Areas of Philosophy

Philosophie der Mathematik

Grundlegende Antworten

Die Mathematik ist seit dem sechzehnten Jahrhundert eine äußerst dynamische Disziplin. In diesem Zeitraum haben sich die Methoden zur Problemlösung und zum Beweis stark verändert. Philosophen neigten dazu, die Fähigkeit, Beweise zu erbringen, als das Unterscheidungsmerkmal der Mathematik anzusehen. Wenn sich jedoch die Beweismethoden ändern und sich voraussichtlich weiter ändern werden, werden philosophische Analysen der Beweismethoden und die Meinungen über die Grundlagen mathematischer Behauptungen, die sich aus diesen Analysen ableiten, historisch bedingt sein. Ebenso ändern sich die Arten der Anwendungen der Mathematik ständig. Jede Darstellung der Anwendbarkeit der Mathematik wird daher auch unterschiedliche Probleme zu behandeln haben, abhängig von der Periode, in der sie angeboten wird. Das bedeutet, dass eine Antwort auf das Grundproblem, die in einer Geschichtsperiode angemessen sein mag, in einer späteren Periode unzureichend sein und daher einer beträchtlichen Modifikation bedürfen kann. Dies lässt sich veranschaulichen, indem man sieht, wie sich die Konfiguration des Grundproblems und damit der tragfähigen Lösungen dafür im siebzehnten Jahrhundert und dann erneut im neunzehnten Jahrhundert verändert hat. Auf diese Weise können wir, wenn auch nur sehr skizzenhaft, den historischen Kontext der Antworten des analytischen Empirismus aufzeigen.

Für die Zwecke eines schematischen Überblicks über das philosophische Terrain ist es möglich, Philosophien bis zum späten siebzehnten Jahrhundert als Vorschläge von Variationen dessen anzusehen, was wir als Platonisch-realistische oder Aristotelisch-konzeptualistische Antworten auf die Grundfrage bezeichnen können. Diese Bezeichnungen deuten auf die klassische Abstammung dieser Antworten hin, sollten aber nicht wörtlich als Platos Realismus oder Aristoteles' Konzeptualismus gelesen werden.

Platonischer Realismus

Für den Platonischen Realisten löst sich das Problem, sobald erkannt wird, dass der Kosmos eine ewige und unveränderliche zugrunde liegende Ordnung oder Harmonie hat und dass die Prinzipien dieser Ordnung im Wesentlichen mathematisch sind. Diese Art von Ansicht lässt sich auf die Pythagoräer zurückführen, die eine Vision eines harmonisch geordneten Universums auf ihre Entdeckung der Assoziation zwischen musikalischen Harmonien und Zahlenverhältnissen stützten. Sie fand einen ihrer explizitesten Ausdrücke in der Arbeit von Kepler 1571–1630, dem berühmten Astronomen. In seiner Harmonice Mundi 1940 geht er davon aus, dass das Universum das Werk eines Gottes ist, der nicht nur ein Geometer, sondern auch ein Musiker ist. Die Planeten machen daher himmlische Musik, während sie die Sonne umkreisen.

Dieselbe Konzeption taucht bei vielen anderen Autoren verschiedener Perioden auf. Für Newton 1642–1727 in seiner Opticks 1931 ist die Unterteilung des Spektrums in sieben Farben numerisch mit der harmonischen Teilung einer einzigen Saite korreliert, die die Noten der Oktave ergibt. Einsteins 1879–1955 oft zitierte Ablehnung der Behauptungen der Quantenmechanik, eine grundlegende physikalische Theorie zu sein – „Gott würfelt nicht“ – offenbart eine ähnliche Einstellung. Sie fand auch Ausdruck in dem Streben nach mathematischer Eleganz und Einheit, das zu seiner allgemeinen Relativitätstheorie und seiner erfolglosen Suche nach einer großen vereinheitlichten Feldtheorie führte, einer Suche, die von denen fortgesetzt wurde, die an der Theorie der Superstrings arbeiten. Davies und Brown 1988.

Wenn das Universum mathematisch geordnet ist, würde dies die Nützlichkeit der Mathematik erklären, aber nicht, wie wir zu mathematischem Wissen gelangen können oder den besonders sicheren Status dieses Wissens. Für den Realisten, der entweder Christ oder ein NEO-PLATONIKER, oder beides, war, war dies leicht erklärbar. Der christliche Gott schuf nicht nur das Universum, sondern auch menschliche Wesen; wir wurden mit einem Intellekt geschaffen, der ein endliches Abbild des unendlichen Intellekts Gottes ist. Diese Fähigkeit wurde uns gegeben, gerade damit wir zu einem sicheren Wissen über die Existenz des Gottes, der uns geschaffen hat, und zu einem begrenzten Wissen über Gottes Natur gelangen könnten. So schuf Gott menschliche Wesen mit einem Intellekt, der angeboren ausgestattet ist, mathematische Prinzipien zu erfassen und sie als jenseits jeden Zweifels wahr anzuerkennen. Dies erfordert, dass der Intellekt auf die richtige Weise ausgeübt wird, nämlich indem man sich von sinnlichen Ablenkungen abwendet, um sich auf intellektuelle Dinge und das Reich der reinen Abstraktionen zu konzentrieren. Siehe zum Beispiel Descartes 1985–91b; Augustinus 1990: Buch VI, 1955, Buch II. Für den Neuplatoniker war die menschliche Seele (Mikrokosmos) ein integraler Bestandteil des Universums (Makrokosmos) und fähig, in Sympathie mit der Weltseele in Resonanz zu treten. Der Mikrokosmos und der Makrokosmos spiegeln sich somit gegenseitig in einer Weise wider, dass die Harmonien des einen vom anderen erkannt werden und diesen beeinflussen. Nach beiden Auffassungen ist mathematisches Wissen eine Sache der Einsicht, der intellektuellen Intuition oder eines Sehens im Licht der Vernunft, das einer religiösen Offenbarung analog ist. Wenn der Geist richtig fokussiert ist, werden die ersten Prinzipien der Mathematik mit unwiderstehlicher Klarheit und Deutlichkeit enthüllt, da sie integraler Bestandteil der eigenen Natur des Intellekts sind.

Da der menschliche Intellekt jedoch begrenzt und endlich ist, umfasst er nicht alle Dinge sofort in seiner intellektuellen Vision; er umfasst nur jene Dinge, die einfach und grundlegend sind. Im Geist Gottes werden alle Dinge unmittelbar intuitiv erfasst; Gott muss sich niemals mit Überlegungen beschäftigen oder Schlussfolgerungen ziehen. Auch die Weltseele tut dies nicht; ihre Strukturen sind integraler Bestandteil ihrer selbst und ihr unmittelbar bekannt. Menschliche Geister müssen sich progressiv komplexerem und vollständigerem Wissen in Stufen nähern. Begründung und deduktiver Beweis verleihen an sich nicht die intellektuelle Intuition, die wahres Wissen ist, aber Vernunft und Intuition sind für endliche Geister der notwendige Weg dahin. Siehe Spinoza 1992; Descartes 1985–91a. Es ist daher kaum überraschend, dass solche Philosophen den Methoden der Entdeckung und den Wegen zur Einsicht Vorrang vor den Methoden der Rechtfertigung geben. Beweise sind weniger Rechtfertigungen als vielmehr Aufzeichnungen der realen gegenseitigen Verbindungen der Dinge, der gegenseitigen Verbindungen, die zum Beispiel erklären, warum Dreiecke Innenwinkel haben müssen, die der Summe zweier rechter Winkel entsprechen. Diese gegenseitigen Verbindungen können in einem einzigen Akt intellektueller Vision von jemandem erfasst werden, der wirklich versteht, aber sie können nur sequentiell aufgezeichnet werden.

Für den Platonischen Realisten ist der Kosmos also ein geordnetes Ganzes. Die Mathematik drückt die Prinzipien dieser Ordnung aus und gibt Einblick in sie. Der Weg zum mathematischen Wissen ist übernatürlich mit seiner Nützlichkeit verbunden, durch die Idee, dass die Sinne uns nur die sich wandelnde phänomenale Welt der Sinneserfahrung offenbaren. Um Wissen über die ewigen Prinzipien zu erwerben, die der Ordnung dieser Welt zugrunde liegen, ist es notwendig, sich von den Sinnen abzuwenden und den menschlichen Intellekt oder die Seele mit dem Intellekt, der die Welt ordnet, oder mit der Weltseele zu vereinen oder wiederzuvereinigen.

Aristotelischer Konzeptualismus

Im Gegensatz dazu ist der Kosmos des Aristotelischen Konzeptualisten, obwohl er strukturiert ist, in erster Linie eine Sammlung individueller Dinge, die sich verändern und deren Ordnung teils kontingent und teils ein Produkt der Naturen der Dinge ist, aus denen das Universum besteht. Das Universum zu verstehen bedeutet also, die Naturen der einzelnen Arten von Dingen zu kennen. Die Logik gibt uns einen gewissen Einblick in die Prinzipien der Ordnung einzelner Dinge in Arten und Gattungen, basierend auf ihren spezifischen Qualitäten. Darüber hinaus ist es jedoch notwendig, durch Beobachtung und Reflexion die kausalen Prinzipien, die Kräfte, die Mächte und Potentiale der Dinge zu entdecken, die ihr Verhalten bestimmen.

Die Mathematik befasst sich mit Dingen, die sich nicht ändern. Darüber hinaus kann sie immer nur Prinzipien hervorbringen, die Beziehungen zwischen Dingen betreffen, weil Zahlen erst nach der Auswahl einer Maßeinheit zugewiesen werden und die Geometrie sich nur mit Formen befasst, die wiederum durch die Beziehungen zwischen ihren Teilen und mit räumlichen Beziehungen zwischen Formen gekennzeichnet sind. Das bedeutet, dass die Mathematik niemals Einblick in die Naturen oder die Prinzipien des Wandels einzelner Dinge und folglich auch nicht in die kausalen Prinzipien, die das Universum bestimmen, liefern kann. Die Arithmetik ist die Wissenschaft der diskreten Größen und die Geometrie ist die Wissenschaft der kontinuierlichen Größen. Größen selbst sind ein Produkt der Messung und damit menschlicher Messaktivitäten. In der Erfahrung begegnen wir den verschiedenen Arten von Größen und erfinden Messsysteme, die für sie und unsere Zwecke geeignet sind.

Wenn wir Maße erfinden, zwischen Formen unterscheiden und uns aus praktischen Gründen zum Beispiel für räumliche Beziehungen oder die relativen Bewegungen der Planeten interessieren, kann uns die Mathematik helfen, die verschiedenen Arten von Ordnungen, an denen wir interessiert sind, systematisch zu beschreiben und unsere verschiedenen Maßeinheiten zu koordinieren. So verwendet die Astronomie Geometrie und Arithmetik, um die verschiedenen Zeiteinheiten – wie Tag, Mondmonat und Sonnenjahr – so zu verbinden, dass der Bau eines Kalenders möglich wird. Die auf am Boden vorgenommene Messungen angewandte Geometrie ermöglicht Baupläne und Karten. Die Mathematik ist nützlich, weil die Messung nützlich ist, und dieser Nutzen ergibt sich aus den praktischen Kontexten, in denen Maße erdacht wurden. Wir können hier ein vollständigeres Wissen haben als von der natürlichen Welt, weil es sich um eine menschliche Erfindung handelt, und so wie wir die natürliche Welt nicht untersuchen müssen, um herauszufinden, wie man die Wörter einer Sprache verwendet oder um festzustellen, ob eine Handlung nach dem Rechtssystem einer bestimmten Stadt oder eines Landes legal ist oder nicht, so würden wir nicht erwarten, auf die Welt zu schauen, um Fragen über Größen und ihre Beziehungen zu lösen.

Aber gäbe es in diesem Fall nicht so viele verschiedene mathematische Systeme, wie es Rechtssysteme gibt? Doch eine der Erfahrungen, die Behauptungen über die universelle Notwendigkeit der Mathematik stützt, ist, dass verschiedene Kulturen zwar unterschiedliche Zahlensysteme, Maßeinheiten, Berechnungsmethoden und mathematische Problemlösungen entwickelt haben, aber auf der Ebene der Ergebnisse eine bemerkenswerte Übereinstimmung besteht. Kaufleute, die verschiedene Sprachen sprechen, können sich dennoch auf vereinbarte Preise einigen, indem sie sich an unterschiedliche Währungs- und Messsysteme anpassen. Zwei plus zwei ergibt in der Arithmetik keiner Kultur fünf oder drei.

Aristotelische Konzeptualisten berücksichtigen dies in einer Weise, die der der Platonischen Realisten nicht ganz unähnlich ist. Dies ist nicht überraschend, da beide an eine universelle menschliche Natur glaubten und den Intellekt als ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal der Menschheit betonten; ein Mensch ist ein vernunftbegabtes Tier. So kommt für ARISTOTLE, LOCKE, BERKELEY und sogar HUME der menschliche Geist mit der Veranlagung zur Welt, ihr bestimmte Arten von Strukturen aufzuerlegen. Menschen werden geboren, die in der Lage sind, bestimmte grundlegende Unterscheidungen auf der Grundlage qualitativer Ähnlichkeit und Differenz vorzunehmen und viele weitere zu lernen. Tatsächlich muss, wenn angenommen wird, dass alle Erfahrung von Partikularen handelt, jede Beziehung eines Dings zu einem anderen, sei es in Bezug auf Farbe, Geschmack und Geruch oder in Bezug auf Größe, Form, Ort und Zeit, eine Funktion des menschlichen Geistes sein. Um dies tun zu können, muss der menschliche Geist zusätzlich zu angeborenen Kapazitäten für die Sinneswahrnehmung angeborene, relationen-auferlegende Kapazitäten besitzen. Die Reflexion darüber liefert die Grundbegriffe für abstraktere Disziplinen, einschließlich der Mathematik; Konzepte wie Einheit, Zahl, Größe, Form und unbestimmt fortgesetzte Wiederholung. Diese abstrakten Konzepte, die bei der Ordnung der Erfahrung vorausgesetzt werden, können als im Sinne des Verstandes zuerst oder in Bezug auf den Intellekt einfach bezeichnet werden, weil sie, obwohl sie, wenn überhaupt, erst nach intellektueller Reflexion explizit erworben werden, dennoch in allem Erfahrungswissen vorausgesetzt werden.

Wo der Realist in diesen einfachen, angeborenen intellektuellen Konzepten Hinweise auf eine übernatürliche Ordnung sieht, sieht der Konzeptualist nur Strukturen des menschlichen Geistes, in deren Begriffen er die natürliche Welt der Partikularen ordnet. Mathematische erste Prinzipien beinhalten somit Konzepte, die aus der Reflexion über angeborene menschliche intellektuelle Kapazitäten zur Unterscheidung zwischen und zur Beziehung von Partikularen abgeleitet sind. In diesem Sinne sind sie einfache angeborene Ideen, Ideen, die in der Ordnung des Verstehens zuerst sind, wenn auch nicht in der Ordnung der menschlichen Erfahrung, weil sie nur bekannt werden können, indem man sich von der Welt abwendet und über die Art und Weise, wie der Intellekt funktioniert, reflektiert. Sie sind potenziell selbstverständlich für alle menschlichen Wesen, weil sie explizite Ausdrücke von Prinzipien sind, die implizit in der angeborenen, natürlichen Funktionsweise des menschlichen Intellekts enthalten sind.

Komplexere Konzepte müssen jedoch durch explizite Prozesse der Definition aus diesen Einfachen aufgebaut werden. Nicht alle Kulturen werden notwendigerweise dieselben komplexen Konzepte entwickeln, obwohl alle von denselben Einfachen ausgehen und alle Aspekte der Dinge in derselben physischen Welt messen; die Definition eines komplexen Konzepts sollte daher jedem, unabhängig vom kulturellen Standort, erklärbar sein. Ergebnisse in Bezug auf komplexere Konzepte müssen durch Berufung auf ihre Definitionen und auf erste Prinzipien bewiesen werden, und sie müssen durch deduktive syllogistische Argumentation vorgehen. Beweise sind mit anderen Worten Demonstrationen in dem Sinne, den Aristoteles in seinen Zweiten Analytiken 1941a dargelegt hat. Da komplexe mathematische Konzepte das Werk von Menschen sind, gibt es keinen Beweisgrund jenseits der Definition komplexer Konzepte in Begriffen einfacher Konzepte. Es kann manchmal den Anschein haben, dass mehr involviert ist, weil es Mühe erfordert, zu guten Definitionen zu gelangen. Das liegt daran, dass viele messungsbezogene Konzepte zuerst in praktischen Kontexten entstehen, in denen Berechnung oder diagrammatische Argumentation involviert ist. Erst wenn die Frage nach der Zuverlässigkeit einer solchen Argumentation auftaucht, wird es notwendig, über die explizite Definition von Konzepten nachzudenken, wie zum Beispiel einem Kreis, einer geraden Linie, Subtraktion, Multiplikation oder Division. Eine gute Definition wird erforderlich sein, um Kernkomponenten erfolgreicher Berechnungs- und Messpraktiken zu rechtfertigen, aber möglicherweise nicht jede Komponente bewahren oder rechtfertigen. Aus dieser Sichtweise erhält die Rechtfertigung in Form des Beweises mehr Betonung als die Entdeckung, da es den Anschein hat, dass die Entdeckung nicht viel mehr ist als das Geben nützlicher Definitionen und das Ableiten ihrer Konsequenzen.