Die Philosophie der Mathematik

Intuitionismus

Das intuitionistische Auswahlaxiom

Die unmittelbarste nicht-mengen-theoretische Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Für jedes x gibt es ein y, sodass A(x, y) gilt, impliziert die Existenz einer Funktion, die jedes x auf ein y abbildet, sodass A(x, y) gilt. Hier können x und y Variablen beliebiger Art sein, gleich oder verschieden, während A(x, y) jede Aussage mit diesen beiden Variablen repräsentiert und f über Funktionen definiert ist, die auf dem Definitionsbereich von x Werte im Definitionsbereich von y haben. Intuitionistisch bedeutet das Behaupten der Existenz einer Funktion stets, dass es eine effektiv berechenbare solche Funktion gibt. Obwohl eine Wahlfunktion üblicherweise als vornehmlich nicht-konstruktiv angesehen wurde, tatsächlich als etwas, das im Allgemeinen nicht unabhängig spezifizierbar ist, ist das Auswahlaxiom aus intuitionistischer Sicht ein offensichtlich wahres Prinzip. Es ist wahr, sofern die Quantoren im Antezedens in ihrem intuitionistischen Sinn verstanden werden; daraus folgt das Konsequent unmittelbar. Angenommen, der Reihe nach, dass die Variablen x und y über die natürlichen Zahlen reichen. Dann ist ein Beweis des Antezedens eine effektive Operation, die jede natürliche Zahl n in einen Beweis von „Für ein y gilt A(n, y)“ überführt; ein Beweis dieser Aussage besteht aus einer natürlichen Zahl m und einem Beweis von A(n, m). Ein Beweis des Antezedens liefert daher automatisch eine Funktion, die jede natürliche Zahl n auf eine Zahl m abbildet, die A(n, m) erfüllt, genau wie das Konsequent behauptet. Analoge Überlegungen gelten unabhängig von den Definitionsbereichen der Variablen x und y.

Bei der Anwendung des Auswahlaxioms ist jedoch Vorsicht geboten, angesichts des intensionalen Charakters der Entitäten der intuitionistischen Mathematik. Die Funktion f wirkt nicht auf Elemente im Definitionsbereich der Variablen x, betrachtet in extensionaler Weise, sondern auf die Art, wie sie gegeben sind. Es gibt daher keine Garantie, dass extensional gleichwertige Elemente dieses Bereichs auf dasselbe Element des Definitionsbereichs von y abgebildet werden. Wenn x über die natürlichen Zahlen reicht, gibt es kein Problem, unabhängig vom Definitionsbereich von y, da natürliche Zahlen im Wesentlichen nur auf eine Weise gegeben werden können; das heißt, Gleichheit zwischen natürlichen Zahlen ist eine entscheidbare Relation, im Gegensatz zur Gleichheit reeller Zahlen. Wenn x jedoch über andere Bereiche, etwa über unendliche Sequenzen, reicht, kann nicht vorausgesetzt werden, dass die Werte von f für extensional gleiche Sequenzen – geschweige denn für äquivalente Generatoren reeller Zahlen – übereinstimmen.