Geschichte der Philosophie

Frege und Russell

Frege über Funktion, Begriff und Gegenstand

Viele Sätze sagen etwas Wahres oder Falsches über die Welt aus. Was macht dies möglich? Vielleicht ist, wie Russell dachte, ein entscheidender Punkt, dass die Wörter des Satzes für Teile oder Merkmale der Welt stehen. Vielleicht steht in „London ist schön“ das Wort „London“ für London und „schön“ für Schönheit. Selbst wenn dies der richtige Anfang ist, kann es nicht das Ende der Geschichte sein, denn es wurde nichts gesagt, um den Satz von der bloßen Aufzählung „London, Schönheit“ zu unterscheiden: Die Wörter in der Aufzählung stehen ebenfalls für Teile oder Merkmale der Welt. Wie Russell es ausdrückte, scheint der Prozess der Analyse, das Aufzählen dessen, wofür die Teile eines Satzes stehen, die Einheit des Satzes aufzulösen: die Merkmale, die einen Satz, im Gegensatz zu einer bloßen Aufzählung, zu etwas machen, das die Welt als so und so darstellt, und zu etwas, das bejaht oder verneint werden kann.

Russell selbst lieferte nie eine detaillierte Lösung für dieses Problem. Einer der Eckpfeiler von Freges Ansatz, der in seinem Aufsatz „Function und Begriff“ detailliert dargelegt wurde, deutet jedoch einen Weg an, sich ihm zu nähern.

In der Standardnotation der Arithmetik sagt man, dass ein Ausdruck wie x hoch zwei für eine Funktion steht. Wenn wir x durch drei ersetzen, erhalten wir einen Ausdruck, der für neun steht. Die Funktion, für die x hoch zwei steht, liefert neun als ihren Wert, wenn drei ihr Argument ist; im Allgemeinen liefert diese Funktion als Wert das Quadrat des Arguments. Ein Ausdruck wie x hoch zwei gleich neun ist in mancher Hinsicht ähnlich, da er den unbestimmten Teil x enthält. Können wir einen solchen Ausdruck auch als für eine Funktion stehend betrachten? Wenn wir x durch drei ersetzen, erhalten wir einen Satz, der wahr ist; wenn wir es durch einen Ausdruck für eine andere positive Zahl ersetzen, erhalten wir einen Satz, der falsch ist. Frege schlug vor, dass dies zeigt, wie wir uns x hoch zwei gleich neun als für eine Funktion stehend vorstellen können: Es steht für eine Funktion, die den Wert wahr für das Argument drei liefert, und den Wert falsch für jede andere positive Zahl als Argument. Dies beinhaltet die Annahme, dass es abstrakte Objekte gibt, das Wahre und das Falsche, und die Gleichsetzung von wahr sein mit einer entsprechenden Beziehung zum Wahren und Ähnliches für das Falschsein.

Eine Funktion ist unvollständig. So wie ein Ausdruck für eine Funktion einen unbestimmten Teil, sagen wir x, enthält, der nach Vervollständigung durch einen bestimmten Ausdruck, sagen wir drei, verlangt, so spiegelt sich dieses Merkmal in der Natur der Funktion selbst wider. Sie benötigt einen Gegenstand als Argument, um einen Wert zu liefern.

Ein Begriff ist eine Funktion besonderer Art: eine, deren Wert für jedes Argument ein Wahrheitswert ist. Wenn ein Begriffswort durch Einsetzen eines Wortes für einen Gegenstand, den Frege einen Eigennamen nennt, in die leere Stelle vervollständigt wird, ist das Ergebnis ein Satz. Der durch „( ) ist schön“ ausgedrückte Begriff hat eine Unvollständigkeit, die die des Ausdrucks widerspiegelt: Es gibt einen unbestimmten Teil, hier markiert durch ( ). Wenn wir einen Eigennamen, sagen wir „London“, in die Lücke einfügen, ist das Ergebnis der Satz „London ist schön“. Obwohl er die prädikative Natur von Begriffen betonte, verwendete Frege diese Darstellung selbst nicht explizit, um das Problem der Einheit des Satzes anzugehen. Man kann jedoch in der Darstellung zumindest den Beginn einer Lösung sehen. Es ist eine Sache, eine Aufzählung zu entwerfen, die beispielsweise einen Gegenstand und einen Begriff auflistet; es ist etwas anderes, den Gegenstand in die Leerstelle einzufügen, die die Unvollständigkeit des Begriffs ausmacht. Frege hat somit Raum für den Unterschied, der Russell beschäftigte. Freges unmittelbare Anwendung der Analyse von Sätzen in Bezug auf Begriffe und Gegenstände bestand darin, seine Theorie der Allgemeinheit in Form von Quantor und Variable einzuführen. „Alle Menschen sind sterblich“ ist so zu verstehen, dass sie im Wesentlichen behauptet, dass der Wert der Funktion „wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich“ das Wahre ist, unabhängig davon, welcher Gegenstand als Argument dient. Seine Theorie der Quantifikation ist eine seiner größten Errungenschaften, und obwohl sie verfeinert und Alternativen entwickelt wurden, besteht keine Gefahr, dass sie verdrängt wird. Russell erstellte eine ähnliche Theorie. Er behauptete, dass er, obwohl er Freges Begriffsschrift in den 1890er Jahren gelesen hatte, sie nicht verstanden habe. Die im Vergleich zu Freges schlechte Qualität von Russells erster Präsentation untermauert seine Behauptung, die Theorie für sich selbst wiederentdeckt zu haben. Russells spätere Darstellungen der Theorie, obwohl so viel später als Freges Darstellung, wurden wahrscheinlich weiter verbreitet gelesen und waren einflussreicher.