Areas of Philosophy

Philosophie der Mathematik

Grundlagen

Logik, Mengenlehre und analytischer Empirismus

Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts führten Entwicklungen innerhalb der Mathematik und Physik zusammen mit breiteren sozio-kulturellen Veränderungen dazu, dass die Kantische Position nicht länger als adäquat angesehen werden konnte. In der Mathematik zeigte die Entdeckung pathologischer Funktionen – Funktionen wie Weierstrass' überall stetiger, aber nirgends differenzierbarer Funktion f(x) gleich der unendlichen Summe von b hoch n mal dem Kosinus von a hoch n mal Pi mal x – deutlich, dass die geometrische Anschauung keine angemessene Grundlage für die Erstellung zuverlässiger Mathematik war. Es wurde das Gefühl geäußert, dass die Theorie der reellen Zahlen auf eine rein numerische, arithmetische Grundlage gestellt werden müsse, eine, die zu keinem Zeitpunkt an die räumliche Anschauung appellierte.

Als Teil der Versuche, dies zu tun und die Ordnungsstruktur zu charakterisieren, die für die reellen Zahlen erforderlich ist, führte Cantor 1845–1918 transfinite Ordinalzahlen ein und führte dann, nachdem er bewiesen hatte, dass es keine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen geben kann, unterschiedliche unendliche Kardinalzahlen ein. Das heißt, er nahm nicht nur an, dass es eine Mathematik des tatsächlich Unendlichen geben könnte, sondern entwickelte, nachdem er argumentiert hatte, dass es notwendig sei, verschiedene Größen unendlicher Gesamtheiten zu unterscheiden, auch eine Arithmetik der unendlichen Zahlen. Streitigkeiten über die Legitimität der vorgeschlagenen Einführung dieser transfiniten Zahlen, zusätzlich zu denen über die Einführung von Gauß' 1777–1855 imaginären Zahlen und Hamiltons 1805–65 Quaternionen, machten die Klärung des Zahlbegriffs und der Gründe, auf denen man berechtigterweise die Einführung einer neuen Art von Zahl beanspruchen konnte, zu einem dringenden Problem.

Einstein und die Natur des mathematischen Wissens

Am schädlichsten für die Kantische Position war vielleicht die Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien und die Anwendung dieser in Einsteins Relativitätstheorien. In gewisser Weise war Einsteins Vorgehen durch und durch Kantisch. Er argumentierte von den kausalen Strukturen, die durch die Form der in der Elektromagnetik verwendeten Gesetze angezeigt wurden, hin zu der Form, die für die der Mechanik erforderlich war, unter der Annahme, dass grundlegende physikalische Theorien denselben Raum-Zeit-Formen entsprechen sollten, und las daraus die Implikationen für die Geometrie der Raum-Zeit ab. Dies bedeutete jedoch, dass nicht länger plausibel argumentiert werden konnte, dass die Geometrie Apriori-Wissen über die Raum-Zeit-Struktur der materiellen Welt liefert. Der Nettoeffekt von Einsteins Verwendung der nicht-euklidischen Geometrie in einer physikalischen Theorie bestand darin, die Ansicht zu entkräften, dass die Mathematik eine Quelle von Apriori-Wissen über die empirische Welt ist. Die Euklidische Geometrie enthielt nicht und hatte niemals Wahrheiten über den physikalischen Raum enthalten, deren Korrektheit in der Anwendung durch ihre Beweise garantiert war. Dies schien empiristische Behauptungen zu bestätigen, dass synthetisches Apriori-Wissen unmöglich ist. Wenn die Mathematik Teil empirischer, wissenschaftlicher Theorien ist, dann muss die Korrektheit oder Nichtkorrektheit ihrer Ergebnisse ebenso eine empirische Frage sein wie die Korrektheit oder Nichtkorrektheit einer wissenschaftlichen Theorie. Aber wenn Beweise nicht dazu dienen, Anwendungen zu rechtfertigen, was beweisen sie dann? Mit anderen Worten, was genau ist der Charakter und Inhalt des mathematischen Wissens? Wenn Beweise keine Behauptungen über die Welt der Erfahrung aufstellen, scheinen uns die Optionen entweder einer Rückkehr zu einer Form des Platonischen Realismus oder einer Arbeit an einer Ansicht zu bleiben, die die Bedeutung der Mathematik in ihrer Funktion lokalisiert und sie nicht als Aufstellung von Wissensansprüchen ansieht.

Der Sturz des Newton'schen Rahmens der klassischen Mechanik war die kombinierte Wirkung der Akzeptanz der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Auch hier bestand eine seiner philosophischen Auswirkungen darin, dem Empirismus Auftrieb zu geben, insbesondere weil die Quantenmechanik aufgrund ihres empirischen Erfolgs akzeptiert wurde, trotz konzeptueller Probleme bei der Interpretation ihres mathematischen Formalismus und konzeptueller Resistenz gegen ihren Indeterminismus. Nun würde aus empiristischer Sicht eine Rückkehr zu einer Form des Platonischen Realismus über die Mathematik als ein hoffnungsloses Unterfangen erscheinen. Doch ironischerweise beinhaltet der logizistische Weg zu einer empiristischen Darstellung der Mathematik, verfolgt von Russell 1919 und Whitehead und Russell 1913, eine verlagerte Form der Platonisch-realistischen Strategie. Zwei Schritte sind hier entscheidend: 1 die Berufung auf eine IDEALE LOGISCHE SPRACHE für die Wissenschaft und 2 die Verwendung von Klassen oder Mengen, um Zahlen in Bezug auf ihre potenziellen Anwendungen zu definieren.

Beide Schritte waren bereits von FREGE 1884, 1893 vollzogen worden, der keine Bindung an eine empiristische Erkenntnistheorie hatte. Frege ging es darum, eine philosophische Verteidigung der Ansprüche der Mathematik zu liefern, ein Bestand objektiven Wissens zu sein. Er reagierte einerseits gegen das, was er als den naturalistischen Psychologismus Kantischer und anderer Positionen ansah, die Wissen als eine Sache des Inbeziehungsetzens von Ideen behandeln, und andererseits reagierte er gegen konventionalistische Behauptungen, dass Mathematiker frei seien, neue Zahlensysteme zu schaffen, da diese nicht mehr als formale Symbolsysteme seien.

Freges Realismus

Frege appellierte an die Metapher der geografischen Erforschung, als er seinen Anspruch verteidigte, dass die Mathematik ein Bestand objektiven Wissens sei, und er widersetzte sich vehement der Annahme, dass Mathematiker das Recht hätten, neue mathematische Objekte oder Konzepte zu schaffen. Seine Konzeption des objektiven Wissens ist somit stark realistisch. Solches Wissen ist das einer unabhängig existierenden Realität. Es wird in Sprache ausgedrückt, die dazu dient, diesen Bereich darzustellen, indem Sätze verwendet werden, die entweder wahr oder falsch darüber aussagen, wie die Dinge sind. Ob solche Sätze wahr oder falsch sind, hängt vom Zustand des bezeichneten Bereichs ab, und das Ergebnis ist unabhängig vom Zustand des menschlichen Wissens und der menschlichen kognitiven Kapazitäten. Was gesagt wird, kann daher keine Funktion von Ideen in den Köpfen einzelner Sprachsprecher sein. Die Bedeutungen von Wörtern müssen öffentlich in ihrer linguistischen Funktion begründet sein, die sich auf den Beitrag bezieht, den sie zur Festlegung der Wahrheitsbedingungen von Sätzen leisten, in denen sie vorkommen. Aus der Sicht der Wissensdarstellung ist der Satz die primäre Bedeutungseinheit. Diese Ansichten über Sprache und Bedeutung verlagern den Fokus der philosophischen Aufmerksamkeit weg von Ideen und Denkprozessen hin zur Sprache und ihrer Funktion bei der Kommunikation und Darstellung von Wissen; sie bilden das, was als der 'linguistische Turn' bezeichnet wurde, der charakteristisch für die analytische Philosophie ist. Diese Wende machte eine weitgehend Platonisch-realistische Strategie verfügbar, denn Sprache wird hier nicht als irgendeine tatsächlich existierende natürliche Sprache konzipiert, sondern als ein ideales Vehikel für die Darstellung objektiven Wissens, dem sich alle natürlichen Sprachen annähern müssen, in dem Maße, in dem es ihnen gelingt, Wissensdarstellung zu ermöglichen. Die ideale logische Sprache wird zum nicht-natürlichen Vermittler, der menschliche Wesen mit den Strukturen der Realität verbindet. Sie übernimmt einige der Rollen des Geistes Gottes. Wir können die strukturellen Prinzipien kennenlernen, die die getreue Repräsentation in dieser Sprache regieren, weil wir Sprachsprecher sind und über die Bedingungen der Möglichkeit nachdenken können, dass Sprache auf diese Weise funktioniert – ein Gedanke, der seinen klassischen Ausdruck in Wittgensteins Tractatus Logico-Philosophicus 1922 fand. Die Logik ist eine explizite Kodifizierung der Prinzipien der Sprache in ihrer repräsentativen, Wissens darstellenden Funktion. Ihre Gesetze sind nicht der Struktur des menschlichen Intellekts inhärent; sie sind Gesetze der Wahrheit, nicht Gesetze des Denkens. Die Strukturen einer solchen idealen Sprache, die in der Lage ist, die Realität genau darzustellen, müssen daher auch Spiegelungen der Struktur der Realität sein.

Warum sollte man annehmen, dass die Mathematik, das Studium der Größen, auf die Logik reduziert werden kann, das Studium der Struktur und Beziehungen von Sätzen in ihrer Wissens darstellenden Funktion? Die Verbindung hier ist der Begriff einer 'Klasse' oder 'Menge'. Die Theorie der Klassen, der Erweiterungen von Begriffen, war traditionell ein Teil der Logik, weil die Aristotelische Syllogistik bei einer Interpretation als eine Logik der Klassen und ihrer Beziehungen behandelt werden kann. Walfische sind Säugetiere wird so behandelt, dass die Klasse der Walfische in der der Säugetiere enthalten ist. Die natürlichen Zahlen können als Maße der Größen von Mengen oder Klassen behandelt werden, so dass zum Beispiel die Zahl 2 das Maß aller zweigliedrigen Mengen sein kann. Es kann gezeigt werden, dass negative Zahlen und rationale Zahlen als Mengen oder geordnete Paare natürlicher Zahlen definiert werden können. Dedekind 1831–1916 schlug eine Definition reeller Zahlen als unendliche Mengen oder Schnitte rationaler Zahlen vor. Dedekind 1963. Dies legte nahe, dass 'Menge' oder 'Klasse' der einzelne primitive Begriff sein könnte, aus dem alle anderen mathematischen Konzepte definiert werden könnten, wenn Geometrie und Analysis selbst entweder auf Arithmetik oder auf das Studium von Punktmengen reduziert werden könnten.

Cantor 1895 und andere stützten ihre Definitionen der Zahl auf eine Konzeption, die bereits bei Platon zu finden ist. Die Zahl 2 zum Beispiel besteht aus zwei abstrakten Einheiten; sie ist der ideale Typ, das Eine über Vielen, dem alle Paare entsprechen. Cantor schlug vor, dass Zahlen durch einen psychologischen Prozess der Abstraktion von Sammlungen wie zwei Bleistiften auf einem Schreibtisch gewonnen werden. Wir müssen uns vorstellen, alle unterscheidenden Qualitäten der Bleistifte und ihres Standorts abzuziehen. Wenn wir von allem außer ihrer Ordnung (der Reihenfolge, in der wir zählen) abstrahieren, erhalten wir eine Ordinalzahl (einen Ordnungstyp), und wenn wir sogar dies abstrahieren, erhalten wir eine Kardinalzahl (einen Kardinalitätstyp). Mit anderen Worten, das Platonische Universale wird zu einer Idee in einem individuellen Geist. Aber Frege schloss solche psychologistischen Darstellungen aus. Stattdessen übernahm er eine Definition, die 2, das Eine über allen Paaren, einfach zur Klasse aller Paare macht. Was dies vor Zirkularität rettet, ist, dass er definiert, was es heißt, eine zweigliedrige Klasse zu sein, ohne jeglichen Bezug auf die Zahl 2 zu verwenden. Eine Klasse ist per Definition genau dann eine zweigliedrige Klasse, wenn es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihr und der Klasse gibt, deren einzige Elemente 0 und 1 sind. Zu sagen, dass sich zwei Bleistifte auf meinem Schreibtisch befinden, bedeutet also zu sagen, dass die Klasse der Bleistifte auf meinem Schreibtisch so beschaffen ist, dass es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihr und der Menge, deren Elemente 0 und 1 sind, gibt. Wenn ich also einen Bleistift auf meinem Schreibtisch finden und ihn mit 0 paaren kann und einen weiteren und ihn mit 1 paaren kann und keine übrig bleiben, weiß ich, dass die Behauptung wahr ist; andernfalls ist sie falsch. Natürlich müssen 0 und 1 selbst definiert werden. 0 wird als die Klasse von Klassen C definiert, so dass es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen C und der Erweiterung des Konzepts x ist nicht x gibt. 1 ist dann die Klasse jener Klassen C, so dass es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen C und der Klasse gibt, deren einziges Element 0 ist.

Auf diese Weise ist die Zahl 2 durch Definition mit ihren potenziellen Anwendungen verbunden. Aber um die Behauptung zu rechtfertigen, dass alle arithmetischen Wahrheiten nur durch Berufung auf Definitionen und formal ausgedrückte logische Gesetze bewiesen werden können, müssen die oben gegebenen Definitionen in der Sprache der formalen Logik ausgedrückt werden und dürfen nur Konzepte verwenden, die zur Logik gehören. Ferner muss gezeigt werden, dass alle normalerweise akzeptierten arithmetischen Prinzipien logisch aus diesen Definitionen abgeleitet werden können.

Zwei Dinge waren für dieses Projekt entscheidend: erstens die Behandlung von 'gleich' als einer primitiven logischen Beziehung und zweitens die Annahme, als ein Prinzip der Logik, dass jeder über einzelne Objekte definierte Begriff eine Klasse als seine Erweiterung hat. Es war auch notwendig, in logischen Begriffen auszudrücken, was es für eine Beziehung ist, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen zwei Klassen zu sein. Diese Idee kann wie folgt definiert werden – 'R ist genau dann eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen A und B, wenn für jedes x in A genau ein y in B existiert, so dass x R-bezogen zu y ist, und für jedes y in B genau ein x in A existiert, so dass x R-bezogen zu y ist'. Dies als eine logische Bedingung auszudrücken, erfordert eine Logik der Beziehungen, die in der Lage ist, mehrfache Quantifizierung in einem einzigen Satz zu behandeln und in der es möglich ist, das numerische Konzept 'es gibt genau ein' auszudrücken. Nichts davon war in der traditionellen Logik verfügbar. Die Konzentration auf den Satz als Einheit der Bedeutung ermöglichte es Frege jedoch, Begriffsausdrücke und Beziehungsbegriffe (Prädikate) in Analogie zu mathematischen Funktionen einer, zwei oder mehr Variablen als satzbildende Operatoren zu behandeln. Es war innerhalb dieses erweiterten logischen Rahmens, dass Frege behauptete, dass die Arithmetik auf die Logik reduziert wird. Was zuvor ein großer Stolperstein für eine solche Behauptung gewesen war – der relationale Charakter der arithmetischen Argumentation – wurde durch die Integration einer Logik der Beziehungen mit der Logik der Begriffe überwunden.

Diese brillante Strategie scheiterte jedoch infolge von Russells Paradoxon, das zeigte, dass Freges System der 'Logik' inkonsistent ist. Das Paradoxon entstand, weil es in diesem System möglich ist, das Konzept 'ist eine Klasse, die nicht zu sich selbst gehört' auszudrücken. Da Klassen für Frege einzelne Objekte sind und angenommen wird, dass jeder über einzelne Objekte definierte Begriff eine Klasse als seine Erweiterung hat, muss auch dieser Begriff eine Klasse definieren – nennen wir sie R. Gehört R zu sich selbst? Wenn ja, dann muss es eine Klasse sein, die nicht zu sich selbst gehört; eindeutig ein Widerspruch. Aber wenn es nicht zu sich selbst gehört, dann ist es eine Klasse, die nicht zu sich selbst gehört und daher zu R (sich selbst) gehört.

RUSSELL war jedoch von Freges Strategie angezogen. Wenn es möglich wäre zu zeigen, dass sich die gesamte Mathematik auf die Logik reduziert, würde dies das Argument für die empiristische Verneinung jeder Autonomie des begrifflichen Wissens erheblich stärken. Russell war ein empirischer Realist: Mit anderen Worten, er nahm an, dass es eine Welt gibt, die unabhängig von unserer Erfahrung existiert; es ist eine Welt atomarer Ereignisse oder 'Sinnesdaten'. Die Reihenfolge des Auftretens solcher Ereignisse ist somit völlig kontingent. Objektives Wissen über diese Welt, wie es die Naturwissenschaft versucht, nimmt die Form einer Beschreibung globaler, struktureller Merkmale der Gesamtheit von Ereignissen an, die das Universum ausmacht. Es nimmt die Form von Wissen über Beziehungen zwischen Sinnesdaten an; wahrgenommene Qualitäten, da sie nur subjektiv bekannt sein können, müssen aus dem wissenschaftlichen Bild herausfallen. So werden einfache, atomare Sätze alle feststellen, dass eine bestimmte Beziehung zwischen zwei oder mehr Sinnesdaten besteht.

Da die Reihenfolge der Ereignisse kontingent ist, können wir tatsächlich niemals in der Lage sein, die Wahrheit einer globalen Beschreibung zu kennen. Ihre Wahrheitsbedingungen sind so, dass nur ein unendliches Wesen, das das gesamte Raum-Zeit-Universum in einer einzigen Intuition erfasst, seine Wahrheit direkt überprüfen könnte. Die Form, die eine direkte Beschreibung einer solchen Welt annehmen würde, wäre eine Liste aller wahren atomaren Sätze der idealen logischen Sprache der Wissenschaft. Wenn die Verwendung der Mathematik in der Wissenschaft zu objektiv wahren deskriptiven Aussagen über diese Welt führen soll, sollte jede Beschreibung, die mithilfe mathematischer Begriffe gegeben wird, eine Abkürzung sein, die ohne Rest auf einen beliebig komplexen Satz reduziert werden kann, der aus atomaren Sätzen so aufgebaut ist, dass der Wahrheitswert des Komplexen durch den seiner atomaren Komponenten bestimmt wird, möglicherweise unendlich. Mit anderen Worten, der Komplex wird unter Verwendung von Wahrheitsfunktionen, möglicherweise unendlichen, konstruiert. Somit sollten die Definitionen aller komplexen mathematischen Begriffe angeben, wie im Prinzip eine solche Eliminierung bewirkt werden könnte. Solche Abkürzungen werden nur wegen der begrenzten Kapazität endlicher menschlicher Geister verwendet. Mathematische Wahrheiten sind jene, die logisch aus einer Entfaltung der Definitionen mathematischer Konzepte abgeleitet werden können. Sie sagen nichts über die Welt aus, aber sie helfen uns, logisch korrekte Schritte in der Kurzsprache zu vollziehen, die wir zu ihrer Beschreibung entwickelt haben.

Wie schlug Russell vor, das Problem zu vermeiden, in das Frege geraten war? Seine endgültige Lösung ist die sogenannte Theorie ohne Klassen, die seine 'verzweigte Typentheorie' beinhaltet. Hier gibt es zwei Schlüsselideen: 1 Klassen sind logische Fiktionen, sie sind keine realen einzelnen Objekte; 2 aus diesem Grund muss die Sprache, die diese Fiktionen beinhaltet, eine hierarchische Struktur aufweisen. Auf der Basisebene haben wir die empirische Welt der Individuen. Begriffe werden über diese definiert, und der Einfachheit halber führen wir Namen von Klassen als eine Kurzschrift ein, um über all die Dinge zu sprechen, auf die sich ein gegebener Begriff bezieht. Diese 'Klassen' können eindeutig nicht als zur ursprünglichen Ebene gehörend behandelt werden, aber sobald sie eingeführt wurden, ist es möglich, neue Begriffe unter Verwendung von ihnen zu definieren und weitere Klassen auf einer noch höheren Ebene einzuführen. Dies hat zur Folge, dass die Möglichkeit ausgeschlossen wird, dass eine Klasse zu sich selbst gehören sollte, und auch die Möglichkeit, den Begriff 'ist eine Klasse' zu definieren; es ist nur möglich, 'ist eine Klasse der Ebene n' zu definieren. Russell gab jedoch zu, dass es keine Hoffnung gab, die Mathematik innerhalb dieses Rahmens ohne zwei wesentliche Annahmen zu entwickeln: das Axiom des Unendlichen und das Axiom der Reduzierbarkeit.

Das Axiom des Unendlichen besagt, dass es unendlich viele Individuen im Universum gibt. Dies ist notwendig, weil Russell Freges Definitionen der natürlichen Zahlen nicht ganz in ihrer ursprünglichen Form verwenden konnte. Die Grundidee ist immer noch dieselbe – 2 soll die Klasse aller zweigliedrigen Klassen von Individuen sein – aber es ist eine andere Definition dafür erforderlich, was es heißt, eine zweigliedrige Klasse zu sein, nämlich eine, die sich nicht auf 0 und 1 bezieht. Die Lösung bestand darin, eine zweigliedrige Klasse als die Erweiterung eines jeden Konzepts F zu definieren, für das Folgendes wahr ist: 'es gibt verschiedene Objekte x und y, die F erfüllen, und jedes Objekt, das F erfüllt, ist entweder mit x oder mit y identisch'. Dies bedeutet jedoch, dass in einem Universum, das nur ein Objekt enthält, 2 die leere Klasse wäre, und ebenso 3 und jede größere Zahl. Um also sicherzustellen, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, muss angenommen werden, dass es ein unendliches Universum gibt. Dies veranschaulicht die Unmöglichkeit, Objekte gleichzeitig auf diejenigen zu beschränken, die tatsächlich in der empirischen Welt existieren, darauf zu bestehen, dass mathematische Begriffe so definiert werden, dass alle ihre legitimen Anwendungen im Voraus eingebaut werden, und zu behaupten, dass die Mathematik kein Wissen über diese tatsächliche Welt verkörpert oder keine substanziellen Behauptungen über sie aufstellt.

Das Axiom der Reduzierbarkeit ist erforderlich, um reelle Zahlen als unendliche Klassen rationaler Zahlen definieren zu können. Grundsätzlich behauptet es, dass alle möglichen Arten der Gruppierung von Individuen in 'Klassen' bereits unter Verwendung von Begriffen verfügbar sind, die auf der ersten Ebene der Hierarchie definierbar sind; das heißt, die Einführung komplexerer Begriffe, deren Definitionen auf bereits definierte Begriffe und Klassen Bezug nehmen, ermöglicht tatsächlich keine neuen Unterscheidungen; sie erweitert unser Vokabular zur Beschreibung der Struktur der Welt nicht wirklich. Diese Annahme ist jedoch gleichbedeutend mit der Behauptung, die die Reduktion der Mathematik auf die Logik eigentlich etablieren sollte – der Verneinung, dass Begriffe zum Inhalt dessen beitragen, was wir über die empirische Welt aussagen.

Bostock 1974, 1979, Field 1980, Chihara 1990 und Wright 1983 haben interessante Versuche unternommen, logizistischen Wegen zu folgen, die sich etwas von Russells unterscheiden. Aber in jedem Fall, wie in dem von Russell, stellt sich die Frage, was genau in den Umfang der Logik fällt. Eine überzeugende Behauptung, die Mathematik auf die Logik reduziert zu haben, würde eine klare Möglichkeit erfordern, zwischen dem, was Logik ist und was nicht, zu unterscheiden, und philosophisch gut begründete Motivationen, die Unterscheidung genau dort zu treffen, wo man es tut. Eine Möglichkeit, diese Unterscheidung zu treffen, findet sich in Quines Arbeit. Aus Sicht des Empirismus sollte die Logik keine Ontologie abstrakter Objekte einführen. Daher beschränkt Quine 1970 die Logik auf den Prädikatenkalkül erster Stufe – die einzigen Objekte, über die gesprochen wird, sind einzelne Objekte. Modallogik und Logik höherer Stufe werden abgewertet, aber wenn die Mathematik überhaupt auf die Logik reduzierbar ist, scheint zumindest irgendeine Form einer oder beider dieser Arten von Logik erforderlich zu sein. Die Alternative, die von Mathematikern und von Quine 1963 gewählt wird, ist zu sagen, dass sich die Mathematik nicht auf die Logik reduziert, sondern auf die axiomatische Mengenlehre reduziert werden kann. Philosophische Fragen über den Status der Mathematik werden dann zu Fragen über den Status der Mengenlehre, da dies die Grundlage ist, auf der alles andere aufgebaut werden kann. Analytische Empiristen neigten dazu, diesen Fokus auf die Grundlagen, bei denen alles auf Logik und Mengenlehre beruht, zunehmend fraglos zu akzeptieren. Auch hier stehen die Optionen des Platonischen Realismus oder einer Form des Konzeptualismus zur Verfügung. Es gibt diejenigen, die den Platonischen Realismus verteidigen, siehe Brown 1991; Maddy 1990, indem sie die Ansicht vertreten, dass die beste Erklärung für die erfolgreiche Anwendung der Mathematik darin besteht, dass sie Wissen über Prinzipien ausdrückt, die der Struktur der Realität zugrunde liegen. Dies dreht das Grundproblem geschickt um, lässt jedoch die Frage nach der Gültigkeit dieser Art der Schlussfolgerung offen. Welche anderen Erklärungen für den Erfolg in der Anwendung gibt es? Wie sollen wir zwischen konkurrierenden Erklärungen entscheiden?

Es gibt eine konkurrierende erklärende Strategie, die von Quines 1969 NATURALISIERTER ERKENNTNISTHEORIE angeboten wird. Obwohl Darwins Darstellung der Abstammung des Menschen die Vorstellung unplausibel gemacht hat, dass Gott den Menschen mit einem Intellekt geschaffen hat, der angeboren ausgestattet ist, um die mathematischen Prinzipien zu erkennen, nach denen er das Universum geschaffen hat, kann sie verwendet werden, um die Nützlichkeit unserer angeborenen Kapazitäten zu untermauern. Unsere angeborenen Kapazitäten sind ein Produkt der Evolution, das heißt, teils eine Sache des Zufalls, zufällige genetische Variation, und teils eine Sache der natürlichen Selektion, die jene Variationen begünstigt, die sich bisher als adaptiver Wert erwiesen haben. So empfinden wir bestimmte Dinge als selbstverständlich, weil sich diese Dinge in der Vergangenheit als nützlich erwiesen haben; sie haben einen überlegenen Überlebenswert verliehen. Der adaptive Wert ist jedoch relativ zur umgebenden Erfahrung. Wir können keine Garantie dafür haben, dass die Erfahrung in Zukunft keine Änderungen in mathematischen Theorien erfordern wird, ebenso wie sie Änderungen in physikalischen Theorien erfordern kann. Mathematische Theorien unterscheiden sich in ihrer Art nicht von anderen wissenschaftlichen Theorien; sie sind nur allgemeiner und daher widerstandsfähiger gegen Veränderungen, weil ihre Änderung umfassende Revisionen in so vielen anderen Bereichen bedeutet. Quine erkennt dies an und nimmt eine instrumentalistische Haltung gegenüber der Mathematik ein, wodurch sie die Existenz abstrakter Objekte postuliert und sie als reale Existierende postuliert, dies aber als Teil der Mythologie angesehen wird, die wir zur Bewältigung der physischen Welt entwickelt haben. Wir sind realistisch in Bezug auf solche Dinge, aber es ist, um einen von Putnam geprägten Begriff zu verwenden, ein 'interner Realismus', bei dem wir keine Rechtfertigung erhalten können, die entweder die ultimative Wahrheit oder die dauerhafte Nützlichkeit garantiert.

Intuitionismus, Formalismus und offene Fragen

Was logizistische und mengentheoretisch-fundamentalistische Ansätze zur Mathematik maßgeblich ignorieren, ist die Frage, wie menschliche Wesen mathematisches Wissen tatsächlich erwerben und nutzen. Sie konzentrieren sich auf Fragen der Rechtfertigung und verlagern das Studium der Methoden der Entdeckung in die Psychologie. Wittgenstein und in jüngerer Zeit Dummett, zusammen mit formalistischen und intuitionistischen Kritikern des Logizismus, wiesen darauf hin, dass die vorgeschlagene logizistische Reduktion, selbst wenn sie erfolgreich wäre, zentrale Fragen über die epistemologischen Grundlagen der Mathematik unbeantwortet lässt. Dies liegt daran, dass man, um zu überprüfen, ob eine vollständige logische Analyse von beispielsweise 'es gibt zwei Dinge, die F sind' korrekt ist, die Vorkommen von Variablen zählen muss. Mit anderen Worten, ein Verständnis arithmetischer Konzepte wird vorausgesetzt, um eine formale logische Sprache lesen und ihre Definitionen von Zahlen verstehen zu können. Die Analyse kann nicht aufzeigen, wie wir ein Verständnis numerischer Konzepte erwerben und kann daher nicht erklären, wie es uns gelingen könnte, unser Verständnis endlicher, natürlicher Zahlen auf ein Verständnis von Begriffen auszudehnen, die vorgeben, sich auf unendliche Mengen, unendliche Reihen oder transfinite Zahlen zu beziehen. Diese Kritiker gehen davon aus, dass eine der Aufgaben einer Philosophie der Mathematik darin besteht, zu erklären, mit welchem Recht menschliche Wesen mit endlichen Kapazitäten Symbole einführen und behaupten können, diese zu verstehen, die vorgeben, das Unendliche darzustellen – Symbole, deren Verwendung dazu gedacht war, ein Wissen um unendliche Strukturen zu erleichtern.

In verschiedenen Formen betrifft ihre Sorge also die Art und Weise oder das Ausmaß, in dem ein Verständnis des Unendlichen in der Erfassung des Endlichen begründet werden kann. Brouwers 1881–1966 Intuitionismus war bewusst Kantisch inspiriert. Brouwer 1975. Er gründet die Arithmetik der natürlichen Zahlen in der reinen Form der zeitlichen Anschauung: der bloßen Zweiheit-als-Einheit, die eine Vorbedingung dafür ist, überhaupt etwas als Mannigfaltigkeit (eine Einheit mit innerer Komplexität) erfassen zu können, und somit jeglichen Wissens. Dies wird genutzt, um eine Grundlage für die Analysis zu schaffen, mittels einer Theorie des schöpferischen Subjekts. Brouwer folgte Kant in der Vermeidung der Verwendung des tatsächlich Unendlichen. Er lehnte daher mengentheoretische Ansätze zur Definition der reellen Zahlen ab. Potenziell unendliche Sequenzen, deren Paradigma die Sequenz der natürlichen Zahlen ist, können Objekte des Wissens sein, aber sie können nicht so behandelt werden, als wären sie vollständig determiniert. Eine solche Sequenz kann nur durch das Prinzip bekannt sein, das sie generiert, das Prinzip, das uns versichert, dass sie unendlich ist. Dies kann, für eine gesetzlose Sequenz, einfach die ständig verfügbare freie Wahl des schöpferischen Subjekts sein, sie zu erweitern. Wie Kant bereits argumentiert hatte, können Schlussfolgerungen bezüglich unvollständiger, potenziell unendlicher Gesamtheiten keine reductio ad absurdum Beweise gültig verwenden. Das liegt daran, dass wir keine Gewähr dafür haben, im Voraus, bevor die Sequenz bis zu einem Punkt generiert wird, an dem entweder P oder nicht-P der Fall ist, zu behaupten, dass entweder P oder nicht-P wahr sein muss, das heißt, das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten. Für manche Behauptungen haben wir keine Garantie, dass eine solche Position jemals erreicht werden kann, zum Beispiel bezüglich der Vermutung, dass es nur endlich viele Male in der Dezimalentwicklung von Pi vorkommt, dass eine Ziffer an einer ungeradzahligen Stelle gleich der Ziffer an der folgenden geradzahligen Stelle ist. Weil Intuitionisten das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten und darauf basierende Beweise ablehnen, gibt es viele Beweise, die klassische Mathematiker akzeptieren, aber die von Intuitionisten abgelehnt werden.

Nachdem sie den Frege-Russell-Rahmen für die Logik abgelehnt hatten, entwickelten Intuitionisten eine Logik, die das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten nicht als universell gültig ansieht. Heyting 1956, Dummett 1973 und andere, die die sprachliche Wende vollzogen, haben diese alternative Logik als Mittel genutzt, um einen Rahmen für den Intuitionismus zu bieten, der sich nicht auf Kantische Anschauung beruft. Eine Darstellung der Bedeutung einer mathematischen Behauptung soll nicht durch die Angabe ihrer Wahrheitsbedingungen gegeben werden, sondern durch eine Spezifikation der Bedingungen, unter denen man berechtigt wäre, sie zu behaupten, die Beweisbedingungen. Dies verknüpft das Verständnis mathematischer Fragen mit dem Wissen, wie ein Beweis, der eine Antwort darstellt, aussehen würde. In der Arithmetik sind die grundlegenden, kanonischen Beweise Berechnungen. Effektive Rechenverfahren spielen somit eine herausragende Rolle in der intuitionistischen und konstruktivistischen Mathematik. Aus diesem Grund hat sich vieles von dem, was entwickelt wurde, als nützlich erwiesen, selbst für diejenigen, die intuitionistische oder konstruktivistische Ansichten nicht vertreten und die Mathematik, die die Verwendung des tatsächlichen Unendlichen erfordert, nicht ablehnen.

Hilbert 1882–1943, 1926 nahm eine Position ein, die der des Intuitionismus in Bezug auf die Arithmetik der natürlichen Zahlen sehr ähnlich war. In seinem Fall waren die begründenden Anschauungen jedoch nicht die der reinen Vorstellung, sondern leiteten sich aus der Verwendung von Strichlisten und dem Fortschreiten zu geschriebenen Ziffern ab. Er konzentriert sich somit auf die Mathematik als Werkzeug oder Instrument zur Lösung von Problemen, anstatt als eine Ausarbeitung angeborener menschlicher intellektueller Strukturen. Dies bedeutet, dass, wenn es um die Verwendung unendlicher Zahlen und Symbole geht, die vorgeben, infinitäre Operationen darzustellen, Hilberts Antwort konventionalistisch und instrumentalistisch statt konzeptualistisch ist. Während er darauf besteht, dass solche Zeichen für uns keinen direkten darstellenden Inhalt haben können, lässt er zu, dass sie ein legitimer Teil der Mathematik sein können. Symbole haben eine Bedeutung, die sich aus ihrer Verwendung in formalen mathematischen Systemen ableitet, und ihre Einführung ist gerechtfertigt, wenn sie die Lösung bereits bestehender Probleme ermöglicht und wenn das Gesamtsystem, bestehend aus den neuen Symbolen zusammen mit dem alten System, das sie erweitern, als konsistent erwiesen werden kann.

Aber wie kann Konsistenz bewiesen werden? Eine Möglichkeit, zu zeigen, dass eine Theorie konsistent ist, besteht darin, zu zeigen, dass sie ein Modell hat. So wurden nicht-euklidische Geometrien als konsistent relativ zur Euklidischen Geometrie erwiesen, indem gezeigt wurde, dass sie Modelle in der Euklidischen Geometrie hatten. Die Riemannsche ebene Geometrie kann zum Beispiel als Geometrie auf der Oberfläche einer Euklidischen Kugel interpretiert werden. Aber dies lässt immer noch die Frage offen, was uns die Konsistenz der Euklidischen Geometrie zusichert. Hilbert 1899 hatte eine Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie bereitgestellt, in der die Axiome die Form von Bedingungen für Beziehungen zwischen Punkten annehmen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Gesamtheit von Punkten als ein Euklidischer Raum betrachtet werden soll. Er zeigte ferner, dass die reellen Zahlen verwendet werden könnten, um ein Modell für diese Axiome bereitzustellen. Dies reduziert die Konsistenzfrage darauf, wie die Konsistenz der Theorie der reellen Zahlen sichergestellt werden kann. Sowohl für Hilbert als auch für Intuitionisten ist die Konsistenz der Arithmetik der natürlichen Zahlen und effektiver Rechenverfahren, der finitären Arithmetik, durch die Tatsache garantiert, dass Modelle tatsächlich konstruiert werden können, sei es in der Anschauung oder auf Papier. Die Theorie der reellen Zahlen, die Quantifizierung über die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, wenn sie so behandelt wird, als ob sie das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten befolgt, und die Verwendung von Symbolen für unendliche Mengen und transfinite Zahlen stehen alle vor dem Problem, dass es ex hypothesi nicht möglich ist, effektive Methoden zur Konstruktion von Modellen der unendlichen Gesamtheiten zu finden, die sie voraussetzen. Die Konsistenzfrage reduziert sich somit darauf, wie die Verwendung von Symbolen für infinitäre Objekte oder infinitäre Operationen im Endlichen begründet werden kann. Was später als Hilberts Programm bezeichnet wurde, war der Vorschlag, zu versuchen, Konsistenz als eine formale Eigenschaft von Symbolsystemen zu behandeln. Symbolsysteme sind selbst endlich, auch wenn sie Symbole enthalten, die sich auf unendliche Objekte oder auf infinitäre Operationen beziehen sollen. Sie werden von Regeln geleitet, deren korrekte Anwendung lediglich durch den Rückgriff auf eine Fähigkeit überprüft werden kann, die symbolischen Formen von Formeln zu erkennen, was keine Erfassung ihres Inhalts erfordert. Beweise in solchen Systemen sind endliche Symbolstrukturen, die gemäß formalen Regeln konstruiert werden. Damit Inkonsistenz entsteht, müsste es möglich sein, einen Satz und seine Verneinung zu beweisen; zum Beispiel, einen Satz mit einer formalen Struktur analog zu 'P und nicht-P' zu beweisen. Wenn es möglich wäre, unter Bezugnahme auf die formalen, finitären Eigenschaften des Symbolsystems zu zeigen, dass keine solche Formel die letzte Zeile eines Beweises sein könnte, dann hätte man einen Beweis der Konsistenz, der nur finite, konstruktive Methoden verwendet.

Gödel und Konsistenz

Gödel 1906–78, 1931 bewies in seinem Ersten Unvollständigkeitssatz, dass es unmöglich ist, Hilberts Programm abzuschließen. Er bewies unter Verwendung finitätiter Methoden, dass, wenn ein formales System S, das fähig ist, Arithmetik auszudrücken, konsistent ist, dann gibt es einen Satz G, der in der formalen Sprache von S ausdrückbar ist, der so beschaffen ist, dass weder er noch seine Negation in S bewiesen werden kann. G ist so konstruiert, dass es so interpretiert werden kann, dass es von sich selbst aussagt, dass es nicht beweisbar ist. Er zeigte ferner in seinem Zweiten Unvollständigkeitssatz, dass infolgedessen eine Inkonsistenz entsteht, wenn angenommen wird, dass S durch finite Methoden als konsistent bewiesen werden kann, denn dies würde es ermöglichen, in S zu beweisen, dass G in S nicht beweisbar ist. Da G ein formaler Ausdruck der Behauptung ist, dass G in S nicht beweisbar ist, wäre dies auch ein Beweis von G. Daher wäre S nach dem Ersten Unvollständigkeitssatz inkonsistent. Die Schlüsselidee hinter diesem Beweis war, alle Symbole der formalen Sprache durch Zahlen zu kodieren. Formeln und Beweise, da sie endliche Symbolstrukturen sind, können dann auch durch Zahlen kodiert werden, so dass ihre symbolischen Eigenschaften arithmetischen Eigenschaften ihrer numerischen Entsprechungen entsprechen. Da die formale Sprache dazu gedacht war, über Zahlen zu sprechen, ermöglicht dieses Verfahren dem Symbolsystem, eine doppelte Interpretation zu haben – indem es über Zahlen spricht, spricht es auch über seine eigenen Formeln.

Diese Idee enthüllte das enorme Potenzial von Zahlen als Vorrichtungen zur Kodierung symbolischer und anderer Strukturen. Es ist diese Kraft, die anschließend zur Entwicklung digitaler elektronischer Computer genutzt wurde. Auf diese Weise fand die Mathematik, die sich mit formalen Systemen und effektiven Rechenverfahren befasste, die als Reaktion auf Hilberts Programm und auf die Betonung effektiver Verfahren durch den Intuitionismus entwickelt wurde, nicht nur immense praktische Anwendung, sondern führte auch zur Entwicklung ganzer neuer Bereiche der Mathematik, einschließlich Beweistheorie, Modelltheorie und rekursiver Funktionstheorie.

Aber wie steht es nun um die Frage der Rechtfertigung der Verwendung der infinitären Mathematik? Die genaue Interpretation der philosophischen Bedeutung von Gödels Theorem wurde viel diskutiert Detlefsen 1986, und es gibt keinen allgemeinen Konsens. Was jedoch vereinbart zu sein scheint, ist, dass es keine Hoffnung auf eine vollständige rechtfertigende Selbstbegründung gibt, die nur finite Methoden verwendet, um eine unanfechtbare Legitimation infinitärer Methoden zu liefern. Formale Systeme sind selbst potenziell unendlich. Um also Ergebnisse über ein ganzes System S zu beweisen, wie zum Beispiel C, das besagt: 'Es gibt keinen Beweis in S für irgendeine Formel der Form P und nicht-P', erfordert einen Beweis über eine potenziell unendliche Gesamtheit. Aber ohne die Annahme, dass es legitim ist, unendliche Gesamtheiten als abgeschlossene Objekte zu betrachten, was die Annahme ist, die ein finitärer Konsistenzbeweis zu rechtfertigen versucht, gibt es keine Rechtfertigung für die Behauptung, dass entweder C oder nicht-C wahr sein muss.

In ähnlicher Weise wurde gezeigt, dass die Fähigkeit der Mengenlehre, definitive Antworten auf Grundlagenfragen zu liefern, begrenzt ist. Was als die Kernaxiome der Mengenlehre angesehen wird – nämlich das Zermelo-Fraenkel-Axiom und das Auswahlaxiom, die wir zusammen ZFC nennen werden – ermöglichen keine Lösung der Frage, die Cantor durch die Einführung transfiniten Zahlen zu beantworten suchte, nämlich die Frage nach der Struktur des Kontinuums. Cantor bewies, dass es keine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den reellen Zahlen und den natürlichen Zahlen geben kann. Er interpretierte dieses Ergebnis als Beweis dafür, dass die Kardinalzahl der Menge der reellen Zahlen, 2⁰, größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen, 0. Er bewies auch, dass die Kardinalzahl, 1, der Menge aller Wohlordnungen der natürlichen Zahlen größer sein muss als die der natürlichen Zahlen, und dass es keine unendliche Menge geben könnte, deren Kardinalität größer als 0, aber kleiner als 1 wäre. Das heißt, 1 ist die nächste unendliche Kardinalzahl nach 0. Cantor dachte, es sei der Fall, dass 2⁰ dieselbe Zahl wie 1 sein muss, Cantors Kontinuumshypothese oder CH, aber er konnte es nicht beweisen. Gödel 1940 erzeugte ein Modell von ZFC, die konstruierbaren Mengen, in dem dies der Fall ist, aber Cohen 1966 erzeugte eines, in dem dies nicht der Fall ist. Zusammen zeigen die Ergebnisse, dass ZFC die Frage unentschieden lässt. Die Frage bleibt, wenn wir ZFC akzeptieren und unendliche Mengen verwenden, auf welcher Grundlage sollten wir CH akzeptieren oder ablehnen? Welchen Unterschied, wenn überhaupt, macht es in anderen Bereichen der Mathematik?

Diese Grundlagenfragen erfordern detaillierte technische Arbeit von Mathematikern. Die größeren philosophischen Fragen betreffen jedoch die Bewertung des gesamten fundamentalistischen Trends, ein Trend, der nicht, wie erhofft, ein für alle Mal Lösungen für Fragen über den Status der Mathematik und unsere Rechtfertigung, uns auf sie zu verlassen, geliefert hat. Er hat viele neue und interessante Mathematik hervorgebracht, und das allein muss uns sicherlich etwas über die zeitgenössische Mathematik sagen. Die Frage ist, was genau sagt es uns?