Die Philosophie der Mathematik

Die Geburt der modernen Logik

Russells Paradoxon

In den Grundlagen der Arithmetik hatte Frege die Vorstellung einer Klasse, verstanden als die Erweiterung eines Begriffs, keiner weiteren Erklärung bedürftig gehalten. Als er jedoch sein Hauptwerk, die Grundgesetze der Arithmetik, verfasste, konnte er dies nicht mehr tun. In den Grundgesetzen unternahm er den Versuch, innerhalb seiner symbolischen Notation alle grundlegenden Prinzipien der Arithmetik sowohl der natürlichen als auch der reellen Zahlen formal abzuleiten. Das logische System, in dem diese Ableitung erfolgen sollte, musste präzise formuliert und erklärt werden.

Frege verallgemeinerte hier den Begriff der Klasse zu dem des Wertbereichs: so wie Klassen Erweiterungen von Begriffen sind, so sind Wertbereiche Erweiterungen von Funktionen. Dies war mehr als eine bloße Analogie, da Frege die beiden Wahrheitswerte, wahr und falsch, als Objekte innerhalb des Bereichs der individuellen Variablen behandelte. Ein Begriff konnte daher als ein spezieller Fall einer Funktion angesehen werden, die jedes Objekt einem der Wahrheitswerte zuordnet, je nachdem, ob dieses Objekt unter den Begriff fällt oder nicht. Das formale System war eine leicht modifizierte Fassung der Begriffsschrift, versehen mit einem Abstraktionsoperator, der, auf einen Ausdruck für eine einstellige Funktion angewendet, einen Term erzeugte, der für ein Objekt steht – nämlich den Wertbereich dieser Funktion.

Frege war sich der Notwendigkeit bewusst, sein logisches System zu rechtfertigen, und beschäftigte sich eingehend mit der Frage nach der Existenz der Objekte mathematischer Theorien. In den Grundlagen hatte er sein berühmtes Kontextprinzip formuliert: Ein Wort bezieht sich nur im Zusammenhang eines Satzes auf etwas. Das bedeutet, dass der Bezug zu Objekten – insbesondere zu abstrakten Objekten – gesichert ist, wenn wir die Wahrheitsbedingungen der Sätze bestimmen können, in denen auf sie Bezug genommen wird. Das Problem besteht dann darin, ein Mittel zu finden, um diese Wahrheitsbedingungen anzugeben, ohne zuvor die Referenz der abstrakten Terme festgelegt zu haben.

Freges spezielles Anliegen war es, die Existenz logischer Objekte zu rechtfertigen, also solcher, deren Existenz allein durch die Logik gesichert wird. Alle Arten von Zahlen betrachtete er als logische Objekte und entschied, dass alle logischen Objekte Wertbereiche irgendeiner Art seien. Er wollte daher zeigen, dass es legitim ist, die Existenz von Wertbereichen vorauszusetzen, und er wollte insbesondere garantieren, dass jeder Term seines Systems ein eindeutiges Objekt bezeichnet und jeder Satz einen eindeutigen Wahrheitswert besitzt. Gemäß dem Kontextprinzip konnte das erste Ziel erreicht werden, wenn das zweite erreicht war. Doch in den Grundgesetzen kam den Sätzen keine derart besondere theoretische Rolle zu.

Ein gewisses Kontextprinzip blieb jedoch weiterhin wirksam, da Frege es nicht für notwendig hielt, die Referenz jedes möglichen Termtyps direkt zu bestimmen. Terme bestimmter Arten – in seinem Fall die Wertbereichsterme – sollten als referenzhaltig gelten, sofern jeder komplexere Term, der sie enthielt, eine Referenz besaß. Obwohl Frege den Bereich der individuellen Variablen nicht genauer bestimmte als jenen, der die beiden Wahrheitswerte und die Wertbereiche aller im System formulierbaren Terme umfasst, glaubte er, die Referenz jedes formalen Terms sichern zu können, wenn es ihm gelang, jedem Identitätssatz einen Wahrheitswert zuzuordnen. So reduzierte sich sein Problem auf eines über die Wahrheitsbedingungen der Sätze, auch wenn es nicht mit ihnen begann.

Für einen Satz, der einen Wertbereich mit einem Wahrheitswert gleichsetzt, genügte es, die Wahrheitswerte mit ihren eigenen Einheitsklassen zu identifizieren. Für die Gleichsetzung zweier Wertbereiche hielt Frege es für ausreichend, festzulegen, dass der Wertbereich einer Funktion f dem Wertbereich einer Funktion g gleich ist, genau dann, wenn für jedes x gilt: f(x) = g(x). Dieses Prinzip verkörperte er im berüchtigten Axiom V seines formalen Systems.

Doch dies war nicht ausreichend. Frege ließ die Grundgesetze unvollendet, mitten in der formalen Entwicklung der Theorie der reellen Zahlen, als Folge eines Briefes von Bertrand Russell vom 16. Juni 1902. Darin wies Russell auf die Möglichkeit hin, in dem formalen System des Buches einen Widerspruch abzuleiten – das sogenannte Russellsche Paradoxon. Es dauerte vier Jahre, bis Frege erkannte, dass sich dieser Widerspruch nicht so auflösen ließ, dass seine Beweise weiterhin Bestand hätten; er gestand schließlich ein, dass sein Lebenswerk gescheitert war.

Jedem ist das Paradoxon der Klasse aller Klassen bekannt, die keine Mitglieder ihrer selbst sind. Eine solche Klasse ist genau dann Mitglied ihrer selbst, wenn sie ihre eigene definierende Bedingung erfüllt, nämlich kein Mitglied ihrer selbst zu sein. Wichtiger ist es jedoch zu verstehen, wie Russell selbst darauf stieß. Cantor hatte, während er die transfiniten Kardinalzahlen untersuchte, bewiesen, dass die Anzahl aller natürlichen Zahlen zwar derjenigen aller rationalen entspricht, aber kleiner ist als die Anzahl aller reellen Zahlen. Denn während sich die natürlichen Zahlen offensichtlich eins zu eins in die reellen Zahlen abbilden lassen, können sie nicht auf sie abgebildet werden.

Die Anzahl der reellen Zahlen ist gleich der Anzahl aller Mengen natürlicher Zahlen oder aller extensionell verschiedenen Begriffe, die auf natürliche Zahlen zutreffen. Cantor hatte diesen Satz verallgemeinert, indem er zeigte, dass die Anzahl der Elemente jeder Menge, ob endlich oder unendlich, stets kleiner ist als die Anzahl ihrer Teilmengen. Angenommen, es gibt eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl eine Menge natürlicher Zahlen zuordnet. Es soll gezeigt werden, dass nicht jede solche Menge das Bild einer natürlichen Zahl ist. Man bildet die Menge K der Zahlen n, für die n kein Mitglied der Menge ist, die ihr selbst zugeordnet wurde. Um einen Widerspruch zu vermeiden, kann K nicht das Bild irgendeiner natürlichen Zahl sein.

Russell fragte sich, welches Ergebnis sich ergäbe, wenn man diesen Beweis auf die Klasse aller Klassen anwendete. Denn alle Unterklassen dieser Klasse müssten ihre Mitglieder sein. Das Ergebnis war das Paradoxon von Russell. Es kann daher keine Klasse aller Klassen geben, auch keine, die alle Objekte enthält. Freges großer Fehler bestand darin, Fragen der Mächtigkeit zu übersehen. Welcher Größe auch immer der Bereich in einem Modell seines Systems ist, er muss, sofern er mehr als ein Element enthält, kleiner sein als die Gesamtheit der extensionell verschiedenen Funktionen, die über ihn definiert sind. Doch Axiom V besagt, dass extensionell verschiedene Funktionen verschiedene Wertbereiche bestimmen, die wiederum selbst zum Bereich gehören – und genau darin liegt der Widerspruch.

Russells Paradoxon war eines unter mehreren mengentheoretischen Paradoxien, die um die Wende des Jahrhunderts die mathematische Welt erschütterten. Ein eng verwandtes Paradoxon ist das von Curry, das zeigt, dass sich diese Widersprüche nicht durch eine Veränderung der Negation beseitigen lassen, etwa indem man behauptet, es gebe Aussagen, die weder wahr noch falsch sind und daher ihren eigenen Negationen entsprechen. Sei die Menge Q definiert als die Menge aller Klassen x, für die gilt: Wenn x Mitglied ihrer selbst ist, dann war Königin Elisabeth ein Mann.

Man argumentiere wie folgt. Nehmen wir zunächst als Hypothese an, dass Q Mitglied von Q ist. Daraus folgt, dass Q die Bedingung für die Mitgliedschaft in Q erfüllt, also: Wenn Q Mitglied von Q ist, dann war Königin Elisabeth ein Mann. Aus diesen beiden Sätzen folgt, unter der Annahme der Hypothese, dass Königin Elisabeth ein Mann war. Da dieser Satz aus der Hypothese abgeleitet wurde, können wir unabhängig von der Hypothese behaupten: Wenn Q Mitglied von Q ist, dann war Königin Elisabeth ein Mann. Doch das ist genau die Bedingung, damit Q Mitglied von Q ist. Folglich ist Q Mitglied von Q, und daraus folgt wiederum, dass Königin Elisabeth ein Mann war. Da wir anstelle dieser Aussage jede beliebige setzen könnten, haben wir ein Paradoxon.

Russells Paradoxon war jedoch nicht das erste in dieser Reihe. Das erste wurde 1897 vom italienischen Mathematiker Cesare Burali-Forti veröffentlicht und betraf die Ordinalzahlen. Es zeigt, dass die Paradoxien nicht ausschließlich den Mengen- oder Klassenbegriff betreffen. Cantor hatte die transfiniten Ordinalzahlen gleichzeitig mit den transfiniten Kardinalzahlen untersucht. Ordinalzahlen lassen sich am einfachsten als die Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen erklären. Eine Wohlordnung ist eine lineare Ordnung mit der besonderen Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge ein Element besitzt, das früher in der Ordnung liegt als alle anderen Elemente. Die natürliche Ordnung der rationalen Zahlen ist offensichtlich keine Wohlordnung, die der natürlichen Zahlen jedoch schon. Ebenso die Ordnung, bei der eine Zahl n einer Zahl m vorausgeht, wenn n gerade und m ungerade ist oder beide dieselbe Parität besitzen und n kleiner ist als m.

Wir nehmen an, dass allen Wohlordnungen Objekte, ihre Ordnungstypen, zugeordnet sind, so dass der Ordnungstyp der einen genau dann dem der anderen entspricht, wenn die Wohlordnungen ähnlich sind. Zwei Ordnungen sind ähnlich, wenn es eine eins zu eins abbildende Funktion gibt, die die Ordnung bewahrt: x geht y in der ersten Ordnung voraus genau dann, wenn die Abbildung von x in der zweiten Ordnung vor der von y liegt. Nun haben die Ordinalzahlen eine offensichtliche Größenrelation untereinander, die leicht als Wohlordnung gezeigt werden kann. Folglich müsste es eine Ordinalzahl geben, die den Ordnungstyp der Wohlordnung aller Ordinalzahlen darstellt. Doch ebenso lässt sich zeigen, dass der Ordnungstyp jedes Segments der Ordinalzahlen, das jede kleinere Ordinalzahl enthält, größer ist als alle Ordinalzahlen in diesem Segment. Damit wäre diese Zahl zugleich eine Ordinalzahl und größer als jede Ordinalzahl – ein Widerspruch.