Die Philosophie der Mathematik

Formalismus

Hilberts Philosophie der Geometrie

David Hilbert wurde zu seinen Lebzeiten häufig als Formalist bezeichnet – eine Bezeichnung, die seine reife Philosophie der Mathematik jedoch irreführend wiedergibt. Gleichwohl neigte er stark zum Formalismus, ohne ihn jemals vollständig zu übernehmen. Sein erstes bedeutendes Werk war die Grundlagen der Geometrie von 1899, das in vielen späteren Ausgaben erschien. Es handelte sich um eine strenge Axiomatisierung der euklidischen Geometrie, weit präziser als die des Euklid selbst. Sie erzürnte Frege wegen Hilberts erkenntnistheoretischer Haltung dazu. Hilbert betrachtete seine axiomatische Theorie als eine, die jeder Interpretation offenstand, welche ihre Axiome als wahr erscheinen ließ; es war daher seiner Ansicht nach sinnlos zu fragen, ob diese Axiome absolut wahr seien, also unabhängig von jeder bestimmten Deutung. Die Grundbegriffe der Theorie wurden somit faktisch als schematische Zeichen behandelt, ohne eine festgelegte Bedeutung. Hilbert verschärfte diesen Verstoß, indem er erklärte, die Axiome bestimmten gemeinsam die Bedeutungen der Grundbegriffe. Für Frege hingegen war ein Axiom ein bestimmter Satz, den man als wahr akzeptiert, der aber zu grundlegend ist, um ihn zu beweisen; seine Bestandteile müssen daher eindeutige, festgelegte Bedeutungen haben. Hilberts „Axiome“ waren für ihn daher keine Axiome im eigentlichen Sinne.

Nach Hilberts Auffassung stehen alle Modelle einer mathematischen Theorie auf derselben Stufe: Welche Modelle sie besitzt oder ob sie überhaupt welche besitzt, ist eine Frage außerhalb der Theorie selbst – es gibt kein „beabsichtigtes Modell“. Dies ist jedoch kein radikaler Formalismus, nach dem kein Symbol als logische Konstante, Variable oder primitives Prädikat anerkannt wird. Die Sätze einer Theorie nach Hilberts Art haben die Struktur wirklicher Sätze; nur die Grundbegriffe besitzen keinen vorab festgelegten Inhalt. Die dieser Vorgehensweise zugrunde liegende Sicht auf die Mathematik wird heute Strukturalismus genannt. Diese weit verbreitete These besagt, dass die Mathematik sich ausschließlich mit abstrakten Strukturen befasst und mit nichts anderem. Eine Struktur, ob einzigartig oder nicht, wird durch eine Klasse mathematischer Systeme bestimmt, die unter Isomorphismen abgeschlossen ist; eine solche Klasse kann durch eine axiomatische Theorie beschrieben werden, deren Modelle sie ausmacht.

Dies entspricht im Wesentlichen der Position eines neu-dedekindschen Denkers wie Benacerraf. Diese Auffassung erhebt zu einem ausschließlichen Anliegen der Mathematik, was zweifellos eines ihrer wesentlichen Anliegen ist: denn die Axiomatisierung gehört zu den zentralen Techniken der Mathematik, die nicht nur Sätze beweisen, sondern auch die minimalen Voraussetzungen für ihre Beweise erforschen will, wodurch ihr Anwendungsbereich häufig erweitert wird. Es liegt im Wesen einer axiomatischen Theorie, dass sie nur die abstrakte Struktur ihrer Modelle beschreibt. Frege hätte eingewandt, dass sich die Mathematik nicht nur mit Struktur, sondern auch mit Anwendung befassen müsse – und dies zeigt sich besonders deutlich, wenn der Strukturalismus, wie bei Dedekind und Benacerraf, auf die Zahlentheorie angewandt wird. Die Zahl vier kann nicht allein durch ihre Position in einem System mit der von Dedekind beschriebenen abstrakten Struktur charakterisiert werden, da sie in den Systemen der natürlichen Zahlen und der positiven ganzen Zahlen unterschiedliche Positionen einnimmt, obwohl diese Systeme dieselbe Struktur haben. Ob wir uns mit den natürlichen Zahlen oder den positiven ganzen Zahlen befassen, hängt davon ab, ob wir mit null oder mit eins beginnen. Ob das Anfangselement null oder eins ist, hängt ausschließlich davon ab, wie wir die Elemente des Systems als endliche Kardinalzahlen verwenden.

Hilberts Grundlagen der Geometrie besaßen eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft: Die axiomatische Theorie war rein geometrisch. So wie Bolzano und seine Nachfolger bemüht gewesen waren, in der Analysis jeden Rückgriff auf geometrische Anschauung zu beseitigen, so entfernte Hilbert aus der Geometrie jeden Bezug auf die Arithmetik. Seine Axiome bezogen sich nicht auf die reellen Zahlen, weder als Werte einer Distanzfunktion zwischen Punkten noch als Maß für Winkel. Vielmehr entwickelte er die Theorie ausschließlich mit Bezug auf Punkte, Linien und Ebenen und bewies anschließend einen Darstellungssatz, der zeigte, dass die reellen Zahlen zur Konstruktion eines Modells dieser Theorie verwendet werden können.

Diese Vorgehensweise inspirierte Hartry Field, einen Neu-Hilbertianer, dessen kurzes Buch Wissenschaft ohne Zahlen als wesentliche Lektüre gilt. Field ist Nominalist: Er glaubt nicht an die Existenz mathematischer Objekte wie Zahlen oder Mengen. Daher hält er gewöhnliche mathematische Theorien, die er wörtlich interpretiert, nicht für wahr; sein Problem besteht darin zu erklären, warum sie, obwohl nicht wahr, in der Wissenschaft so fruchtbar anwendbar sind. Hilberts Buch über Geometrie dient ihm als Vorbild für diese Aufgabe. Die wissenschaftlichen Theorien müssen zunächst so umformuliert werden, dass sie ohne Bezug auf mathematische Objekte wie reelle oder komplexe Zahlen auskommen. Mithilfe eines Darstellungssatzes kann dann gezeigt werden, dass die Erweiterung dieser reformulierten wissenschaftlichen Theorie um die mathematische Theorie – etwa die der reellen Zahlen – eine konservative Erweiterung darstellt. Das bedeutet, dass alles, was sich in der Sprache der wissenschaftlichen Theorie ausdrücken lässt und in der erweiterten Theorie ableitbar ist, sich auch, wenn auch vielleicht mit größerer Mühe, in der ursprünglichen, nicht erweiterten Theorie ableiten ließe. Wenn dies gezeigt werden kann, ist erklärt, warum der Wissenschaftler es nützlich findet, so zu tun, als gäbe es reelle Zahlen oder andere mathematische Objekte, ohne zuzugeben, dass dies mehr als eine nützliche Fiktion ist.