Areas of Philosophy

Philosophie der Mathematik

Neue Verfahren, Neue Probleme: Analytische Geometrie und das Unendliche

Wir haben also zwei Ansätze zur Lösung des Grundproblems. Suchen wir uns dann unsere Metaphysik aus und treffen darauf basierend unsere Wahl? Wenn wir die Welt als aus veränderlichen Partikularen bestehend ansehen, sollten wir eine Version des Aristotelischen Konzeptualismus akzeptieren, wohingegen wir, wenn wir die Welt als ein durch unveränderliche mathematische Prinzipien der Harmonie beherrschtes, miteinander verbundenes Ganzes sehen, irgendeine Form des Platonischen Realismus akzeptieren sollten? Das wäre sicherlich zu einfach, doch bis zum siebzehnten Jahrhundert hätte die Wahl sehr danach aussehen können. Dies lag zum Teil daran, dass die Mathematik selbst keinen großen oder komplexen Bereich darstellte. Sie trat in Form von Arithmetik und Geometrie auf, die sich mit diskreten bzw. kontinuierlichen Größen befassten. Mit der Wiederbelebung des Neuplatonismus und der Mathematik in der Renaissance entstanden jedoch neue Ambitionen, die mit der Erweiterung des Bereichs der Arithmetik durch die Algebra begannen und über die Verwendung algebraischer Techniken in der Geometrie bis zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung und ihrer Verwendung in der Newton'schen Mechanik fortgesetzt wurden.

Im späten siebzehnten Jahrhundert hatte sich der mathematische, wissenschaftliche und politische Hintergrund so verschoben, dass keine der alten Optionen unproblematisch erscheinen konnte. Im Kontext der zunehmenden religiösen Intoleranz, die durch den Dreißigjährigen Krieg in Europa hervorgerufen wurde, wurde der Neuplatonismus aufgrund seiner offensichtlichen ketzerischen Implikationen einfach eine zu gefährliche Position, um sie offen zu vertreten. Um zu überleben, musste sich die neue mathematische Naturphilosophie von dieser Position distanzieren. Descartes' Versuch, die Sicherheit seiner rationalen Kräfte (und damit der Mathematik, zu der ihn die Argumentation führte) mit einem Beweis für die Existenz eines wohlwollenden Gottes, der ihn geschaffen hatte, zu untermauern, war genial, konnte aber viele Menschen nicht überzeugen und überschritt auch gefährlich die Grenze von der Philosophie zur Theologie oder vom Bereich der Vernunft zu dem des GLAUBENS. Die Strategie, einen erhöhten Status für die Mathematik auf übernatürliche Weise philosophisch zu sichern, wirkte zunehmend unattraktiv, da Abgrenzungen zwischen Philosophie und Theologie gezogen wurden, oder zwischen dem, was im legitimen Rahmen der menschlichen Vernunft liegt, und dem, was, wenn es geglaubt wird, eine Sache des Glaubens oder der Offenbarung sein muss.

Der Aristotelische Konzeptualismus war somit zunächst der attraktivere Weg, und er zog sicherlich empiristische Philosophen wie Locke und Hume an. Aber es gab Faktoren sowohl in den neuen Entwicklungen in der Mathematik als auch in denen in der Naturphilosophie, die stark für irgendeine Form des Realismus zu sprechen schienen – der Ansicht, dass sich die Mathematik mit einem Gegenstand befasst, der unabhängig vom menschlichen Geist existiert.

Die Entwicklung der analytischen Geometrie brachte algebraische Methoden in die Geometrie und sah die allmähliche Entstehung des mathematischen Konzepts einer Funktion. Dies geschah im Kontext der Entwicklung einer Mathematik, die fähig war, Veränderung darzustellen und Prinzipien der Veränderung auszudrücken. Die Gleichung einer Parabel, y ist gleich ax plus bx im Quadrat, konnte sowohl als eine mathematische Definition dieses speziellen Kegelschnitts als auch als das Prinzip gelesen werden, nach dem sich ein Projektil unter dem Einfluss der Schwerkraft in Abwesenheit von Luftwiderstand bewegt, s ist gleich v_null mal t minus g mal t im Quadrat. Die geometrische Aufmerksamkeit verlagerte sich auf Kurven, die nicht in Worten, sondern durch algebraische Gleichungen definiert wurden, von denen viele Kurven waren, die zuvor von der Geometrie ausgeschlossen waren, weil sie mechanisch erzeugt werden, aber nicht in Bezug auf Lineal- und Zirkelkonstruktionen definiert werden können. Diese Entwicklungen waren problematisch, weil sie die stillschweigende Annahme machten, dass jedem Punkt in einer Ebene ein Zahlenpaar als Koordinaten zugewiesen werden kann, sobald Koordinatenachsen festgelegt wurden.

Die alten Griechen hatten bereits den Beweis, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit Einheitsseiten die Länge der Quadratwurzel von 2 haben muss, aber dass diese Länge nicht als irgendein Verhältnis ausgedrückt werden konnte. Die Entdeckung der Existenz solch inkommensurabler Größen war einer der Gründe, warum Arithmetik und Geometrie als unterschiedliche mathematische Disziplinen betrachtet worden waren. Die eine studierte diskrete Größen, die andere kontinuierliche Größen, und es wurde nicht für möglich gehalten, das Studium kontinuierlicher Größen auf das Studium diskreter Größen zu reduzieren. Diese Haltung wurde durch Paradoxien wie Zenons Paradoxon von Achilles und der Schildkröte verstärkt, die so interpretiert wurden, dass eine kontinuierliche Größe nicht aus diskreten Teilen bestehen kann. Die Geschichte eines Großteils der Arbeit in der reinen Mathematik im achtzehnten und neunzehnten Jahrhundert ist die Geschichte, wie trotz solcher Paradoxien Wege gefunden wurden, eine Reduktion des Studiums des Kontinuierlichen auf ein Studium des Diskreten zu bewirken. Diese Reduktion ist nicht ohne Kosten. Der Preis ist die Notwendigkeit, eine Mathematik des Unendlichen zu entwickeln und das Unendliche als grundlegendes Konzept zuzulassen. Die Schwierigkeiten, die bei diesem Prozess auftraten, machen es schwer zu glauben, dass kontinuierliche Größen menschliche Erfindungen und somit für den menschlichen Intellekt transparent sind.

Die Erfindung der Infinitesimalrechnung und ihre Verwendung in der Mechanik verlieh philosophischen Fragen über ob und wie es möglich ist, zuverlässig über das unendlich Große oder unendlich Kleine zu argumentieren, zusätzliche Dringlichkeit. Ein zusätzliches Merkmal der Newton'schen Mechanik ist, dass ihre damit verbundene Sicht der physischen Welt die einer Welt kleiner materieller Partikel ist, die sich im Raum bewegen, diesen aber nicht dicht besiedeln. Die Kräfte, die auf Partikel wirken und ihre Bewegungen verursachen, sind auf zwei Arten eng mit Raum und Zeit verbunden. Erstens sind sie durch Newtons zweites Bewegungsgesetz verbunden, das besagt: Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. Dies schien Newton zu erfordern, dass Raum und Zeit einen absoluten Bezugsrahmen bilden, relativ zu dem absolute Bewegung von relativer Bewegung unterschieden wird (wobei Änderungen der absoluten Bewegung diejenigen sind, die aus Kräften resultieren, die auf das bewegte Objekt wirken). Für relative Bewegungen kann das zweite Gesetz falsch sein. Eine Person, die auf einem Bahnsteig steht, beschleunigt von einer Person in einem Zug weg, aus deren Sicht der Zug stationär ist. Aber es wirkt keine Kraft auf die Person oder den Bahnsteig, die sie dazu veranlasst, vom Zug wegzubeschleunigen. Zweitens schlägt Newtons Gravitationstheorie vor, dass es eine Gravitationsanziehung zwischen zwei beliebigen materiellen Partikeln gibt und dass diese Kraft direkt proportional zum Produkt der Massen der beiden Partikel und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist. Mit anderen Worten, die räumliche Trennung selbst ist ein kausaler Faktor, da sie die Größe einer fundamentalen Kraft bestimmt. Die Mathematik des Raumes als das paradigmatische kontinuierliche Ausmaß muss, so scheint es, als Umgang mit einem Aspekt derselben physischen Welt angesehen werden, die von den Naturphilosophen untersucht wird. Wenn man die Vision der Welt, die von der Newton'schen Mechanik vorgeschlagen wird, befürwortete, wäre es schwer, nicht irgendeine Form des Realismus in Bezug auf die Mathematik zu sein. Nur durch einen Instrumentalismus in Bezug auf die Newton'sche Physik – indem man sie als ein bloßes Berechnungshilfsmittel zur besseren Vorhersage und Steuerung von Ereignissen in der Welt der alltäglichen menschlichen Erfahrung ansieht – wäre man eher geneigt, sich zu einer Art Konzeptualismus in Bezug auf die Mathematik hingezogen zu fühlen.

Aber beachten Sie, wie sich der Boden so verschoben hat, dass keine der beiden Positionsformen völlig stabil ist. Die neue Form des Realismus erfordert, dass sich die Mathematik auf eine unabhängig existierende, natürliche Welt von materiellen Partikeln in Bewegung bezieht, nicht auf eine ewige und unveränderliche übernatürliche oder geistige Welt. Sie sieht sich daher mit ernsthaften Problemen hinsichtlich ihrer Fähigkeit konfrontiert zu sagen, wie es uns möglich sein kann, durch mathematische (im Gegensatz zu experimentellen) Methoden sicheres Wissen über diese Welt zu erlangen, denn diese materielle Welt wird explizit als eine beschrieben, die keine Affinität zum menschlichen Intellekt hat. Der Appell an den wohlwollenden christlichen Gott blieb sicherlich eine Möglichkeit für Gläubige, aber er wäre in einem Klima, in dem dies als ein Akt des Glaubens angesehen werden muss und somit nicht als etwas, wofür irgendeine rationale, philosophische Rechtfertigung gegeben werden kann. Die philosophische Form des Grundproblems müsste somit als unlösbar und als ungeeignetes Untersuchungsthema abgetan werden.

Die neue Form des Konzeptualismus stand ebenfalls vor ernsten Problemen. Der erste Problembereich ist der Begriff des Unendlichen. Wenn der menschliche Intellekt endlich ist, wie kann er – entweder angeboren oder durch seine notwendigerweise begrenzte Erfahrung angeregt – die Quelle eines Konzepts des Unendlichen sein? Nur ein solches Konzept wäre ausreichend für ein detailliertes mathematisches Verständnis der unendlichen Komplexität, die in kontinuierlichen Größen verborgen ist. Zweitens machten die Probleme, die durch die neue algebraische Mathematik und die verwendeten Schlussfolgerungsmethoden zur Lösung aufgeworfen wurden, ganz klar, dass diese Formen der Schlussfolgerung in keiner Weise so ausgelegt werden konnten, dass sie dem Muster der Schlussfolgerung aus expliziten Definitionen von Konzepten über deduktive logische Schritte oder Syllogismen zu Schlussfolgerungen entsprachen. Weil Definitionen, selbst in der Geometrie, häufig die Form algebraischer Gleichungen annahmen, beinhalteten Schlussfolgerungen daraus die Berechnung und den zentralen Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen. All dies ist explizit relationales Denken – es ist nicht in den Rahmen der Aristotelischen Syllogistik assimilierbar, die im Grunde eine Logik der Prädikation ist.

Zwei neue abweichende Strategien entstanden als Reaktion auf die veränderte Konfiguration der Mathematik und ihrer Verwendungszwecke. Die eine, die mit einer INSTRUMENTALISTISCHEN HALTUNG ZUR WISSENSCHAFT einherging, war konventionalistisch oder formalistisch. Da der Instrumentalismus in Bezug auf die Wissenschaft im achtzehnten und neunzehnten Jahrhundert nicht prominent war, war dies keine weit verbreitete Option. Die andere, von KANT vorgeschlagene, ist eine Form des Konstruktivismus, die eine kreative Synthese von Elementen sowohl aus dem Platonischen Realismus als auch aus dem Aristotelischen Konventionalismus darstellt.

Das Problem des Unendlichen lag für Konzeptualisten in ihrer Annahme, dass einem Wort nur dann eine Bedeutung beigemessen werden kann, wenn dieses Wort für eine Idee steht. Diese Idee musste in irgendeiner Weise etwas Unendliches darstellen oder dem Geist präsentieren und sollte ihren Ursprung entweder in der menschlichen Erfahrung oder in der Natur des endlichen, menschlichen Intellekts haben. Wie kann es eine endliche Darstellung von etwas Unendlichem geben, die die Unendlichkeit des Dargestellten adäquat ausdrückt? Berkeley 1995 kurzschloss dieses Problem, indem er argumentierte, dass ein Zeichen oder Wort durch den Gebrauch Bedeutung erlangen kann; es muss nicht für eine Idee stehen. Wenn ein Wort nicht für eine Idee steht, stellt es keine Realität dar; dennoch kann ein Zeichen nützlich sein, auch wenn es keine repräsentative Funktion hat oder wenn es Teil eines Systems ist, das wir zur Klassifizierung, Ordnung und Antizipation von Erfahrungen entwickelt haben. Dies deutet darauf hin, dass Mathematiker frei sind, Zeichen zu erschaffen, solange sie nicht behaupten, auf diese Weise überlegenes oder geheimnisvolles Wissen ausdrücken zu können. Das Problem für eine solche Position ist, wie Berkeleys 1947–57 scharfsinnige Kritik an Newtons mathematischen Methoden veranschaulicht, wie sichergestellt werden kann, dass wir, wenn wir versuchen, unsere neuen Zeichen zu verwenden, weder absurde noch unzuverlässige Ergebnisse erhalten.

Schwierigkeiten in Bezug auf Raum und Zeit und die Verwendung der Mathematik in der Newton'schen Mechanik bildeten einen der Schwerpunkte von Kants Kritik der reinen Vernunft. Seine Formulierung der Grundfrage zur Mathematik lautet: „Wie ist synthetisches Apriori-Wissen möglich?“ Seine Antwort ist, anzunehmen, dass es möglich ist, da die Newton'sche Mechanik akzeptiert wird und sich als funktionierend erwiesen hat, und zu fragen, was die notwendigen Bedingungen ihrer Möglichkeit sind. Seine Antwort lehnt traditionelle relationale Darstellungen von Raum und Zeit sowie Newtons absoluten Raum und absolute Zeit ab. Er argumentiert effektiv, dass Raum nicht auf räumliche Beziehungen reduziert werden kann, sondern als eine Einheit gedacht werden muss, die ihre eigenen charakteristischen Eigenschaften hat. Ein Argument, das er verwendet und das von Nerlich 1976 wiederholt und verstärkt wird, besteht darin, darauf hinzuweisen, dass der Unterschied zwischen einer rechten und einer linken Hand nicht durch die Charakterisierung der Beziehungen zwischen den Teilen der Hand erfasst werden kann; vielmehr hat es mit der Art und Weise zu tun, wie die Hand in den Raum „eingefügt“ ist. Nerlich verwendet sehr einfache Formen, die er „Knie“ nennt, um denselben Punkt zu veranschaulichen. Es ist nicht möglich, ein rechtes Knie durch Verschieben auf einer flachen Oberfläche so zu bewegen, dass es zu einem linken Knie wird. Dies kann nur erreicht werden, wenn wir das rechte Knie anheben, umdrehen und wieder in die Ebene einfügen, woraufhin es nun ein linkes Knie ist. Somit ist der Unterschied zwischen rechts und links nicht dem Objekt inhärent, sondern der Art und Weise, wie es im Raum „orientiert“ ist. Allerdings haben nicht alle Oberflächen dieses Merkmal. Die Oberfläche eines Möbius-Bandes ist so beschaffen, dass ein rechtes Knie, indem es einmal um das Band bewegt wird, zu einem linken Knie wird. Somit ist die „Orientierbarkeit“, die Fähigkeit, Rechts-Links-Unterscheidungen zu treffen, ein Merkmal des Raumes selbst, nicht der Dinge darin.

Kant über Raum, Zeit und Mathematik

Kants Position zu Raum und Zeit ist somit nicht-reduktionistisch, aber sie ist nicht realistisch. Er behauptet nicht, dass Raum und Zeit irgendeine von der menschlichen Wahrnehmung unabhängige Realität haben. Vielmehr sind Raum und Zeit Formen der menschlichen Anschauung und strukturieren daher alle menschliche Erfahrung. Wir gewinnen diese Begriffe nicht aus der Erfahrung und könnten dies auch nicht, weil sie Voraussetzungen sind und in aller Erfahrung vorausgesetzt werden. Alle menschliche Erfahrung findet in der Zeit statt, und alle Erfahrung von Dingen außerhalb unseres eigenen mentalen Lebens wird als im Raum sowie in der Zeit stattfindend erfahren. Die Grundlage der Arithmetik ist in der zeitlichen Struktur unserer Erfahrung zu finden, und die der Geometrie in ihrer räumlichen Struktur. Diese Strukturen gehören zur Welt der Erfahrung, aber sie haben diesen Status nur, weil die Formen der menschlichen Anschauung das sind, was diese Welt konstituiert und ihr Form verleiht.

Dass die Mathematik auf Apriori-Formen der Anschauung und nicht auf angeborene Ideen oder Strukturen des Intellekts zurückgeführt wird, ist bedeutsam und weist auf Kants Abweichung vom Aristotelischen Konzeptualismus hin. Er unterscheidet scharf zwischen logischer Deduktion, dem Denken von Begriffen ausgehend, und mathematischem Denken, das das Denken von der Konstruktion von Begriffen ausgehend beinhaltet. Es ist unsere Fähigkeit, mathematische Objekte in reiner Anschauung imaginativ zu konstruieren, die unsere Einsicht in ihre Eigenschaften begründet. Wir stellen uns vor, wie ein mathematischer Punkt die Kurve nachzeichnet, deren Koordinaten zu jeder Zeit die Gleichung für einen Kreis erfüllen, und verbinden dadurch die algebraische Definition mit dem, was sie konstruktiv definiert. Die algebraische Definition einer Kurve in der analytischen Geometrie wird somit als eine Definition im Sinne einer Anleitung zum Konstruieren eines Objekts angesehen und nicht als eine Aristotelische Definition eines Begriffs, die durch eine Spezifikation von Gattung und Unterscheidungsmerkmal erfolgt. Es ist unsere Fähigkeit, in unserer Vorstellung die Operationen auszuführen, die funktionalen Ausdrücken entsprechen, die den Grund bildet, der mathematisches Wissen möglich macht. Es ist die Tatsache, dass Raum und Zeit als Anschauungsformen so beschaffen sind, dass alle Elemente der Erfahrung als Größen erscheinen, die uns die universelle Anwendbarkeit der Mathematik zusichert. Es wird argumentiert, dass der Begriff der empirischen Realität und einer objektiven Ordnung der Erfahrung die Annahme erfordert, dass die kausale Ordnung von Ereignissen so beschaffen ist, dass sie Raum und Zeit bestimmte mathematische Strukturen auferlegt. Auf diese Weise versuchte Kant unter Verwendung einer modifizierten konzeptualistischen Strategie, die Grundlagen des Newton'schen Rahmens zu bewahren und gleichzeitig die Probleme zu vermeiden, die durch die Postulierung des absoluten Raumes und der absoluten Zeit auftraten.

Die Tatsache, dass die menschliche intellektuelle Konstruktion der Grund für mathematisches Wissen ist, bedeutet jedoch, dass das Unendliche, wenn es in der Mathematik überhaupt einen Platz haben soll, nur als die potentielle Unendlichkeit der unendlichen, niemals abgeschlossenen Reihe existieren kann, deren primäres Beispiel die Reihe der natürlichen Zahlen ist. Es kann nicht angenommen werden, dass eine tatsächlich unendliche Konstruktion durchgeführt wurde. Kant argumentiert, dass die menschliche Vernunft so strukturiert ist, dass sie dazu neigen wird, illegitim die Idee eines abgeschlossenen unendlichen Prozesses zu bilden, und dass dies immer eine Quelle von Illusionen ist. Wenn wir unendliche Reihen als Objekte behandeln wollen, werden wir sie nicht als Dinge betrachten können, die jemals abgeschlossen sind. Das Denken in Bezug auf sie kann daher nicht denselben Prinzipien gehorchen wie das Denken über vollständig bestimmte Objekte. Insbesondere kann man sich in solchen Fällen nicht auf das Denken mittels reductio ad absurdum verlassen.

Innerhalb eines weitgehend Kantischen Rahmens wurde ein Großteil der Arbeit in der Mathematik und ihren Grundlagen bis ins neunzehnte Jahrhundert hinein verfolgt, insbesondere in Deutschland. Die Arbeit von Weierstrass 1815–97 und Cauchy 1789–1857 schien Kants Position zum Unendlichen weiter zu rechtfertigen. Es gelang ihnen, Definitionen von Grenzwerten und Konvergenz für unendliche Reihen zu liefern, die nur den Begriff eines potentiell Unendlichen verwenden und keine Berufung auf die tatsächliche Vollendung einer unendlichen Folge von Annäherungen nehmen. Diese Arbeit schien die Grundlagen der Analysis zu sichern, ohne das tatsächlich Unendliche anzurufen.