arithmetik ableitbar war, war sein Ergebnis das bestmögliche.

Doch wie immer man Gentzens Beweismethoden beurteilen mag, Gödel hatte die Hoffnung zerstört, mit finitistischen Mitteln alle erkennbar gültigen Beweisverfahren selbst für Aussagen der Zahlentheorie erster Stufe rechtfertigen zu können. Kreisel und andere betonten später den Wert teilweiser Verwirklichungen von Hilberts Programm. Dennoch blieb die Tatsache bestehen, dass es als Fundament einer umfassenden Philosophie der Mathematik zusammengebrochen war.