Die Philosophie der Mathematik

Wittgenstein

Ludwig Wittgenstein (1889-1951), wahrscheinlich der größte Philosoph des zwanzigsten Jahrhunderts, war überzeugt, dass er kurz davorstand, einen ebenso substanziellen Beitrag zur Philosophie der Mathematik zu leisten wie zu zentraleren Teilen der Philosophie. Gleichzeitig war er nie zufrieden, dass er eine korrekte Formulierung seiner Ansichten über Mathematik erreicht hatte. Aus diesem Grund strich er, obwohl er geplant hatte, einen erheblichen Abschnitt seines posthum veröffentlichten Buches Philosophische Untersuchungen diesem Thema zu widmen, diesen schließlich.

Ob sein Beitrag zur Philosophie der Mathematik tiefgreifend oder verwirrend war, ist umstritten. Er behielt eine kleine Gruppe vollkommen engagierter Anhänger: Für diese legte Wittgenstein natürlich die wahre Natur der Mathematik offen. Im Gegensatz dazu haben seine Schriften auf die meisten zeitgenössischen Philosophen der Mathematik nur geringe Wirkung ausgeübt; selbst jene, die den Rest seines Werkes hoch schätzen, betrachten diesen Teil der Philosophie oft als Bereich, in dem ein großer Genius stolperte. Wie sein Werk zu bewerten ist, ist somit eine weit umstrittenere Frage als ähnliche Fragen zum Werk anderer zeitgenössischer Philosophen der Mathematik; man muss sich selbst eine Meinung über diese ungewisse Angelegenheit bilden.

Wittgenstein machte eine scharfe Unterscheidung, die sonst niemand zog, zwischen der eigentlichen Mathematik und dem, was er das ‚Gas‘ nannte, das sie umgibt. Die echte Mathematik zeigt sich in den Beweisen von Sätzen. Wenn wir den tatsächlichen Inhalt eines Satzes wissen wollen, müssen wir darauf achten, zu sehen, was der Beweis beweist. Es ist nicht die Aufgabe des Philosophen, die eigentliche Mathematik zu kritisieren oder infrage zu stellen. Mathematik und Philosophie sind zwei völlig verschiedene Tätigkeiten, und der Philosoph hat kein Recht, in die Arbeit des Mathematikers einzugreifen: Er kann nur beobachten, was der Mathematiker tut, es akzeptieren und beschreiben.

‚Gas‘ hingegen besteht aus den Erläuterungen, die Mathematiker ihren Beweisen hinzufügen, um deren Bedeutung zu erklären; dies muss der Philosoph in keiner Weise respektieren. Die Unterscheidung lässt sich anhand des sogenannten Beweises von Cantor zur Nichtabzählbarkeit der reellen Zahlen verdeutlichen. Der Beweis zeigt, dass, gegeben jede Aufzählung reeller Zahlen, man eine reelle Zahl definieren kann, die in der Aufzählung fehlt: und dies ist die eigentliche Mathematik, der Kern des Satzes. Wenn wir jedoch sagen ‚Cantor bewies, dass es nicht abzählbar viele reelle Zahlen gibt‘, erzeugen wir lediglich Gas. Der Beweis setzt nicht voraus, dass es eine Gesamtheit aller reellen Zahlen gibt, über deren Größe man sinnvoll fragen könnte. Er sagt nichts über die Gesamtheit der reellen Zahlen aus; sie als Aussage über diese Gesamtheit zu interpretieren, hüllt den Satz in Gas.

Man könnte folgern: Der Beweis zeigt, dass die reelle Zahl ein unendlich erweiterbares Konzept ist. Ein unendlich erweiterbares Konzept hat die Eigenschaft, die Russell als Ursache aller mengen-theoretischen Paradoxe sah: Gegeben eine bestimmte Gesamtheit von Dingen, die unter das Konzept fallen, können wir immer etwas definieren, das unter das Konzept fällt, aber nicht zur Gesamtheit gehört. Nein! Den Satz so zu beschreiben, wäre, Gas auszustrahlen, ebenso schädlich wie das Sprechen über nicht abzählbare Gesamtheiten. Das Argument zur unendlichen Erweiterbarkeit des Begriffs der reellen Zahl beruht auf der Annahme, dass jede bestimmte Gesamtheit höchstens abzählbar ist; der Beweis von Cantors Satz sagt jedoch nichts über bestimmte Gesamtheiten, geschweige denn, dass sie alle endlich oder abzählbar sind. Cantors Satz besagt genau das, was der Beweis beweist, und nicht mehr: dass, gegeben jede Aufzählung reeller Zahlen, man eine Zahl definieren kann, die in der Aufzählung fehlt.

Der Leitspruch ‚Sieh, was der Beweis beweist‘ ist zweifellos sinnvoll; eine starre Anwendung von Wittgensteins Unterscheidung zwischen echter Mathematik und Gas führt jedoch zu einer sehr puritanischen Haltung gegenüber der Mathematik, die ihr, so mag man meinen, viel von ihrem Reiz nimmt. Wittgensteins Verbot, dass Philosophen in die Arbeit der Mathematiker eingreifen, hat eine weitere seltsame Wirkung. Mathematiker haben über zahlreiche allgemeine Prinzipien gestritten: über das Auswahlaxiom, die Legitimität impredikativer Definitionen, die das Prinzip des Teufelskreises verletzen, oder über die Gültigkeit des Gesetzes vom ausgeschlossenen Dritten. Wenn er diese Fragen behandelt, erweckt Wittgenstein stets den Eindruck eines radikalen Konstruktivisten: Seine Argumente gegen das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten ähneln oft denen Brouwers. Doch diese Kommentare beziehen sich nur auf die Erwähnung der umstrittenen Prinzipien im Rahmen der Begleitinterpretationen, des ‚Gases‘. Andere, die ein Prinzip bestritten haben, hielten den Rückgriff auf dieses Prinzip im Verlauf eines mathematischen Beweises für unzulässig und haben selbst darauf verzichtet. Wird das Prinzip jedoch tatsächlich im Beweis verwendet, so meint Wittgenstein, hat der Philosoph kein Recht zur Einwendung: Ein Einwand würde als Eingriff in die Arbeit der Mathematiker gelten. Wir haben somit das Paradox eines Philosophen, der extreme konstruktivistische Ansichten hält, aber auf philosophischer Grundlage die Kritik selbst hochgradig nicht konstruktiver Beweismethoden verbietet.

Wittgenstein war der Ansicht, dass die Philosophie nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Naturwissenschaft und in der Religion nicht eingreifen darf; sie kann nur beschreiben. Man könnte einwenden, dass keines dieser Gebiete oder Tätigkeiten so von der Philosophie abgeschirmt ist, wie Wittgenstein annahm und wünschte. Es geht nicht nur darum, Philosophen vom Eingreifen abzuhalten: Die Philosophie selbst darf nicht eingreifen, und Praktiker der Mathematik, Naturwissenschaft oder Religion müssen auf philosophische Überlegungen verzichten. Wenn sie dies dennoch tun, erzeugen sie ‚Gas‘, das unbeachtet bleiben kann. Praktiker aller dieser Bereiche haben jedoch häufig philosophische Erwägungen herangezogen, unter anderem, um zu entscheiden, wie sie vorgehen sollten. Es nützt nicht zu sagen: ‚Vergesst das alles, macht einfach weiter wie es euch natürlich erscheint‘, denn sie wollen sich über ihr Vorgehen Klarheit verschaffen. Mathematiker bilden beispielsweise nicht den monolithischen Block, den Wittgensteins Bemerkungen vermuten lassen könnten: Sie waren und sind geteilt über die Legitimität verschiedener mathematischer Vorgehensweisen. Für diejenigen, die sich mit solchen Streitigkeiten befassen, ist Wittgensteins Rat nutzlos.

Man kann bezweifeln, wie naiv dieser Rat war: Die Grenze zwischen Beschreibung und Kritik ist oft verschwommen. Ein berühmter Hilbertscher Aufschrei gegen die Reform der Mathematik durch die Intuitionisten lautete: ‚Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geöffnet hat.‘ Wittgenstein kommentierte, dass er niemanden aus einem Paradies vertreiben wolle: ‚Ich weise ihn lediglich darauf hin, dass es kein Paradies ist, und dann geht er von selbst.‘

Wir nehmen normalerweise an, dass ein Rechenverfahren für eine Funktion oder ein Entscheidungsverfahren für eine Eigenschaft, das ‚prinzipiell‘ auf jede Zahl anwendbar ist, den Wert der Funktion oder den Besitz der Eigenschaft im Voraus bestimmt. Aus diesem Grund erlauben Intuitionisten die Aussage, dass jede natürliche Zahl, wie groß sie auch sein mag, entweder prim oder zusammengesetzt ist. Wittgenstein lehnte diese Vorstellung der Vorausbestimmung ab. Was ‚prinzipiell‘ möglich ist, interessierte ihn nicht: Für ihn bestimmt das, was wir praktisch als Kriterium für die Wahrheit akzeptieren, den Sinn einer mathematischen Aussage, die den Funktionswert für ein bestimmtes Argument angibt oder aussagt, ob eine bestimmte Zahl die Eigenschaft hat. Der Spielraum für die tatsächliche Durchführung eines effektiven Prozesses ist immer endlich. Wittgensteins Einwand gegen diese uns natürliche Vorstellung ging jedoch noch weiter. Selbst innerhalb des praktischen Bereichs lehnte er ab, dass ein effektiver Prozess im Voraus eine bestimmte Antwort in jedem Fall bestimmt. Genauer gesagt hielt er eine solche Behauptung nur im mathematischen Sinn für zulässig, als Aussage, dass der Prozess immer zu einer Antwort führen würde, im Gegensatz zu einem Prozess, der in bestimmten Fällen nicht beendet wird.

Wir befinden uns nun in der schwierigen Region von Wittgensteins sogenannten ‚Regel-Folgen-Überlegungen‘, so genannt, weil Exegeten vorsichtig sind, ihm eine explizit formulierbare These über Regeln zuzuschreiben. ‚Was unterscheidet eine Berechnung von einem Experiment?‘, fragt Wittgenstein wiederholt. Seine Antwort ist überraschend. Eine naheliegende Antwort wäre, dass das Ergebnis der Berechnung, wenn korrekt durchgeführt, a priori bestimmt ist, während das Ergebnis eines Experiments zwar vermutlich durch Naturgesetze bestimmt ist, es jedoch nicht in der Beschreibung des Experiments entdeckt werden kann, sondern von der Natur unserer Beobachtung offenbart werden muss. Dies ist nicht Wittgensteins Sicht. Für ihn unterscheidet sich eine Berechnung von einem Experiment dadurch, was nach der Durchführung geschieht. Wenn die Berechnung sorgfältig durchgeführt wurde, behandeln wir ihr Ergebnis nun als Kriterium für die korrekte Ausführung derselben Berechnung; im Gegensatz dazu rechtfertigt ein anderes Ergebnis bei einer Wiederholung eines Experiments nicht dessen Ablehnung als falsch. Die Berechnung wird zur Berechnung durch unsere Behandlung auf diese Weise—durch das ‚Archivieren‘. Und dies bestimmt auch das Ergebnis der Berechnung.

Vor der Durchführung ist nach Wittgenstein nichts vorbestimmt, was das Ergebnis sein wird. Die Berechnung erfolgt zwar nach einer Regel, aber die Regel selbst enthält keine Mittel, ihre eigene Anwendung zu bestimmen, also nicht, um zu beurteilen, ob ein Versuch, ihr zu folgen, korrekt ist oder nicht. Wir beurteilen den Versuch als echten oder fehlerhaften Fall des Regel-Folgens; und es gibt kein Kriterium außerhalb von uns, um die Richtigkeit unseres Urteils zu bestimmen. Die Regel wurde befolgt, wenn wir urteilen, dass sie befolgt wurde: das bestimmt, dass sie befolgt wurde.

Dies gilt gleichermaßen für alle mathematischen Aussagen, sei es das Ergebnis einer effektiven Berechnung oder lediglich der Schluss eines Beweises. Ihre Wahrheit besteht darin, dass wir sie als Ergebnis einer korrekten Berechnung oder als Schluss eines gültigen Beweises akzeptieren. Wir haben Regeln zur Bestimmung der Gültigkeit eines Schrittes in einer Kette von Folgerungen und damit zur Entscheidung über die Gültigkeit eines Beweises; doch wie alle Regeln bestimmen sie ihr Ergebnis nicht im Voraus. Und nun lässt sich die fehlende These formulieren: Keine Regel enthält Mittel, ihre eigene Anwendung zu bestimmen. Im Wesentlichen macht also unsere Akzeptanz einer mathematischen Aussage sie wahr und verleiht ihr ihre Notwendigkeit. Es kann kein Gegenbeispiel zu einem mathematischen Satz oder dem Ergebnis einer Berechnung geben. Warum nicht? Nur weil wir durch die Annahme des Beweises als gültig oder der Berechnung als korrekt ausgeführt diese in das Archiv aufnehmen und damit als Maßstab für die Beurteilung anderer Aussagen, auch empirischer, verwenden.

Da nur unsere Akzeptanz die Wahrheit einer mathematischen Aussage bestimmt, besitzt sie keinen Wahrheitswert im Voraus. Dies wirkt verheerend auf die Annahmen, die wir gewöhnlich treffen, selbst Intuitionisten. Betrachten wir erneut die Frage, ob eine gegebene natürliche Zahl prim oder zusammengesetzt ist. Selbst wenn niemand die Frage je entschieden hat, führt die Existenz eines effektiven Verfahrens zur Entscheidung bei fast allen zu dem Glauben, dass es eine bestimmte Antwort gibt, auch wenn sie uns unbekannt ist. Gott, könnte man sagen, weiß, welche Zahl prim oder zusammengesetzt ist. Doch Wittgenstein lehnte dies ab, selbst wenn das Entscheidungsverfahren praktisch durchführbar ist: ‚Es gibt nichts, was Gott wissen könnte‘, sagte er. Es gibt keine Aussage, die vor Durchführung des Verfahrens wahr ist und über das Ergebnis bestimmt. Wird das Verfahren durchgeführt, entsteht das Ergebnis, das allgemein als korrekt anerkannt wird. Dann gibt es eine Antwort auf die Frage, ob die Zahl prim oder zusammengesetzt ist; diese Antwort galt jedoch erst durch unsere Durchführung. Gott kann nicht wissen, welche Zahl prim oder zusammengesetzt ist, nicht wegen begrenzter Allmacht, sondern weil solche wahren Aussagen nicht existieren. Gottes Gedanken sind nicht unsere Gedanken: Es sind unsere Gedanken, die wir diskutiert haben, die Gedanken, die wir in unserer Sprache ausdrücken.

Verwirren die ‚Regel-Folgen-Überlegungen‘ Epistemologie mit Metaphysik? Es ist sicher richtig, dass es nichts gibt, woran wir beurteilen könnten, wie eine Regel anzuwenden ist; und unsere übliche Methode, zu prüfen, ob jemand eine Regel korrekt anwendet, besteht darin, sie selbst anzuwenden. Folgt daraus, dass es außer unserem Urteil nichts gibt, das die korrekte Anwendung im Voraus bestimmt? Wenn dies zutrifft, muss auch gelten, dass vor Anwendung nichts das Ergebnis bestimmt. Aber stimmt das wirklich? Gibt es wirklich nichts, was Gott wissen könnte?