Logik und Kontingenz

Allgemeine Rekursivität und die Turing-Maschine

Hegel beginnt mit der Logik und endet mit der Logik, da der Begriff seine Allgemeinheit und Absolutheit nur durch mühsame Reflexionen erreicht: Unmittelbarkeit, Negation, Verneinung, wiederhergestellte Unmittelbarkeit. Günther versuchte, eine nicht-aristotelische (also mehrwertige) Logik zu schaffen, indem er Hegels reflexive Logik formalisiert. Nach Günther impliziert die aristotelische (klassische) Logik eine metaphysische Identität von Denken und Sein. Verwendet man die Terminologie Schellings, basiert die klassische Logik auf A = B, erreicht jedoch nicht A² = (A = B) geschweige denn A³ = A² = (A = B). Im deutschen Idealismus hebt das Selbstbewusstsein als Reflexion diese Identität A = B auf eine höhere logische Ebene.

Günther benutzte eher Hegels Sprache als die Schellings, da Hegels Reflexion, wie bereits erwähnt, konkreter und strukturierter ist. In seiner grundlegenden Arbeit „Bewusstsein der Maschinen: Metaphysik der Kybernetik“ schreibt Günther: „...In der Kybernetik wird Hegels Idee, dass Reflexion an sich ein realer Prozess ist, schließlich ernst genommen, wenn wir systematisch versuchen, die Prozesse des Bewusstseins auf Maschinen analog zu übertragen.“

Da das Subjekt-Objekt-Verhältnis eine zweistellige Logik darstellt, sieht Günther in Hegels reflexiver Logik die Möglichkeit einer dreistelligen Logik. Die Entwicklung der Maschinen versteht er als Entwicklung hin zu Hegels Logik: Die klassische Maschine ist Reflexion in anderes, die von-Neumann-Maschine ist Reflexion in sich, während die „Gehirnmaschine“ Reflexion in sich der Reflexion in sich und anderes ist, wie Hegel in der „Großen Logik“ sagt.

Günther illustriert dies anhand eines Beispiels: Wir haben /, das Selbst, sowie I, die erste Reflexion und somit Subjektivität; nun ergibt sich die doppelte Reflexion D, und aus diesen drei Werten lässt sich eine dreistellige Wahrheitstabelle konstruieren: IR, ID, DR. Allgemein definiert Günther verschiedene R-Ebenen: Nullte R-Ebene – ohne Selbstbewusstsein, nächste R-Ebene bezieht sich auf die Null-Ebene, schematisch: Ss -> (So -> Os). Parsons beschreibt: „Jede R-Ebene kann selbst Gegenstand weiterer Reflexion sein. Folglich ist die Iteration unendlich. An dieser Stelle lässt sich dies nicht axiomatisch beschreiben, wie es eine neue Logik erfordern würde, da es unmöglich ist, endgültige, allgemeinste Aussagen über dieses offene Subjekt zu treffen und es als Selbstbewusstsein zu definieren.“

Günthers Logik erweitert Hegels Reflexion auf mehrere Ebenen, da stets eine weitere Reflexion möglich ist. Er begann mit einem überzeugenden Vorschlag zur mehrwertigen Logik, doch in „Bewusstsein der Maschinen“ und anderen Arbeiten bleibt unklar, ob seine formale Logik vollständig kybernetisch realisierbar ist. Es ist jedoch eindeutig, dass Günther mit seiner Entwicklung der Hegelschen Reflexionslogik versuchte, den Mechanismus der Reflexion zu strukturieren, wie Hegel selbst es tat.

Wir werden nun die Bedeutung von Günthers Metaphysik der Kybernetik betrachten, indem wir kurz die Arbeiten von Gödel, Wiener, Gregory Bateson und Heinz von Foerster berücksichtigen. Wir beginnen mit Gödel, da seine rekursive Funktion die mathematische Grundlage für Rückkopplung in modernen Rechenmaschinen bildete. Später, bei Wiener, wird die allgemeine Bedeutung rekursiven Denkens deutlich. 1952 trat Günther in Korrespondenz mit Gödel und diskutierte seine Logikphilosophie. Gödel, der im Alter von sechzehn Jahren die „Kritik der reinen Vernunft“ gelesen hatte, war auch mit Texten Hegels und Schellings vertraut. In einem Brief an Günther vom 30. Juni 1954 äußert er sein Interesse am deutschen Idealismus als mögliche Ergänzung zur Metaphysik: „Überlegungen zum Gegenstand der idealistischen Philosophie, die Unterscheidung der Reflexionsebenen usw., erscheinen mir sehr interessant und wichtig. Ich halte es sogar für möglich, dass dies der einzige Weg zur richtigen Metaphysik ist.“

Parsons merkt an, dass Gödel 1957 erneut in einem Brief über sein Interesse an „vollständiger Reflexion“ sprach, die Günther versprochen hatte, aber in späteren Arbeiten verschwand. Dieses gemeinsame Interesse an reflexiver Logik ist in der Literatur bislang kaum beleuchtet. Gödel beschäftigte sich mit Platon, Kant und Leibniz und wandte sich 1952 dem transzendentalen Idealismus Husserls als möglicher Grundlage der Wissenschaften zu. Unser Ziel ist nicht, dies alles zu wiederholen, sondern Gödels Interesse an Reflexion mit dem von ihm in den 1930er Jahren entwickelten Rekursivitätsbegriff zu verbinden.

Wir rekonstruieren Gödels Begriff der Rekursivität und seinen Bezug zur Berechenbarkeit, indem wir die Geschichte der Berechnungstheorie kurz skizzieren. Obwohl wir nicht die gesamte Geschichte darstellen können, beleuchten wir die zentralen Etappen. Dies mag spekulativ erscheinen, doch unser Interesse gilt der Rekursion als Verwirklichung des idealistischen Projekts. Nur mit einem präzisen Verständnis von Rekursion in der Berechnung können wir zur Kybernetik zweiter Ordnung übergehen.

Gödels Verständnis von Logik war umfassender, nicht auf Syllogismen und logische Schlüsse begrenzt. Über Hegels Logik schrieb er Wang Hao: „Hegels Logik ist nicht als Widerspruchslogik zu interpretieren. Sie ist ein systematisches Verfahren zur Erzeugung neuer Begriffe. Sie arbeitet mit dem Sein in der Zeit. Nicht die gesamte Hegelsche Logik, aber Teile lassen sich mit einer Proposition vergleichen, die ihr Gegenteil erzeugt. Zum Beispiel: A im Russellschen Paradoxon (Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten) erzeugt ihr Gegenteil. Bei Hegel erzeugt die Bedingung im Verlauf der Geschichte ihr Gegenteil; dies ist ein zeitlicher Prozess, und die Wahrheit hängt von der Zeit ab. Hegels Interpretation ähnelt Marionettentheatern: Die zweite Figur stürzt die erste. Antinomien erhalten eine neue Interpretation. Die Russell-Menge wird zum Grenzfall einer Serie von Zugehörigkeit und Nichtzugehörigkeit; sie ist nicht mehr zyklisch.“

Gödels Blick auf Hegels Logik betont die zeitliche Dimension. Hegels Logik ist eine Abfolge von Reflexionen; wenn man Wahrheit zeitlich versteht, ergibt sich ein anderer Logikerfahrungsraum. Dies mag Gödel zur Erkenntnis der Grenzen formaler Systeme geführt haben, insbesondere in seinem berühmten 1931-Artikel über die Unvollständigkeit formaler Systeme, z. B. in Russell und Whiteheads Principia Mathematica. Das logische Argument zurückführt Gödel zur mathematischen Intuition, die die Entwicklung der Mathematik ständig neu definiert.

Von besonderem Interesse ist Gödels Methode, die zunächst Axiome in natürliche Zahlenketten übersetzt und dann arithmetisch beweist. Dies führt zur Definition rekursiver und schließlich allgemein rekursiver Funktionen, die einer universellen Turing-Maschine entsprechen. Die Arithmetisierung symbolischer Logik und die Automatisierung mathematischer Beweise durch Berechnung waren ein großer Fortschritt der modernen Wissenschaft.

Die Entwicklung der Rekursivität und ihre Umsetzung in der universellen Turing-Maschine in den 1930er Jahren führten zur Entstehung des Algorithmusbegriffs. Oft wird Algorithmus mit Rezepten verglichen, was zwar teilweise stimmt, aber nicht die volle Bedeutung moderner Algorithmen erklärt. Algorithmisches Denken ist eng mit Rekursion oder Reflexion verbunden. Eine rekursive Funktion ist einfach eine Funktion, die sich selbst aufruft, bis eine Abbruchbedingung erreicht ist. Douglas Hofstadter erläutert dies in „Gödel, Escher, Bach“ am Beispiel eines deutschen Professors, der einen Vortrag in einem langen Satz mit vielen Nebensätzen halten muss, aber am Ende alle Verben aussprechen muss, um jede Interaktion abzuschließen.

Ursprünglich verwendete Richard Dedekind rekursive Funktionen formal in seinem Aufsatz von 1888 „Was sind Zahlen und wozu dienen sie?“, um Operationen und natürliche Zahlen zu definieren. Dieses Motiv griff 1922 der Mathematiker Thoralf Skolem auf, der das logische System der Principia Mathematica von Russell und Whitehead rekonstruierte. Skolems Radikalität bestand darin, die von Russell verwendeten Existenzquantoren zu eliminieren und durch Funktionen zu ersetzen. Dieser Vorgang wird als Skolemisierung bezeichnet. Wörtlich bedeutet dies, dass die Frage nach Existenz entfällt, da sie letztlich auf eine mathematische Funktion zurückgeführt wird.

Gödels Beitrag bestand darin, rekursive Funktionen in seinem Aufsatz von 1931 „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ zu definieren und später, 1934, die allgemein-rekursiven Funktionen in „Über unentscheidbare Sätze formaler mathematischer Systeme“. In seinem 1931er Artikel arithmetisierte Gödel, im Gegensatz zur Formalisierung der symbolischen Logik, formale Systeme mithilfe von Zahlen (später bekannt als Gödelnummerierung), sodass Beziehungen zwischen verschiedenen Axiomen numerisch dargestellt werden konnten, wie in Tabelle 2.1 gezeigt: jedem Symbol, einschließlich Klammern, wird eine natürliche Zahl zugewiesen. Dadurch konnte Gödel Beweise von logischen Ableitungen in Berechnungen überführen, die aus rekursiven Funktionen bestehen.

In diesem Artikel definiert Gödel rekursive Funktionen wie folgt:

Eine theoretisch-zahlenmäßige Funktion 0 wird rekursiv genannt, wenn es eine endliche Folge von theoretisch-zahlenmäßigen Funktionen 01, 02, ..., 0n gibt, die mit 0 endet und die Eigenschaft besitzt, dass jede Funktion 0k in der Folge rekursiv aus zwei vorhergehenden Funktionen bestimmt wird, oder aus beliebigen vorhergehenden Funktionen durch Substitution berechnet wird, oder schließlich eine Konstante oder die Nachfolgerfunktion x+1 ist.

Vereinfacht lässt sich dies durch F(x) = k F(x-1) darstellen, wobei die Funktion auf sich selbst und auf das Ergebnis der vorhergehenden Funktion zurückgreift. Daraus ergibt sich die Verbindung zu Gödels Interesse an Günthers reflexiver Logik. 1943 führte Gödel in seinem Artikel „Über unentscheidbare Sätze formaler mathematischer Systeme“ die allgemein-rekursive Funktion ein. Durch die Korrespondenz mit dem französischen Logiker Jacques Herbrand erkannte Gödel, dass seine primitiven rekursiven Funktionen nicht alle berechenbaren Funktionen abdecken.

In Abschnitt 9 „Allgemein-rekursive Funktionen“ definiert Gödel rekursive Funktionen abstrakter: Wenn 0 eine unbekannte Funktion bezeichnet, ψ₁,..., ψk bekannte Funktionen sind, und ψ und 0 in allgemeinsten Ausdrücken austauschbar sind, sodass einige Paare der Endausdrücke gleichgesetzt werden, dann gilt: Hat die resultierende Menge funktionaler Gleichungen genau eine Lösung für 0, ist 0 eine rekursive Funktion.

Symbol	Zahl
0	1
N	2
=	3
~	4
V	5
&	6
→	7
Ξ	8
Π	9
Σ	10
ε	11
(	12
)	13

Dieses abstraktere zweite Definitionsschema enthält zwei Funktionen und hebt drei wesentliche Punkte der Rekursionstheorie hervor: (1) Alles, was durch rekursive Funktionen dargestellt werden kann, ist rekursiv aufzählbar, also berechenbar; (2) Die Definition beginnt mit einer einfachen Funktion und erreicht komplexe Strukturen, oft illustriert durch Emergenzphänomene; (3) Es beinhaltet das Unbekannte, um das Bekannte zu erzeugen – die Blackbox ist nicht vollständig bekannt, kann aber durch bekannte Funktionen ersetzt werden, deren rekursive Operation wahrscheinlich dasselbe Ergebnis liefert.

Ein Beispiel Gödels:

φ(x, 0) = ψ₁(x)
φ(0, y+1) = ψ₂(y)
φ(1, y+1) = ψ₃(y)
φ(x+2, y+1) = ψ₄(φ(x, y+2), φ(x, φ(x, y+2)))

Nach Turing (1936) und der Entwicklung der allgemein-rekursiven Definition durch Gödel in den Arbeiten von Stephen Kleene, insbesondere dem Fixpunkt-Theorem und der Normalformtheorie, stellte Church in seiner Rezension von Turings Artikel 1937 fest, dass die allgemein-rekursive Funktion von Herbrand–Gödel–Kleene äquivalent zur universellen Turing-Maschine und den lambda-definierbaren Funktionen ist. Nach Turing ist also das Berechenbare oder Entscheidbare stets rekursiv aufzählbar, auch wenn manche Informatiker lieber Begriffe wie Entscheidbarkeit oder Berechenbarkeit anstelle von Rekursion verwenden.

Eine rekursive Funktion erreicht ihr Ziel nicht unbedingt, wenn sie nicht terminiert; sie kann in einer Endlosschleife hängenbleiben, bis alle Ressourcen verbraucht sind, also bis der Speicher erschöpft ist oder die Maschine physisch überhitzt. Diese Unentscheidbarkeit ist genau das, was die universelle Turing-Maschine erkennen und vermeiden soll.

Ein Beispiel: Fibonacci-Zahlen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...), bei denen jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist. Für eine gegebene Zahl N sollen alle Zahlen von 1 bis N berechnet werden. Die rekursive Funktion ruft sich selbst auf, bis die Abbruchbedingung erreicht ist (N = 0 oder N = 1).

long fibonacci(long N) {
    if((N==0)||(N==1)) return number;
    else return fibonacci(N-1) + fibonacci(N-2);
}

Fibonacci-Zahlen inspirierten später Turings Arbeit „Chemische Grundlagen der Morphogenese“, in der er Morphogenese als rekursiven Prozess der Musterbildung versteht. Turings chemische Embryologie stützte sich auf Darwins Analysen biologischer Formen, um die Fibonacci-Zahlen in Tannenzapfen zu erklären. Der Turing-Algorithmus (Reaktions-Diffusions-Modell) zeigt, wie Muster und Formen generiert werden können, die das Leben organisieren.

Rekursion bedeutet hier, dass eine Funktion sich bei jeder Iteration selbst aufruft, bis eine Abbruchbedingung erreicht ist, sei es eine vordefinierte Zielgröße oder der Nachweis der Unberechenbarkeit. Rekursive Konzepte lassen sich über mathematische Beweise hinaus auf Systeme, Programme oder lebende Organismen anwenden, die rekursiv mit ihrer Umwelt interagieren. Die Umsetzung allgemein-rekursiven Denkens bildet die Grundlage dessen, was als algorithmisches Denken bezeichnet werden kann. Anders als bloße Automatisierung ist Rekursion die Grundlage für Selbstsetzung und Selbstverwirklichung des Algorithmus. Gödel unterscheidet sich hierbei von Hegel, da er das Absolute ablehnt und betont, dass „absolutes Wissen nicht existiert, alles funktioniert nur über Wahrscheinlichkeiten“. Reflexion wird jedoch als Mittel verstanden, zu einer höheren Logik vorzudringen. Die Implementierung von Rekursion in der Turing-Maschine markiert einen entscheidenden Fortschritt in der Technikgeschichte und etabliert neue Bedingungen für das Philosophieren – zwei Jahrhunderte nach Hegel und Schelling.