Die Philosophie der Mathematik

Nach den Paradoxien

Russell erkannte, dass alle mengentheoretischen Paradoxien mit Begriffen zu tun hatten, die die folgende Eigenschaft besitzen: Wenn man eine Gesamtheit von Objekten betrachtet, die unter einen solchen Begriff fallen, lässt sich stets ein neues Objekt definieren, das ebenfalls unter den Begriff fällt, aber nicht zu dieser Gesamtheit gehört. Die Katastrophe, die Frege ereilte, wurde weithin, und wird noch immer, als Beweis für die Unhaltbarkeit der logizistischen These betrachtet. Diese Annahme bedarf jedoch sorgfältiger Überlegung. Sicherlich zeigt sie nicht, dass die logizistische These in ihrer Gesamtheit falsch ist. Es ist keineswegs offensichtlich, dass die Idee, die Notwendigkeit arithmetischer Wahrheiten habe denselben Charakter wie die logischer Wahrheiten, inhaltslos wäre.

Man muss sich daher fragen, worin genau Frege sich irrte. Er suchte nach einer unanfechtbaren Methode, den Bereich einer mathematischen Theorie einzuführen – man könnte ihn den grundlegenden Bereich nennen. Damit ist hier ein Bereich mathematischer Objekte gemeint, der nicht in Begriffen eines bereits bekannten Bereichs erklärt werden kann. Dies bedeutet im Wesentlichen, dass er den Prototyp einer Gesamtheit bestimmter Mächtigkeit bildet. Die natürlichen Zahlen sind ein solcher Bereich, da sie den Prototyp der abzählbaren Gesamtheiten darstellen. Ohne auf den Begriff einer Menge oder einer unendlichen Folge zurückzugreifen, bilden die reellen Zahlen einen anderen grundlegenden Bereich, der als Prototyp der nicht abzählbaren Gesamtheiten jener Art dient. Ob ein solcher Bereich auf formale oder informelle Weise erklärt wird, er kann nicht aus einem bereits verstandenen Bereich konstruiert werden. Festzulegen, dass der Bereich einer formalen Theorie aus den natürlichen oder reellen Zahlen besteht, heißt lediglich, das Problem zu umgehen, wie er auf eine nicht zirkuläre Weise erklärt werden kann. Frege versuchte, diese Aufgabe ein für alle Mal zu lösen, indem er den Bereich der Wertbereiche einführte, doch er scheiterte daran, ein konsistentes System zu schaffen, geschweige denn eines, das erkenntnistheoretisch unproblematisch gewesen wäre. Wie hätte er also vorgehen sollen? Hätte er sich dabei auf mehr als Logik stützen müssen? Diese Fragen gilt es zu klären. Man wird kaum sofort klare und zwingende Antworten finden, denn niemand hat sie bisher gegeben. Doch sollte man sie beständig im Sinn behalten. Es handelt sich nicht bloß um historische Fragen über Frege, sondern um Fragen, die das Herz der Philosophie der Mathematik betreffen.

Russell gab gemeinsam mit seinem Kollegen Alfred North Whitehead den Versuch, die logizistische These zu begründen, nicht auf, sondern widmete ihr die drei Bände ihres monumentalen Werks Principia Mathematica (1910–1913). Dieses Werk, das dasselbe Ziel verfolgte wie Freges Grundgesetze der Arithmetik, jedoch von größerem Umfang und weniger strenger logischer Fundierung war, war gewiss logizistisch in seiner Absicht, doch nicht mehr uneingeschränkt platonisch. Es bestand nun die Notwendigkeit, sich gegen die mengentheoretischen Paradoxien zu wappnen; das Mittel dazu war die Typentheorie.

Freges logisches System hatte eine Hierarchie logischer Typen enthalten. Die Objekte bildeten die unterste Stufe, darüber standen Funktionen verschiedener Art, einstellige und zweistellige. Der logische Typ einer Funktion hing von der Anzahl und der Art ihrer Argumente ab. Auf der ersten Ebene gab es zwei Typen: einstellige und zweistellige Funktionen von Objekten. In Freges System hatten alle Funktionen Objekte als Werte. Zur Vereinfachung nennen wir diese Typen U und B und bezeichnen mit O den Typ der Objekte. Auf der zweiten Ebene gab es viele verschiedene Typen: einstellige Funktionen mit Argumenten vom Typ U, einstellige Funktionen mit Argumenten vom Typ B, zweistellige Funktionen mit beiden Argumenten vom Typ U, mit beiden vom Typ B oder mit gemischten Typen – U und B, U und O oder B und O. Diese Hierarchie setzte sich nach oben fort, und eine Variable konnte nur über einen bestimmten Typ hinweg variieren. Doch die Wertbereiche bildeten in Freges System keine Hierarchie. Sie waren alle Erweiterungen einstelliger Funktionen erster Stufe und selbst Objekte der nullten Stufe. Freges Kardinalzahlen waren in den Grundgesetzen Klassen gleichzahliger Klassen, nicht gleichzahliger Begriffe.

Russell und Whitehead beschäftigten sich nicht mit Funktionen im Allgemeinen, sondern mit dem, was Frege „Begriffe“ und „Beziehungen“ nannte, und sie bezeichneten diese als „propositionale Funktionen“. Diese ordneten sie in eine ähnliche Hierarchie ein. Mit Klassen gingen sie jedoch auf völlig andere Weise um. Für sie war das Sprechen von Klassen lediglich eine andere Art, von einstelligen propositionalen Funktionen zu sprechen, und daher waren ihre Klassen notwendigerweise in derselben Hierarchie angeordnet wie diese Funktionen. Die unterste Stufe bestand aus Individuen und umfasste nur nicht-mathematische Objekte. Darüber befanden sich Klassen von Individuen (Typ 1), Klassen von Klassen von Individuen (Typ 2) und so weiter. Kardinalzahlen waren von Typ 2, da sie Klassen gleichzahliger Klassen darstellten. Die Definition war formal dieselbe wie bei Frege, doch die Typentheorie verlieh ihr eine völlig andere Bedeutung.

Freges Beweis für die Unendlichkeit der Folge der natürlichen Zahlen beruhte darauf, dass sie Objekte waren. Für jede natürliche Zahl n drückte der Satz, dass n zur Nachfolgerfolge gehört, die mit x beginnt, aus, dass x unter den natürlichen Zahlen der endlichen Folge null, eins, zwei und so weiter bis n enthalten ist. Frege zeigte, wie man formal beweisen kann, dass die Anzahl der Glieder dieser Folge – der Objekte x, die die genannte Bedingung erfüllen – der Nachfolger von n ist, sofern n eine natürliche Zahl ist. Dies ist intuitiv klar, da die Folge offensichtlich n plus eins Glieder enthält. Doch dieser Beweis hängt vollständig davon ab, dass natürliche Zahlen Objekte sind, da es Objekte sind, die gezählt werden. Ein Ausdruck der Form „die Zahl der F ist“ bedeutete für Frege ausdrücklich „die Zahl der Objekte x, von denen jedes F ist“. Hätte Frege arithmetische Aussagen nicht wörtlich genommen, sondern natürliche Zahlen als etwas anderes denn Objekte behandelt, etwa als Begriffe zweiter Stufe – Begriffe, unter die Begriffe erster Stufe fallen – und sie durch Ausdrücke der Art „Es gibt genau ...“ bezeichnet, dann wäre der Beweis, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, ihm nicht zugänglich gewesen. Da nur Objekte gezählt werden, müssen natürliche Zahlen Objekte sein, wenn sie gezählt werden sollen.

Russell und Whitehead befanden sich genau in dieser Schwierigkeit. Sie verstanden natürliche Zahlen als Typ 2, also als Klassen von Klassen. Die Klasse der natürlichen Zahlen von null bis n war dann von Typ 3, und die Klasse der Klassen, die ihr gleichzahlig waren, von Typ 4, und konnte daher nicht als Nachfolger von n dienen. Die Schwierigkeit liegt in der Möglichkeit, dass es nur endlich viele Individuen gibt. Frege konnte beweisen, dass es unendlich viele Objekte gibt, weil Kardinalzahlen, als Klassen, für ihn selbst Objekte waren; für Russell und Whitehead jedoch hatten sie einen höheren Typ als Individuen. Wenn es beispielsweise nur viertausendzweiundsechzig Individuen gäbe, dann gäbe es keine Klasse mit viertausenddreiundsechzig Individuen und daher keine Klasse von Klassen, die als Nachfolger der Zahl viertausendzweiundsechzig dienen könnte. Würde man die leere Klasse der Klassen als Nachfolger dieser Zahl betrachten, wäre sie ihr eigener Nachfolger, was dem vierten Peano-Axiom widerspricht. Die Autoren der Principia Mathematica konnten daher nichts anderes tun, als den Knoten zu durchschneiden, indem sie ein Axiom der Unendlichkeit postulierten, das besagt, dass es unendlich viele Individuen gibt. Dieses Axiom lässt sich zwar in logischen Begriffen ausdrücken, doch seine Wahrheit wird durch keinerlei logische Einsicht bestätigt. Da weder Zahlen noch Klassen Individuen sind, ist es sogar fraglich, ob es überhaupt wahr ist. Dies war ein schwerer Mangel in der Durchführung des logizistischen Programms.