Die Philosophie der Mathematik

Intuitionismus

Reelle Zahlen

Die Verwendung einer von der klassischen abweichenden Logik ist der grundlegende Unterschied zwischen intuitionistischer und klassischer Mathematik, aber bei weitem nicht der einzige. Weitere Unterschiede treten sofort zutage, wenn wir die intuitionistische Theorie der reellen Zahlen betrachten. Wie in Cantors Theorie der reellen Zahlen wird diese normalerweise intuitionistisch in Form unendlicher Sequenzen rationaler Zahlen entwickelt; doch eine unendliche Sequenz wird in der intuitionistischen und in der klassischen Mathematik sehr unterschiedlich betrachtet. Für den klassischen Mathematiker ist eine unendliche Sequenz ein rein extensionales Objekt: Sie besteht vollständig aus den Termen, die sie enthält, unabhängig davon, wie sie definiert wurde. Zudem ist sie ein Beispiel für eine vollendete Unendlichkeit: Sie besitzt bestimmte Eigenschaften, die von der Gesamtheit ihrer Terme abhängen, auch wenn wir nur endlich viele davon zitieren können. In der intuitionistischen Mathematik hingegen muss jedes mathematische Objekt, über das gesprochen wird, als auf eine bestimmte Weise gegeben gedacht werden, und seine Identität wird durch die Art bestimmt, wie es gegeben ist. Die Entitäten der intuitionistischen Mathematik sind daher intensional zu betrachten, selbst wenn wir uns nur mit ihren extensionalen Eigenschaften befassen. Eine unendliche Sequenz kann zum Beispiel durch ein effektives Verfahren zur Berechnung ihrer Terme gegeben sein; sie darf dann nicht mit einer Sequenz identifiziert werden, die auf andere Weise gegeben ist, etwa durch ein anderes Berechnungsverfahren, selbst wenn sich die beiden Sequenzen Term für Term als identisch erweisen. Wir können einer Sequenz nur jene Eigenschaften zuschreiben, die sich aus der Art ergeben, wie sie gegeben wurde, zusammen mit einer endlichen Anzahl ihrer Terme, mehr als die wir nicht kennen können.

Ein Generator für reelle Zahlen ist eine unendliche Sequenz rationaler Zahlen, die die Cauchy-Bedingung erfüllt, im intuitionistischen Sinne verstanden: das heißt, für jede negative Zweierpotenz kann ein Term der Sequenz gefunden werden, dessen absoluter Unterschied zu jedem nachfolgenden Term kleiner ist als diese Potenz. Die reellen Zahlen selbst können dann mit Äquivalenzklassen solcher Generatoren identifiziert werden, also solchen, die gegen denselben Grenzwert konvergieren; die Äquivalenzrelation gilt zwischen zwei Sequenzen, wenn für jede negative Zweierpotenz eine Zahl n gefunden werden kann, sodass der absolute Unterschied zwischen allen entsprechenden Termen der beiden Sequenzen nach dem n-ten Term kleiner ist als diese Potenz. Eine reelle Zahl muss jedoch stets als durch einen spezifischen Generator gegeben gedacht werden: Wir haben keine andere Möglichkeit, sie zu identifizieren.

Reelle Zahlen sind nicht gleich, wenn sie als Äquivalenzklassen verschiedene Generatoren enthalten; es kann jedoch eine stärkere Relation zwischen ihnen bestehen, eine Art positive Unterscheidung. Zwei reelle Zahlen liegen auseinander, wenn die Generatoren, durch die sie gegeben sind, auseinanderliegen; und die Generatoren liegen auseinander, wenn eine Zahl n und eine negative Zweierpotenz gefunden werden können, sodass der absolute Unterschied zwischen den entsprechenden Termen nach dem n-ten Term immer größer ist als diese Potenz. Dies ist ein gutes Beispiel dafür, wie die intuitionistische Mathematik feinere Unterscheidungen erlaubt als die klassische. In der intuitionistischen Mathematik ist das Argumentieren durch Fälle notwendigerweise seltener als klassisch. So können wir im Allgemeinen für eine beliebige reelle Zahl x nicht annehmen, dass sie entweder größer als null oder kleiner beziehungsweise gleich null ist. Wir können jedoch annehmen, dass sie entweder größer als null oder kleiner als eins ist, da immer einer der beiden Fälle bestimmt werden kann; und dies erfüllt oft unseren Zweck.