Frege, Russell und Wittgenstein

Frege

Die Begriffsschrift

Frege erfand eine Begriffsschrift als Sprache, frei von jeglicher Intuition, wobei er diesen Begriff im kantischen Sinne verstand als mögliche Vorstellungen von Objekten im Bewusstsein von Erfahrenden. Eine solche Sprache war notwendig, da eine Theorie, die teilweise auf der angeblichen Intuition beruht, nicht objektiv sein kann. Die Begriffsschrift sollte dazu dienen, in der Mathematik vollständige Strenge zu erreichen und gleichzeitig die Natur ihrer zentralen Begriffe zu offenbaren.

Nach Freges Auffassung, wie wir sahen, sind traditionelle mathematische Beweise problematisch, weil sie informell sind; sie basieren auf der Vorstellung, dass Beweis in gewisser Weise die Beschaffenheit des Geistes einbezieht, statt ausschließlich von objektiver mathematischer Wahrheit abzuhängen. Dies könne, so Frege, nicht richtig sein. Er war nicht skeptisch gegenüber mathematischem Wissen; wir haben tatsächlich Zugang zu mathematischen Wahrheiten, doch diese Überlegungen zeigen, dass wir nicht wissen, wie wir diesen Zugang erlangen. Um—ohne Rückgriff auf Intuition—zu beurteilen, ob arithmetische Wahrheiten beweisbar sind, benötigen wir ein Mittel, Beweise so darzustellen, dass jeder Schritt explizit ist. Nur so lässt sich erkennen, ob eine Lücke in einem informellen Beweis lediglich scheinbar oder echt ist, im Sinne einer unzulässigen Berufung auf Intuition. Die Begriffsschrift liefert das notwendige technische Instrumentarium, um Beweise übersichtlich darzustellen. In den Grundlagen zeigt Frege damit, dass die Wahrheiten der Arithmetik allein durch Logik garantiert sind.

Freges Ziele sind nicht neu. Wie Kant und andere Vorgänger interessierte er sich für die Erkenntnistheorie der Mathematik und wollte zeigen, dass mathematisches Wissen gesichert ist. Er wollte auch die Begriffe der Mathematik klären. Neu ist die Art und Weise, wie er diese Ziele mittels einer speziell entwickelten Begriffsschrift verfolgt. In seiner Ambition wird die Begriffsschrift nur durch Leibniz’ Idee einer universellen Sprache erreicht, in der alles vollständig klar und eindeutig ausgedrückt werden kann; dem am nächsten kam Boole mit seinem logischen Kalkül, das jedoch viel weniger leistungsfähig war und ohnehin für weniger ehrgeizige Zwecke entwickelt wurde. Boole wollte formale Aspekte des Denkens erfassen, während Frege eine Sprache anstrebte, die den Inhalt offenbart.

Darüber hinaus bietet die Begriffsschrift eine Theorie der Denkgesetze in normativem Sinne: Sie beschreibt, wie wir denken sollten, nicht empirisch, wie tatsächlich gedacht wird. Sie orientiert sich an den Gesetzen der Wahrheit und nicht an der Psychologie.

Funktion und Objekt

Eine wesentliche Innovation der Begriffsschrift ist die Aufgabe der Subjekt-Prädikat-Analyse von Aussagen zugunsten einer Funktions-Objekt-Analyse. Traditionell lehrte die Logik, dass eine Aussage ein Subjekt enthält, über das etwas ausgesagt wird: In 'Sokrates ist weise' wird Weisheit über Sokrates ausgesagt. Frege verwendet stattdessen das mathematische Konzept der Funktion. Eine Funktion nimmt ein Objekt, das Argument, und weist ihm ein anderes Objekt zu, den Funktionswert für dieses Argument. So ist beispielsweise das Verdoppeln eine Funktion, die 0 auf 0, 1 auf 2, 2 auf 4 und so weiter abbildet. Ebenso steht im natürlichen Sprachgebrauch 'die Mutter von' für eine Funktion, die Rembrandt auf Cornelia van Zuytbrouck, Mozart auf Anna Maria Pertl und so weiter abbildet.

Frege beschreibt Funktionen als unvollständig, da sie durch ein Objekt ergänzt werden müssen. Dies lässt sich erläutern: Die Fähigkeit, eine Funktion zu benutzen, um Argumente auf Werte abzubilden, kann als Erfassung eines 'Lücken'-Ausdrucks verstanden werden: '( ) + 2' oder 'Die Mutter von ( )'. Ebenso erzeugt das Entfernen eines Namens aus einem komplexen Namen eine Funktion: Aus '(2 + 3) × 7' wird '(( ) + 3) × 7'. Diese Bemerkungen beziehen sich auf Namen und Ausdrücke, also sprachliche Elemente; Frege nimmt an, dass ontologische Kategorien durch sprachliche Kategorien gespiegelt werden.

Konzepte sind Funktionen, deren Werte Wahrheitswerte sind. Der Wert für ein beliebiges Argument der Funktion '( ) + 3 = 5' ist ein Wahrheitswert. In Freges Terminologie bezieht sich '1 + 3 = 5' auf das Falsche, '2 + 3 = 5' auf das Wahre. Ebenso beim Eliminieren von Namen aus Sätzen: 'Rembrandt war Maler' ohne 'Rembrandt' ergibt '( ) war Maler', was das Wahre bezeichnet, wenn Rembrandt eingesetzt wird, und das Falsche, wenn Mozart eingesetzt wird.

Die Struktur lässt sich so darstellen: Sprache enthält Namen oder Singularterme, funktionale Ausdrücke und Sätze, die der Welt Objekte, Funktionen und Wahrheitswerte zuordnen.

Quantifikation

Ein Vorteil der Funktions-Objekt-Analyse liegt darin, dass sie Sätze wie 'England besiegte Frankreich' und 'Frankreich wurde von England besiegt' nicht als unterschiedliche Aussagen interpretiert, wie es die Subjekt-Prädikat-Theorie tun müsste. Ihr großer Nutzen zeigt sich jedoch in der elegante und mächtigen Behandlung der Quantifikation.

Betrachten wir den Satz 'Alle Fische haben Flossen'. In der Subjekt-Prädikat-Theorie sagt der Satz allen Fischen Flossenbesitz nach. Aber was für ein Objekt ist 'alle Fische'? Wenn dies ein Objekt irgendeiner Art ist, warum sollte man die Verneinung nicht als 'Nicht alle Fische haben Flossen' ausdrücken, statt 'Einige Fische haben keine Flossen'?

Betrachten wir 'Jeder liebt jemanden'. Wenn 'jeder' und 'jemand' jeweils bestimmte Dinge darstellen, ist schwer zu erkennen, warum der Satz zwischen 'Es gibt jemanden, den jeder liebt' und 'Jeder liebt jemanden, möglicherweise unterschiedliche Personen' mehrdeutig ist.

Freges Theorie behandelt solche Fälle elegant. Bei 'Es gibt einen schwarzen Schwan', das die Funktionsausdruck '( ) ist ein schwarzer Schwan' enthält, wird die Funktion normalerweise durch ein Objekt vervollständigt. Hier sehen wir sie als Funktion von Funktionen, ausgedrückt durch 'Es gibt ein x, sodass ( )x', was zu 'Es gibt ein x, sodass x ein schwarzer Schwan ist' führt. Für 'Alle Fische haben Flossen' betrachten wir den Funktionsausdruck '( ) ist ein Fisch impliziert ( ) hat Flossen' und wenden die Funktion von Funktionen auf alle x an: 'Für alle x, wenn x ein Fisch ist, dann hat x Flossen'. Die Negation lautet: 'Nicht alle Fische haben Flossen', also 'Einige Fische haben keine Flossen'.

'Jeder liebt jemanden' kann auf zwei Weisen aus dem Funktionsausdruck '( ) liebt ...' gebildet werden. Erstens: 'Für alle x, ( )x' auf die erste Lücke angewendet ergibt 'Für alle x, x liebt ...'. Danach 'Es gibt ein y, sodass ( )y' ergibt 'Es gibt ein y, sodass alle x y lieben'. Zweitens: 'Es gibt ein y, sodass ( )y' auf die zweite Lücke angewendet ergibt 'Es gibt ein y, sodass ( ) y liebt'. Danach 'Für alle x, ( )x' auf die erste Lücke ergibt 'Für alle x gibt es ein y, sodass x y liebt'.

Die Mehrdeutigkeit wird durch die Satzkonstruktion bestimmt, indem festgelegt wird, welcher Funktionsausdruck die größte Reichweite hat. Dies ist ein neues wichtiges Konzept; es zeigt, dass Sätze nicht als bloße Aneinanderreihungen syntaktischer Einheiten verstanden werden.