Die Philosophie der Mathematik

Formalismus

Der voll ausgeprägte Formalismus ist die Lehre, dass die Mathematik nichts anderes umfasst als die Manipulation von Symbolen nach bestimmten Regeln. Diese Symbole haben keinerlei Bedeutung und könnten daher besser als Zeichen bezeichnet werden. Diese Philosophie der Mathematik umgeht viele schwierige Probleme: Sie braucht nichts über mathematische Objekte zu sagen, da sie deren Existenz leugnet, und nichts über die Natur mathematischer Wahrheit, da sie bestreitet, dass mathematische Formeln Aussagen ausdrücken oder sich auf Wahrheitswerte anwenden lassen. Zugleich bleibt unklar, welchen Sinn die Mathematik dann überhaupt haben soll.

Am besten lässt sich der Formalismus durch das Konzept eines formalen Systems ausdrücken. Nach Ansicht der Formalisten besteht jede mathematische Frage im Kern darin, ob sich eine bestimmte Formel in einem bestimmten formalen System ableiten lässt. Frege entwickelte das früheste Beispiel eines solchen Systems, war jedoch ein entschiedener Gegner des Formalismus. Die beste Kritik daran findet sich in einem Abschnitt seiner Grundgesetze, übersetzt von Geach und Black. Die beiden Formalisten Heine und Thomae, die Frege kritisierte, kannten den Begriff des formalen Systems nicht und formulierten die formale These daher unbeholfen. Doch keine von Freges beiden Hauptkritiken hängt von diesem Umstand ab.

Er argumentiert erstens, dass der Versuch des Formalismus, mathematische Fragen ihres sinnvollen Gehalts zu entleeren, zum Scheitern verurteilt ist. Selbst wenn eine mathematische Theorie durch ein formales System dargestellt wird, kann der Formalist nicht verhindern, dass über dieses System sinnvolle Fragen gestellt werden – Fragen, die über die bloße Ableitbarkeit einer bestimmten Formel hinausgehen. Frege zieht den Vergleich mit dem Schachspiel: Die Stellungen auf dem Brett besitzen keinen Bedeutungsgehalt, doch die Theorie des Schachs enthält Antworten auf sinnvolle Fragen, etwa ob man mit einem König und zwei Springern ein Matt erzwingen kann. Ebenso kann man bei jedem formalen System fragen, ob es widerspruchsfrei oder vollständig ist oder andere interessante beweistheoretische Eigenschaften besitzt; die Antworten darauf sind sinnvolle Aussagen.

Ein Cricket-Schiedsrichter kann anzeigen, dass der Werfer einen weiten Ball geworfen hat oder dass der Schlagmann aus ist, aber er kann nicht signalisieren, dass der Werfer in jedem Durchgang einen weiten Ball geworfen oder die letzten drei Schlagmänner hinausgeworfen hat. Das liegt daran, dass seine Signale keine echte Sprache bilden. Jedes Signal drückt einen einfachen Satz aus, doch der Schiedsrichter verfügt über kein Mittel, um daraus komplexere Sätze zu bilden. Eine Aussage hingegen, dass eine bestimmte Formel in einem bestimmten formalen System ableitbar ist, gehört zu einer echten Sprache; daher kann niemand daran gehindert werden, komplexere Sätze zu bilden, etwa dass jede Formel einer bestimmten Art ableitbar ist, und nach deren Wahrheit zu fragen.

Darauf ließe sich entgegnen, dass, selbst wenn Antworten auf diese neuen Fragen nicht durch Formeln des gegebenen Systems darstellbar sind, ein weiteres formales System konstruiert werden könne, in dem sie darstellbar sind. Man sollte sich fragen, ob diese Erwiderung die Kritik tatsächlich entkräftet. Verwechselt der Formalist die Aussage, dass eine mathematische Behauptung durch eine Formel eines formalen Systems dargestellt werden kann – in dem Sinn, dass sie genau dann beweisbar ist, wenn die Formel in diesem System ableitbar ist – mit der Aussage, ihr ganzer Inhalt bestehe darin, dass diese Formel ableitbar ist? Und verwechselt er die These, dass für jede Frage der bestehenden Mathematik ein formales System geschaffen werden kann, in dem sie sich darstellen lässt, mit der These, dass es eine Menge formaler Systeme gibt, in denen jede solche Frage dargestellt werden kann?

Freges zweites Argument gegen den Formalismus betrifft die Anwendung der Mathematik. Damit ein uninterpretiertes formales System angewendet werden kann, müssen seine Symbole empirisch gedeutet werden, sodass seine Axiome als wahr und seine Beweismethoden als wahrheitserhaltend gelten können. Wer ist dafür zuständig, dies zu gewährleisten? Nach Auffassung des Formalisten nicht der Mathematiker, denn dieser befasst sich nicht mit Wahrheit. Aber auch nicht der Naturwissenschaftler, da dieser die Mathematik als gegeben voraussetzt. Nach Freges Ansicht fällt sie auf diese Weise ins Leere. Der Formalismus kann die Anwendung der Mathematik nicht erklären, weil er mathematischen Aussagen keinen Inhalt zugesteht; er reduziert die Mathematik auf ein Spiel, das sich nicht für die Anwendung eignet.