Die Philosophie der Mathematik

Nach den Paradoxien

Das Prinzip des Teufelskreises

Die bisher beschriebene Typentheorie ist nur die einfache Typentheorie. Da in den Principia Mathematica die Bezugnahme auf und Quantifizierung über Klassen durch die Bezugnahme auf und Quantifizierung über Aussagenfunktionen erklärt wird, werden Klassen entsprechend der einfachen Version der Theorie kategorisiert: Sie unterscheiden sich nach den Typen ihrer Elemente, wobei eine Klasse vom Typ n + 1 nur Klassen vom Typ n als Elemente hat. In Russells Einführung in die mathematische Philosophie aus dem Jahr 1919, einem weiteren grundlegenden Werk, wird ebenfalls nur die einfache Typentheorie erläutert. In den Principia nahm jedoch die Kategorisierung der Aussagenfunktionen eine komplexere Form an – die sogenannte verzweigte Typentheorie. Nach dieser werden Aussagenfunktionen in Ordnungen unterteilt, die durch die Ordnungen nicht nur ihrer Argumente, sondern auch der gebundenen Variablen bestimmt werden, die in den Formeln vorkommen, die sie ausdrücken. Eine Aussagenfunktion gehört zu der niedrigsten Ordnung, die höher ist als die Ordnung der Variablen, welche ihre Argumente anzeigen, und der gebundenen Variablen in den entsprechenden Formeln. Eine einstellige Funktion von Individuen, die durch Quantifizierung über Funktionen erster Ordnung – also Funktionen von Individuen – ausgedrückt wird, ist daher von zweiter Ordnung. Eine prädikative Funktion war eine solche von der niedrigsten Ordnung, die mit ihren Argumenten vereinbar ist; über Klassen zu sprechen wurde als Sprechen über prädikative einstellige Funktionen verstanden, weshalb sie nur in der einfachen Hierarchie angeordnet wurden.

Dies führte in den Principia zu Schwierigkeiten mit den Grundlagen der Theorie der reellen Zahlen. Um die Vollständigkeit der reellen Zahlen zu sichern, muss gezeigt oder angenommen werden, dass jede Klasse D reeller Zahlen, die eine obere Schranke besitzt, auch eine kleinste obere Schranke hat. Eine Dedekind-Schnitttheorie besagt, dass jeder Schnitt auf der reellen Zahlengeraden einer reellen Zahl entspricht, sodass keine Lücken bestehen. Der normale Beweis erfordert jedoch eine Quantifizierung über die Elemente der Klasse D; wenn etwa reelle Zahlen mit den unteren Klassen der Dedekind-Schnitte in der rationalen Zahlengeraden identifiziert werden, ist die kleinste obere Schranke der Klasse D die Vereinigung ihrer Elemente. Da dies eine Quantifizierung über die reellen Zahlen in der Klasse D beinhaltet, wäre die Aussagenfunktion, die diese Konstruktion ausdrückt, jedoch nicht prädikativ; ohne eine Änderung der Theorie könnte man daher die Existenz einer kleinsten oberen Schranke nicht beweisen. Die von Russell und Whitehead gewählte Lösung war die Annahme eines weiteren Axioms – des Reduzibilitätsaxioms –, das besagte, dass es für jede Aussagenfunktion eine koextensive prädikative Funktion gibt.

Wie Russell einräumte, gibt es nicht den geringsten direkten Grund, dieses Axiom für wahr zu halten; tatsächlich steht es im Widerspruch zu der intuitiven Motivation, die ursprünglich zur Einführung der verzweigten Typentheorie führte. Russell sah sich gezwungen zu argumentieren, dass die Axiome der Unendlichkeit und der Reduzibilität notwendig seien, um die klassische Mathematik aus der Logik abzuleiten. Damit diente die Logik nicht mehr dazu, eine erkenntnistheoretische Rechtfertigung für die Prinzipien der klassischen Mathematik zu liefern – also zu erklären, warum wir sie akzeptieren oder wie wir wissen, dass sie wahr sind. Stattdessen beginnt man mit zwei Überzeugungen: dass die klassische Mathematik korrekt ist und dass sie sich aus rein logischen Voraussetzungen ableiten lässt. Man untersucht dann, welche Annahmen dieser Art erforderlich sind, um die klassische Mathematik aus ihnen herzuleiten; der einzige Grund, bestimmte dieser Annahmen zu akzeptieren, liegt darin, dass, wenn sie falsch wären, eine der beiden vorangehenden Überzeugungen unhaltbar wäre. Russell blieb in abgeschwächtem Sinn ein Logizist, insofern er die zweite dieser Überzeugungen beibehielt; doch war offensichtlich, dass das logizistische Projekt seine ursprüngliche Motivation verloren hatte.

Frank Ramsey wies darauf hin, dass die einfache Typentheorie ausreicht, um die mengentheoretischen Paradoxien zu vermeiden. Die verzweigte Theorie könnte zwar nötig sein, um die semantischen Paradoxien – etwa das Lügner-Paradox, das in der Aussage „Diese Aussage ist falsch“ zum Ausdruck kommt – zu blockieren, doch lassen sich solche Paradoxien in der formalen Sprache der Principia ohnehin nicht formulieren. Russells Grund für die Einführung der verzweigten Theorie war jedoch, dass das von ihm sogenannte Prinzip des Teufelskreises sie erforderte. Dieses Prinzip, das von Henri Poincaré vertreten wurde, der sich jedoch gegen den Logizismus stellte, betrachtete Russell als die richtige Diagnose der Paradoxien, einschließlich der mengentheoretischen. Er hatte kaum einen anderen Grund, die einfache Typentheorie zu akzeptieren, außer dass sie von einem Prinzip gefordert wurde, das die verzweigte Theorie verlangte.

Das Prinzip des Teufelskreises verneinte die Existenz von etwas, das nur durch Quantifizierung über eine Gesamtheit definiert werden kann, zu der es selbst gehört. In dieser Formulierung ruft es Einwände hervor, die sich auf Beschreibungen wie „der größte Mann im Raum“ berufen. Oft wird dann behauptet, das Prinzip sei falsch, wenn mathematische Objekte unabhängig von unserer Erkenntnis existieren, und nur dann richtig, wenn sie durch unser Denken konstruiert werden. Dadurch scheint es, als müsse eine tiefgehende metaphysische Frage entschieden werden, um festzustellen, ob das Prinzip des Teufelskreises gültig ist. Russell ging es jedoch nicht darum, wie man bestimmte Objekte auswählt, sondern darum, welche Mittel legitim sind, um einen Quantifikationsbereich festzulegen. Angenommen, man hat eine Theorie erster Ordnung, deren Variablenbereich man versteht, und möchte sie zu einer Theorie zweiter Ordnung erweitern, die sich auf Unterklassen dieses Bereichs bezieht und über sie quantifiziert. Wenn man glaubt zu wissen, was damit gemeint ist, von allen Unterklassen des Bereichs zu sprechen, kann man Klassenvariablen wie X, Y usw. einführen, die über diese Unterklassen laufen, zusammen mit dem Symbol e für die Zugehörigkeitsrelation, und als Bedingung für die Existenz von Klassen ein impredikatives Verständnisschema festlegen, das besagt, dass für jede Bedingung A(x) eine Klasse X existiert, deren Mitglieder genau die Elemente sind, die diese Bedingung erfüllen. Dieses Schema kann jedoch nicht den Bereich erklären, über den die Klassenvariablen selbst laufen. Um Zirkularität zu vermeiden, muss dieser Bereich als bereits bekannt vorausgesetzt werden; andernfalls würde eine Formel, die gebundene Klassenvariablen enthält, keine bestimmte Bedingung darstellen.

Russell glaubte nicht, die Gesamtheit aller Unterklassen einer gegebenen Klasse erfassen zu können. Niemand, der diese Haltung einnimmt, könnte das impredikative Verständnisschema akzeptieren. Wer eine Theorie erster Ordnung erweitern möchte, indem er Variablen einführt, die über Unterklassen des Bereichs laufen, würde vielmehr ein prädikatives Verständnisschema annehmen, das besagt, dass für jede Bedingung B(x) eine Klasse X existiert, deren Mitglieder genau die Elemente sind, für die B(x) gilt. Genauer gesagt, könnte B(x) freie Klassenvariablen außer X enthalten, aber keine gebundenen. Dieses Prinzip würde den beabsichtigten Bereich der neuen Klassenvariablen erklären. Aus unserem Verständnis der ursprünglichen Sprache wissen wir, welche Bedingung eine Formel dieser Sprache mit einer freien individuellen Variablen ausdrückt; daher können wir die Klassen, über die die neuen Variablen laufen, als diejenigen auffassen, deren Mitgliedschaftsbedingungen durch solche Formeln beschrieben werden.

Diesen Schritt kann man wiederholen. Jede Formel der erweiterten Sprache, die gebundene Klassenvariablen enthält, kann nun als eine bestimmte Bedingung für die Elemente des Bereichs aufgefasst werden. So lassen sich die eingeführten Klassenvariablen erster Ordnung mit einem Index versehen und weitere Variablen zweiter Ordnung hinzufügen. Es ergeben sich zwei prädikative Verständnisschemata, die sich auf unterschiedliche Ordnungen beziehen, und das Verfahren kann unbegrenzt wiederholt werden, sodass eine unendliche Hierarchie von Klassen entsteht. Diese sind jedoch weiterhin Klassen von Elementen des ursprünglichen Bereichs, nicht Klassen von Klassen. Die eigentliche Frage ist daher nicht, ob – wie der Platonist glaubt – mathematische Entitäten unabhängig von uns existieren oder erst durch unsere Konstruktion entstehen, sondern ob wir tatsächlich immer eine bestimmte Vorstellung von der Gesamtheit der Unterklassen einer gegebenen Gesamtheit haben. Die Annahme, dass wir eine solche Vorstellung besitzen, gilt gewöhnlich als Merkmal des platonischen Denkens – ein weiterer Punkt, in dem Russell und Whitehead vom Platonismus abwichen.