Areas of Philosophy

Philosophie der Mathematik

Jenseits von Fundamentalismus und analytischer Philosophie

Der Fundamentalismus ist reduktionistisch; er versucht, eine hierarchische Ordnung eines gegebenen Wissensbereichs zu bestimmen, indem er zu den Ausgangspunkten zurückdrängt, aus denen der gesamte Rest deduktiv folgt und somit rational gerechtfertigt werden kann. Fragen des Status dieses gesamten Wissensbereichs konzentrieren sich somit auf den Status dieser ersten Prinzipien. Dies setzt voraus, dass es einen absoluten, zeitlosen, universellen Sinn für rationale Ordnung gibt oder dafür, was eine rationale Rechtfertigung ausmacht. Doch wie die hier präsentierte historische Skizze bereits zeigt, haben sich die Vorstellungen über die Standards der Strenge in mathematischen Beweisen und darüber, was Logik ausmacht, geändert. Die Tatsache, dass mathematisches Denken relational war, reichte einst aus, um darauf hinzuweisen, dass es nicht allein nach Prinzipien der deduktiven Logik vorging. Nun, da relationales Denken in Form des Prädikatenkalküls erster Stufe in die Logik integriert wurde, ist dieser besondere Grund für die Annahme, dass sich mathematisches Denken nicht auf logische Deduktion reduziert, entfallen. Aber was sind die Gründe für die Annahme, dass der Prädikatenkalkül erster Stufe die ultimative, kanonische Form der Logik ist? Es gibt viele potenzielle Herausforderer. Mathematiker haben eine beliebige Anzahl formaler 'Logiken' untersucht, einschließlich modaler Logiken und mehrwertiger Logiken sowie relevanter Logiken. Die Informationstechnologie hat in ihrem Bestreben, Expertensysteme zu entwickeln, in den letzten Jahren ein wachsendes Interesse an nicht-monotonen Logiken gefördert. Sollen wir in Bezug auf die Logik monistisch oder pluralistisch sein? Solange der Fundamentalismus die vorherrschende philosophische Haltung gegenüber Darstellungen des Wissens in der Mathematik oder in jedem anderen Bereich war, musste angenommen werden, dass es nur ein Logiksystem gibt, nämlich dasjenige, das die absolute, zeitlose, universelle, rationale Ordnung des Wissens offenbart und das eine Darstellung dessen liefert, was eine rationale Rechtfertigung für den Glauben darstellt. Aber der Fundamentalismus in anderen Bereichen der Erkenntnistheorie wurde in der zweiten Hälfte dieses Jahrhunderts zunehmend in Frage gestellt. Diese Annahmen über Rationalität erscheinen nicht länger selbstverständlich. Doch wie Bloor 1973 bewusst war, als er das starke Programm in der Wissenssoziologie ins Leben rief, wäre die Mathematik ein Prüfstein für dieses Programm, ebenso wie für die analytischen Empiristen. Sie könnte eine Bastion einer festen, ewigen rationalen Ordnung sein, um die sich Verteidiger von Ansprüchen auf universelle Rationalität scharen können. Aber die Standards der Rationalität könnten sich als weniger fest erweisen, und die vom Fundamentalismus vorausgesetzte Ordnung könnte sich als unnötig erweisen, um die Entwicklung der tatsächlichen Mathematik oder ihrer Anwendungen zu erklären. Wenn dies wahr wäre, dann würden die Ansprüche des Fundamentalismus und des Zugangs zu universellen Standards der Rationalität in der Tat wackelig aussehen. Bloor bezieht viele seiner Anregungen aus der antifundamentalistischen späteren Philosophie von WITTGENSTEIN 1963, 1967, die die Art und Weise betont, in der Lebensformen – soziale Praktiken, von denen Mathematik und Sprache integrale Bestandteile sind – unser Gefühl dafür prägen, was rational ist oder nicht. Wittgensteins Sicht auf die Mathematik ist nicht-reduktionistisch. Darüber hinaus betont er wiederholt, was er die 'bunte Vielfalt der Mathematik' nennt – die Verschiedenheit, die in ihren verschiedenen Zweigen und in ihren Anwendungen zu finden ist. Er wirft die Frage auf, die andere Philosophen zu dieser Zeit nicht zu stellen wagten – Fragen danach, wie bestimmt wird, was ein Beweis beweist, und wie das logische 'Muss' seine Kraft erhält. Er betrachtete Mathematik als einen integralen Bestandteil des Rahmens sprachlicher Konventionen, die wir im Kontext des Versuchs entwickeln, mit anderen in einer materiellen Welt zusammenzuleben. Diese Konventionen werden durch Training erlernt, das heißt, in sich wiederholender, korrigierter Praxis in bestimmten Arten von Kontexten. Die Bedeutung oder der Inhalt eines sprachlichen Zeichens leitet sich somit ganz aus seinen gewohnheitsmäßigen Verwendungen ab. Diese Verwendungen selbst leiten sich von Lebensformen ab, in die sie eingebettet sind; zum Beispiel das Rechnen als Teil des Austauschs von Geld gegen Waren verschiedener Art. Unter normalen Umständen wird die Frage der Rechtfertigung nicht aufkommen und kann keine andere Antwort erhalten als 'Das ist die Art, wie wir es tun'. Dies liegt daran, dass der Gebrauch der Grundstein des Verständnisses ist. Aber wie wir aus dem Auftreten ethischer und praktischer Dilemmata wissen, können Elemente menschlicher Praktiken miteinander in Konflikt geraten. Unter solchen Umständen ist eine reflexive konzeptuelle Analyse erforderlich, um explizit zu machen, was implizit in den Praktiken, die in Konflikt stehen, angenommen wurde, zum Beispiel zwischen dem Vertrauen auf geometrische Intuition und auf algebraische Definitionen in der analytischen Geometrie, und um den Konflikt, wo möglich, durch Bezugnahme auf Werte zu lösen, die aus dem breiteren Rahmen der Lebensform, in der die Praktiken verkörpert sind, gezogen werden.

Wittgenstein selbst schien eine sehr enge Vorstellung von der Quelle konzeptueller Probleme gehabt zu haben, eine Idee, die Kants Ansicht parallel ist, dass der menschliche Geist dazu neigt, sich mit Illusionen zu täuschen, die darauf beruhen, Vernunftideen mit realen Dingen zu verwechseln. Er dachte, dass unsere Alltagssprache dazu neigt, uns in den Glauben an abstrakte Objekte zu führen. Wir neigen dazu zu glauben, dass überall dort, wo wir einen Ausdruck haben, der grammatikalisch als Name fungiert, etwas existieren muss, das er benennt. Die Analyse geht vor, indem sie die logische Grammatik problematischer Substantive offenbart – die Grammatik, die in den Gebrauchspraktiken implizit ist, die ihren Inhalt bestimmen – und zeigt, dass die scheinbaren Namen nicht als Namen fungieren. Auf diese Weise argumentiert Wittgenstein, dass weder Zahlen noch Ausdrücke für private Empfindungen dazu dienen, für Objekte zu stehen. Aber Wissenssoziologen, auch wenn sie Anregungen von Wittgenstein aufgreifen, beschränken sich nicht notwendigerweise im Voraus auf die möglichen Quellen konzeptueller Probleme. Wittgenstein dachte, dass die Rolle des Philosophen in der Mathematik die des konzeptuellen Analytikers sein sollte, nicht die des Überarbeiters der Praxis. Allerdings führten seine eigenen Analysen dazu, dass er der Mengenlehre und der Verwendung infinitärer Methoden sehr kritisch gegenüberstand. Tatsächlich ist es schwer zu sehen, wie Analysen, die darauf abzielen, zu enthüllen, wie Sprache uns irreführt, nicht in ihrer Absicht kritisch sein könnten, indem sie darauf abzielen, Aspekte der Praxis zu revidieren. Nur wenn Philosophen von einem Standpunkt aus arbeiten könnten, der völlig außerhalb der von ihnen analysierten Praktiken liegt, könnte ihre Aktivität potenziell revisionäre Auswirkungen vermeiden. Da jedoch die Teilnahme an der Praxis für Wittgenstein der Grund für das Verständnis der in ihnen verwendeten sprachlichen Ausdrücke ist, können Philosophen ihre Arbeit nicht aus einer Haltung distanzierter Nichtbeteiligung beginnen. Wittgenstein verglich die Rolle des Philosophen mit der des Anthropologen; und tatsächlich steht der Philosoph vor denselben Problemen der Reflexivität wie der Anthropologe – der Philosoph und seine oder ihre Studien werden Teil des Objekts, das er oder sie studiert, und modifizieren es somit.

Diese Reflexivität wird durch die Arbeit der Mathematiker-Philosophen wie Frege, Russell, Hilbert und Brouwer, deren Grundlagenstudien die Art und Weise, wie Mathematik betrieben wird, zutiefst veränderten, auf strikinge Weise veranschaulicht. In dem Bemühen, konzeptuelle Probleme zu lösen, auf die man innerhalb bestehender mathematischer Praktiken stieß, versuchten sie, die Annahmen, die in diese Praktiken eingebaut waren, zu klären und zu kodifizieren. Aber um dies zu tun, mussten sie neue mathematische Instrumente schmieden und neue Terminologie erfinden, um expliziten Ausdruck für Prinzipien und Strukturen zu liefern, die zuvor nur praktische Ausformungen hatten. Selbst als sie die Grundlagen der bestehenden Mathematik untersuchten, waren sie dabei, diese zu verändern, und sie überließen es einer nachfolgenden Generation, diese Grundlagen der so erzeugten Mathematik zu untersuchen; dieses Entwicklungsmuster wird von Bachelard 1928 diskutiert.

Wenn wir vom fundamentalistischen Unternehmen und seiner Tendenz, sich auf begrenzte Segmente der reinen Mathematik zu konzentrieren, zurücktreten, ist es offensichtlich, dass es auch Kräfte für Veränderungen in der Mathematik gibt, die sich aus ihren Anwendungen ableiten. Sobald Mathematik im Kontext der Welt, in der sie eingesetzt wird, untersucht wird, können Fragen über ihren autoritativen Status als Fragen der sozialen oder politischen Autorität behandelt werden. Solche Autorität wird mit ihrem Nutzen und der Macht, die sie verleiht, verbunden sein, und mit der Tatsache, dass sie Werte der Kultur des einundzwanzigsten Jahrhunderts widerspiegelt, aber nicht die von Platons Athen. Latour 1987. Einige aus dieser Sicht durchgeführte Forschungen deuten darauf hin, dass es in der Tat fruchtbar sein könnte, die Beziehungen zwischen sich ändernden Standards des Beweises, den an einen Beweis gestellten Anforderungen und sich ändernden Mustern der Anwendung zu untersuchen; solche Änderungen können die Arten von Zuverlässigkeit verändern, über die Sicherheit gesucht wird. Zum Beispiel hat die vermehrte Verwendung von Computern in der Wissenschaft für Computermodellierung und in der Technologie, insbesondere der militärischen Technologie intelligenter Waffen, bereits die Frage erneuert, was einen Beweis ausmacht, und hat zur quasi-empirischen Erforschung der fraktalen Geometrie mittels Computergrafiken geführt. Unter welchen Umständen, wenn überhaupt, könnten Hunderte von Seiten Computerausdruck einen Beweis darstellen? MacKenzie 1993 berichtet über den Fall, der fast vor Gericht gekommen wäre, des VIPER-Computerchips. Seine Hersteller behaupteten, einen Beweis für seine Zuverlässigkeit zu haben. Ein potenzieller Käufer focht diesen Anspruch an und sagte, das, was als Beweis angepriesen wurde, sei keiner. Computerchips sind physikalische Ausformungen komplexer mathematischer Strukturen. Angenommen, die physikalische Übertragung ist korrekt, bleibt immer noch die Frage, ob ein nach diesem Design hergestellter Chip tatsächlich die Funktion erfüllen wird, für die er entworfen wurde. Es wäre wünschenswert, im Voraus, vor dem Einsatz des Chips, beispielsweise in einem Waffensystem, einen Beweis zu haben, der diese Frage beantwortet. Da Ansprüche, die in diesem Kontext geltend gemacht werden, Teil von Handelsgeschäften sind, fallen sie darüber hinaus auch unter die gerichtliche Zuständigkeit. Dies bedeutet, dass die Frage, was einen Beweis ausmacht oder nicht, so vereinbart werden muss, dass eine gerichtliche Entscheidung möglich ist. Hier sind zwei soziale Anforderungen an den Begriff des Beweises. Es sind Anforderungen, deren Vereinbarkeit oder Realisierbarkeit nicht garantiert ist, und es sind Anforderungen, die aufgrund der Art der Anwendung eines bestimmten Unterzweigs der Mathematik entstehen. Dieser Zweig selbst verdankt einen Großteil seiner Entwicklung seinen beabsichtigten militärischen Anwendungen. Ob, wie oder in welchem ​​Umfang diese Anforderungen erfüllt werden können, ist eine Frage der reflexiven mathematischen und konzeptuellen Analyse, kombiniert mit technischer Forschung.

Solche Anforderungen drängen die reine mathematische Arbeit in Richtungen, die sie sonst möglicherweise nicht eingeschlagen hätte, und sie erzwingen Änderungen im Begriff des Beweises. Innerhalb welcher Einschränkungen kann eine solche Änderung auftreten? Gibt es objektive Einschränkungen? Wenn ja, was ist ihr Ursprung? Dies sind die Art von Fragen, die in den Vordergrund treten, wenn der Fundamentalismus verworfen wird. Sie gehen auf das Grundproblem der Philosophie der Mathematik zurück und veranlassen uns, den Nexus von Beweis, Entdeckung und Anwendung neu zu betrachten. Dieser Nexus ist mittlerweile aufgrund der herausragenden Stellung der Mathematik in unserer Wissenschaft und Technologie sehr vielfältig und sehr komplex geworden. Dies wiederum bedeutet, dass wir, um überhaupt ein Verständnis dieser Wissenschaft und Technologie zu haben, auch die Quellen der Macht der zeitgenössischen Mathematik verstehen müssen.