Areas of Philosophy

Philosophie der Mathematik

Grundlegende Aufgaben für eine Philosophie der Mathematik

Seit der Zeit des antiken Griechenlands ist die Mathematik eng mit der Philosophie verbunden, sowohl als Modell des Wissens als auch als Objekt philosophischer Reflexion. Sind Zahlen real? Was ist ein Beweis? Ist die Mathematik sicherer als anderes Wissen? Können endliche Geister Wissen über das Unendliche haben? Wie kann die Mathematik auf die Welt angewendet werden? In diesem Kapitel werden sich ändernde philosophische Auffassungen von Mathematik, Veränderungen im historischen Kontext des mathematischen Denkens und Veränderungen in der Mathematik selbst im Verhältnis zu einer grundlegenden Frage untersucht: Wie kann theoretisches Denken über nicht-konkrete mathematische Objekte sowohl sicher als auch so nützlich sein? Platonische, Aristotelische und Kantische Ansätze zur Mathematik werden für sich betrachtet und um die Probleme und vorgeschlagenen Lösungen der wichtigsten modernen Schulen des Logizismus, Formalismus und Intuitionismus in einen Kontext zu stellen. Neuere Entwicklungen, die keine Grundlagen für die Mathematik suchen, werden ebenfalls berücksichtigt. Viele der Diskussionen großer historischer Persönlichkeiten in diesem Band, insbesondere FREGE UND RUSSELL, sind für das vorliegende Kapitel relevant. Die Leser werden auch die Kapitel über ERKENNTNISTHEORIE, METAPHYSIK, SPRACHPHILOSOPHIE, PHILOSOPHIE DER LOGIK und WISSENSCHAFTSPHILOSOPHIE konsultieren wollen.

Einführungen in die Philosophie der Mathematik beginnen oft dort, wo Körners 1960 einflussreiche Einführung begann, indem sie drei Positionen skizzieren: Logizismus, Formalismus und Intuitionismus. Dies waren die drei konkurrierenden Schulen, die aus den mathematischen Bestrebungen des neunzehnten Jahrhunderts hervorgingen, um rigorose Grundlagen für die mathematische Analysis, einschließlich der Infinitesimalrechnung, zu schaffen. Das Problem für die Philosophie der Mathematik bestand darin, dass 1 diese alle verfügbaren vernünftigen Positionen zu repräsentieren schienen und 2 angesichts von Gödels Unvollständigkeitssätzen und anderen Ergebnissen, die von Turing, Church, Skolem und Tarski in den 1930er Jahren bewiesen wurden, weder Logizismus noch Formalismus eine philosophisch tragfähige Position zu sein schienen. Der Intuitionismus war zwar philosophisch intakt, aber für die meisten Mathematiker inakzeptabel, da er die Verwerfung von Teilen der klassisch akzeptierten Mathematik beinhaltete. Diese offensichtliche Sackgasse erklärt teilweise den Rückgang des Interesses an der Philosophie der Mathematik seit der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts, als sie mit der Arbeit von Russell und Whitehead und den logischen Positivisten des Wiener Kreises zeitweise im Mittelpunkt zu stehen schien.

Hao Wang erklärt in seiner aufschlussreichen retrospektiven Analyse der Philosophie der Mathematik dieser Periode 1968 diese Entwicklung anhand der breiteren Bewegungen der analytischen Philosophie, die ursprünglich stark empiristisch waren und folglich eine Feindseligkeit gegenüber abstrakten Objekten erbten. Die Mathematik stellt eine bedeutende Herausforderung für den Empirismus dar, was durch die herausragende Stellung der Mathematik in Einsteins Relativitätstheorien und in der Entwicklung der Quantenmechanik schmerzlich deutlich wurde. Wie soll der Empirismus eine adäquate Erklärung für die Gewissheit, Klarheit, Universalität und Anwendbarkeit der Mathematik liefern? Wangs Antwort ist, dass die oben erwähnten Entwicklungen in der Logik und den Grundlagen der Mathematik zeigen, dass der analytische Empirismus dieser Herausforderung nicht gewachsen ist. Nur wenn die Philosophie im Allgemeinen beginnt, über den analytischen Empirismus hinauszugehen, können fruchtbarere Ansätze zur Philosophie der Mathematik erkundet werden.

Aber wie genau soll ein solcher Schritt gemacht werden? Da die drei foundationalen Schulen aus der Arbeit philosophisch gesinnter Mathematiker hervorgingen, die versuchten, hochentwickelte konzeptuelle Probleme zu lösen, die im Kontext der laufenden mathematischen Forschung entstanden waren, ist ein Großteil der Arbeit in den Grundlagen selbst technischer und mathematischer Natur. Es gibt keine scharfe Grenze, wo die Mathematik endet und die Philosophie beginnt. In der Tat war eines der auffälligsten Merkmale der Entwicklung der Mathematik im zwanzigsten Jahrhundert die Art und Weise, wie Versuche, philosophische und konzeptuelle Probleme zu lösen, neue Mathematik hervorbrachten. So kann aus der Perspektive des frühen einundzwanzigsten Jahrhunderts die Arbeit an den Grundlagen der Mathematik keineswegs ignoriert werden, aber sie muss möglicherweise neu bewertet werden. Was ist ihr Status? Was genau sagt sie uns über die zeitgenössische Mathematik? Diese Fragen müssen nun der philosophischen Agenda hinzugefügt werden. Eine der Möglichkeiten, über die Prämissen hinauszugehen, die von analytischen Empiristen in die Philosophie der Mathematik eingebaut wurden, besteht also darin, ihre Arbeit über Logik und Grundlagen neu zu kontextualisieren, in der Hoffnung, ihre Motivationen, Errungenschaften und Mängel zu verstehen. Ein erster Schritt ist es, unter Verwendung breiter Striche, die Hauptmerkmale in der Landschaft der westlichen philosophischen Reflexion über die Mathematik zu skizzieren, von denen viele bereits von den alten Griechen festgelegt wurden.

Das grundlegende Rätsel, von dem die Herausforderung an den Empirismus nur eine spezialisierte Variante ist, besteht darin, zu erklären, wie theoretisches Denken über hochgradig abstrakte Objekte so nützlich sein kann. Die Merkmale der Mathematik, die sie von anderen Disziplinen abzuheben schienen, sind, dass ihre Objekte nicht in der Welt der Sinneserfahrung angetroffen werden und dass dennoch, vielleicht als Folge davon, mathematische Behauptungen mit Beweisen versehen werden können, die sie mit einer Exaktheit und Gewissheit zu etablieren scheinen, die in anderen Wissenszweigen unübertroffen sind. Aber wie kommt es, dass Menschen, die von der Außenwelt abgeschottet sind und über Dinge nachdenken, rechnen und Theoreme beweisen, die wir nie sehen oder anfassen können (Zahlen wie 2, 1 Million, Pi ($\pi$) oder Strukturen wie Kreise, Ringe und Vektorräume), Ergebnisse hervorbringen, die andere, sehr praktische Menschen in ihrem Umgang sowohl mit der Alltagswelt als auch mit den esoterischen Welten der High-Tech-Wissenschaft so nützlich finden? Welches Recht haben wir, uns der Korrektheit dieser Ergebnisse so sicher zu sein?

Die unkomplizierte Antwort auf diese letzte Frage ist, dass Mathematiker in der Lage sind, Beweise für ihre Ergebnisse anzubieten. Zum Beispiel erkannten Geometer schon vor der Zeit des Aristoteles, dass Messungen der Innenwinkel von ebenen Dreiecken kein exaktes Ergebnis liefern, sondern Ergebnisse, die sich um zwei rechte Winkel häufen, und da das Messen keinen Einblick in den Grund für diese Häufung gibt, bietet es keine Gewissheit, dass eines Tages nicht doch ein „Ausreißer“-Dreieck gefunden werden könnte, dessen Innenwinkel eine merklich andere Summe hätten. Ein Beweis hingegen, der zeigt, warum, angesichts dessen, was es heißt, ein Dreieck zu sein, seine Innenwinkel sich zu zwei rechten Winkeln addieren müssen, versichert uns, dass kein Ausreißer-Dreieck existiert. Ein solcher Beweis ist nur möglich, wenn angenommen werden kann, dass alle beteiligten Linien vollkommen gerade sind und keine Dicke haben (was für die Linien in einem Diagramm nicht zutrifft). Linien, die eine Dicke haben, treffen sich nicht in Punkten, und wenn sie Windungen aufweisen, kann einer exakten Messung des Winkels zwischen ihnen kein Sinn gegeben werden. Um Innenwinkel zu haben, deren Summe genau gleich zwei rechten Winkeln ist, ist also nur für ein perfektes ebenes Dreieck möglich, dem wir in der Erfahrung nicht begegnen könnten. Der unten bewiesene Satz gilt mehr oder weniger exakt für jene Dreiecke, denen wir begegnen, in dem Maße, in dem sie mehr oder weniger vollkommen dreieckig sind.

Hier wird eine wichtige Annahme über die Anwendbarkeit von über Idealisierungen bewiesenen Ergebnissen getroffen: Ein über eine Idealisierung bewiesenes Ergebnis gilt für Situationen, die sich diesem Ideal annähern, in direktem Verhältnis zu der Nähe, mit der sie sich dem Ideal annähern. Diese Annahme hat traditionell die Anwendungen der Mathematik untermauert, aber mit neueren Arbeiten zur Chaostheorie wurde gezeigt, dass sie für Systeme, die eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen aufweisen, nicht gültig ist. Stewart 1989: Kapitel 7, 14. Diese Arbeit wirft neue Fragen über den Zusammenhang zwischen Beweisen und der Verwendung bewiesener Ergebnisse auf.

Aber woher wissen wir, dass ein angeblicher Beweis wirklich ein Beweis ist? Alle Beweise müssen von einigen Annahmen ausgehen (wir nahmen oben einige Eigenschaften paralleler Linien und der Addition von Winkeln an). Wie können wir sicher sein, dass diese korrekt sind? Wie können wir außerdem sicher sein, dass alle Schlussfolgerungen korrekt gezogen werden? Die Forderung nach einem Beweis für jede Annahme wird zu einem unendlichen Regress führen. Wenn es also überhaupt Beweise geben soll, muss es einige selbstverständliche Ausgangspunkte geben, von denen bekannt sein kann, dass sie notwendigerweise wahr sind und die weder einer weiteren Rechtfertigung fähig sind noch dieser bedürfen.

Das bedeutet, dass die Mathematik, wenn sie eine Disziplin ist, in der Beweise erforderlich sind, eine sein muss, die eine systematische hierarchische Ordnung aufweist. Einige Sätze über mathematische Entitäten erscheinen als erste Prinzipien, die ohne Beweis akzeptiert werden: Dies sind die Grundlagen, auf denen das nachfolgende Wissen aufgebaut werden muss. Grundlegende Theoreme werden aus ersten Prinzipien bewiesen: Diese Theoreme werden ihrerseits verwendet, um weitere Ergebnisse zu beweisen, und so weiter. Dies ist der Sinn, in dem ihre Disziplin notwendigerweise entlang von Linien organisiert sein muss, die dem Muster ähneln, das bereits in den Elementen der Geometrie von Euklid (aus der Zeit um 300 v. Chr.) zu finden ist – ein Werk, das jahrhundertelang als Vorbild diente –, solange Mathematiker Beweise verlangen und liefern.

Die Frage, welche Schlussprinzipien allgemein gültig sind (rational zwingend oder wahrheitsbewahrend), wird traditionell der LOGIK zugeordnet. Man könnte sich jedoch fragen, ob es nicht einige spezifisch mathematische Schlussprinzipien gibt. Nehmen Sie zum Beispiel Euklids Prinzip, dass wenn A gleich B und C gleich D, dann ist A plus C gleich B plus D. Ist dies ein logisches Prinzip, eine spezifische Anwendung der SUBSTITUTIVITÄT VON IDENTISCHEN? Ist es ein Grundprinzip der Theorie von Teil und Ganzem? Wenn ja, gehört dies zur Logik oder zur Mathematik? Oder ist es ein spezifisch mathematisches Prinzip, das extensive Größen regelt?

An dieser Stelle ist bereits ersichtlich, wie die Sorge um Prinzipien der gültigen deduktiven Schlussfolgerung und um die Natur und den Status erster Prinzipien zu einem natürlichen Bestandteil jeder Philosophie der Mathematik wird, die den Beweis als das ansieht, auf dessen Grundlage mathematische Sätze ihre Aura privilegierter Gewissheit oder notwendiger Wahrheit erlangen. Die Gleichsetzung der Philosophie der Mathematik mit Studien in Logik und Grundlagen würde jedoch die eine Hälfte der Kombination von Merkmalen zu ignorieren scheinen, die die Mathematik philosophisch so rätselhaft und faszinierend machen. Sie lässt Fragen bezüglich der Nützlichkeit der Mathematik außer Acht.

Bisher haben wir das folgende Frageschema, das die Problematik philosophischer Reflexionen über die Mathematik strukturiert:

Grundproblem

Wie kann theoretisches Denken über nicht-konkrete mathematische Objekte sowohl so sicher als auch so nützlich sein?

Wenn die Frage der Sicherheit als durch die Tatsache beantwortet angenommen wird, dass theoretisches Denken Beweise für mathematische Sätze hervorbringt, dann müssen wir zwischen ersten Prinzipien und daraus bewiesenen Ergebnissen unterscheiden, um etwas wie die folgenden untergeordneten Probleme zu erhalten:

1 Was ist die Natur und der Status der ersten Prinzipien der Mathematik?

1.1 Können ihre ersten Prinzipien identifiziert werden?

1.2 Wie können diese ersten Prinzipien mit Gewissheit bekannt sein?

2 Wie wird mathematisches Wissen erworben?

2.1 Entdeckung: Wie werden Entdeckungen gemacht? Wie werden Ergebnisse etabliert oder Beweise gefunden?

2.2 Rechtfertigung: Was konstituiert einen Beweis? Welche Schlussprinzipien stehen zur Verfügung? Was ist ihre Natur und welchen Grund haben wir anzunehmen, dass sie zuverlässig sind?

3 Angesichts der Antworten unter 1 und 2, wie ist die Anwendbarkeit bewiesener mathematischer Ergebnisse zu erklären? Versichern uns die Antworten unter 1 und 2, dass wir ein Recht haben, mathematische Ergebnisse mit Anwendungen zu erwarten, und dass etablierte Ergebnisse in ihrer Anwendung zuverlässig sein werden?