Frege, Russell und Wittgenstein

Frege

Die Grundlagen der Arithmetik

Frege legte sein Projekt zur Philosophie der Mathematik in den Grundlagen dar. Die vorangehenden Abschnitte skizzierten Freges formales System und seine Gründe, warum die Untersuchung der Grundlagen der Mathematik ein solches System erfordert; es überrascht daher, dass die Argumente in den Grundlagen informell präsentiert werden. Dennoch bildet der in der Begriffsschrift etablierte konzeptionelle Rahmen die Grundlage von Freges positiven Vorschlägen in den Grundlagen. Die vollständige Umsetzung dieses Vorschlags—seine Implementierung im formalen System der Begriffsschrift—führte Frege später in den Grundgesetzen der Arithmetik durch.

Freges drei Maximen

In der Einleitung der Grundlagen nimmt Frege drei Prinzipien an: die psychologische von der logischen und die subjektive von der objektiven Ebene stets scharf zu trennen; niemals nach der Bedeutung eines Wortes isoliert zu fragen, sondern nur im Kontext einer Aussage; und nie die Unterscheidung zwischen Begriff und Objekt aus den Augen zu verlieren. Die erste und dritte Maxime sind selbsterklärend. Die zweite wird als Kontextprinzip bekannt. Obwohl sie weithin akzeptiert wurde, bleibt sie umstritten. Ebenso wird diskutiert, ob Frege an diesem Prinzip in den Grundgesetzen festhielt, wo er scheinbar die Unterscheidung zwischen Namen und Sätzen aufhob und damit das Kontextprinzip untergrub.

Frege liefert kein Argument für das Kontextprinzip, aber seine Motivation ist im Antipsychologismus erkennbar. Psychologismus und eine ideenbasierte Bedeutungstheorie sind natürliche Verbündete. Letztere besagt, dass Wörter durch Stellvertretung für Ideen Bedeutung haben, was impliziert, dass Wörter isoliert Bedeutung besitzen. Dies widerspricht dem Kontextprinzip. Nach Annahme des Kontextprinzips ist die Bedeutung eines Wortes abgeleitet—sie ergibt sich aus dem Beitrag zur Bedeutung eines Satzes. Ist die Satzbedeutung objektiv, so ist auch die Wortbedeutung objektiv. Das Akzeptieren des Kontextprinzips erscheint somit integraler Bestandteil einer antipsychologischen Sichtweise.

Logizismus und Strenge

Frege präsentierte die Grundlagen als Beitrag zu mehr Strenge in der Mathematik, was für ihn die Verwendung gesicherter und expliziter Beweismethoden zusammen mit klaren und präzisen Definitionen bedeutete. Er sah sein Projekt als Klärung der grundlegendsten mathematischen Konzepte, insbesondere des Zahlbegriffs. Sein Hauptziel war, die Grundlagen mathematischer Aussagen zu verdeutlichen; es ging ihm nicht primär darum, Zweifel an der Wahrheit der Mathematik zu beseitigen, sondern die Abhängigkeit der Wahrheiten voneinander aufzuzeigen.

Das Endziel seiner Untersuchung ist der Logizismus, die These, dass Mathematik Logik ist. Für Frege ist dies leicht begründbar: Da Mathematik uneingeschränkt anwendbar ist, kann sie nicht Produkt einer speziellen Wissenschaft sein und muss daher Teil der einzigen vollständig allgemeinen Wissenschaft, der Logik, sein oder sich darauf reduzieren lassen.

Arithmetische Aussagen

Frege richtet zunächst seine Aufmerksamkeit auf den Status arithmetischer Formeln. Dazu gehören die einfachsten Aussagen, wie 713 + 286 = 999. Er untersucht die Theorien verschiedener Autoren, um aus deren Fehlern zu lernen. Kant behauptet, solche Formeln seien nicht beweisbar, weil sie synthetisch und keine selbstverständlichen Axiome seien, da es eine unendliche Zahl von ihnen gibt. Jede Formel müsse als Produkt der Intuition betrachtet werden. Frege hält dies für absurd: Wir haben keine Intuition großer Zahlen, und wenn doch, wäre ihre Wahrheit sofort ersichtlich, was sie nicht ist; man muss die Rechnung 713 + 286 = 999 ausführen, um die Wahrheit zu prüfen. Kant wurde offenbar durch die Konzentration auf relativ kleine Zahlen in die Irre geführt. Da jedoch keine klare Grenze zwischen kleinen und großen Zahlen besteht, kann dies nicht die Grundlage arithmetischen Wissens sein. Arithmetische Wahrheiten müssen also beweisbar sein.

Leibniz behauptete, arithmetische Formeln seien aus den Definitionen jeder Zahl in Bezug auf ihre Vorgänger ableitbar. So etwa zur Beweisführung von 2 + 2 = 4: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 1 + 2 = 4 aus den vorherigen, 2 + 2 = 4 durch Substitution. Frege weist darauf hin, dass dies kein vollständiger Beweis ist, da das Assoziativgesetz (a + (b + c) = (a + b) + c) fehlt, auf dem es beruht. Das Assoziativgesetz ist ein allgemeines arithmetisches Gesetz, daher benötigen wir eine Erklärung für unser Wissen um allgemeine arithmetische Wahrheiten. Frege stimmt jedoch mit Leibniz überein, dass arithmetische Formeln beweisbar sind und Zahlen als Nachfolger ihrer Vorgänger definiert werden sollen.

Mill befürwortete die Definition Leibniz’, leugnete jedoch, dass sie logische Tatsachen angibt. Sie beschreibe vielmehr Fakten darüber, dass ein Aggregat, das unsere Sinne anspricht, umgeordnet werden kann. Wäre dies korrekt, könnten wir keine Ideen oder Lösungen einer Gleichung zählen. Wie bei Leibniz übersieht Mill die Notwendigkeit des Assoziativgesetzes und kann daher allgemeine mathematische Wahrheiten nicht erklären. Jede Definition beschreibt nur das Besondere der jeweiligen Zahl, sodass sie nicht durch ein allgemeines Gesetz erfasst werden kann. Zudem kann Mill die Null nicht erklären. Die Annahme, dass wir mit kleinen Zahlen beginnen und andere daraus konstruieren, scheitert, da keine klare Grenze zwischen großen und kleinen Zahlen existiert.

Arithmetische Gesetze

Frege argumentiert, dass numerische Formeln aus Definitionen zusammen mit einigen allgemeinen Gesetzen beweisbar sind und weder beobachtbare Fakten behaupten noch voraussetzen. Mill behauptete, arithmetische Gesetze seien induktiv aus empirischen Wahrheiten bekannt; Addition bestehe darin, ein Aggregat aus anderen Aggregaten zu bilden, und wir verallgemeinern die Gesetze über Addition aus vielen Beobachtungen dieses Prozesses. Frege erklärt, dass Mill die Bedeutung einer Aussage mit ihrer besonderen Anwendung verwechselt. Eine spezielle Verwendung kann zu empirischen Wahrheiten führen; dies als Sinn der Aussage zu interpretieren, gibt ihr empirischen Inhalt, was Mill zufolge falsch ist. Frege zweifelt nicht an der Anwendbarkeit der Mathematik; sie wäre ein Spiel ohne Anwendung. Entscheidend sind alle möglichen Anwendungen, nicht einzelne.

Frege stellt auch die vermeintliche induktive Basis in Frage. Sie kann nicht aus numerischen Formeln bestehen, da sonst der Zweck der Definitionen, nämlich Beweise zu ermöglichen, verloren geht. Zudem gibt es keine Einheitlichkeit in der Basis: Jede Zahl nimmt in der Serie eine wesentliche Position ein, die für ihre Eigenschaften entscheidend ist. Zahlen lassen sich nur unter einem Konzept zusammenfassen, weil ihre Eigenschaften aus der Definition folgen; allgemeine Gesetze ergeben sich aus dem, was für ihre Entstehung gemeinsam ist. Daraus folgt, dass arithmetische Wahrheiten a priori bekannt sind.

Ist Arithmetik analytisch oder synthetisch a priori?

Wenn Arithmetik synthetisch a priori ist, im Kantischen Sinn „auf Erfahrung anwendbar, aber nicht aus Erfahrung gelernt“, dann weil eine Intuition erforderlich ist, um arithmetische Wahrheiten zu erkennen. Dies kann jedoch nicht die Grundlage unseres Wissens um arithmetische Gesetze sein, da wir nicht im Voraus wissen, in welcher Weise eine Zahl anderen Zahlen ähnelt oder sie repräsentiert. Die universelle Anwendbarkeit zeigt, dass arithmetische Wahrheiten nicht auf Intuition beruhen, sondern die Arithmetik ein Zweig der Logik ist. Das Ziel der Grundlagen ist es, durch Reduktion der Arithmetik auf Logik zu zeigen, dass ihre Wahrheiten unabhängig von Intuition sind. Kant und seine Anhänger glaubten, Mathematik müsse synthetisch sein, da sie substantielles Wissen liefert; Frege wollte zeigen, dass ihr substantielle Charakter anders begründet ist.

Sind Zahlen Eigenschaften äußerer Dinge?

Bislang ist festgestellt, dass Zahlen in Bezug auf 1 und die Nachfolgerfunktion definiert sind. Arithmetische Formeln sind aus diesen Definitionen und bestimmten allgemeinen Gesetzen beweisbar, die wiederum aus dem Zahlbegriff abgeleitet werden. Frege untersucht nun direkt dieses Konzept. Außerhalb arithmetischer Berechnungen verwenden wir Zahlen meist adjektivisch, wie in den drei Weisen. Dies könnte den Eindruck erwecken, dass 'drei' ähnlich wie 'weise' eine Eigenschaft eines Aggregats bezeichnet. Dieses Modell ist jedoch irreführend; beim Sprechen von den Weisen wird jeder Mann als weise betrachtet, aber bei 'drei Männer' lässt sich nicht ableiten, dass jeder Mann drei ist.

Das Problem könnte umgangen werden, indem man den Inhalt einer Süßigkeitentüte als 'diese mehrfarbigen Süßigkeiten' beschreibt, wobei jede Süßigkeit gleichfarbig ist. Frege diskutiert dies nicht, sondern hat andere Bedenken. Zahlen werden als Antwort auf 'Wie viele?' verwendet, aber man kann nicht einfach auf ein Aggregat zeigen und fragen 'Wie viele?', ohne die Rückfrage 'Wie viele was?' zu provozieren. Ein Stapel Karten kann zwei Packungen, acht komplette Farben oder mehr sein. Wäre Zahl eine Eigenschaft eines Aggregats, hätte sie widersprüchliche Eigenschaften. Welcher Zahl einem Aggregat zugeordnet wird, hängt davon ab, wie wir es betrachten.

Frege lehnt es ab, die Zahl als Eigenschaft äußerer Dinge zu sehen. Auch wenn die Bezeichnung unserer Wörter konventionell und interessengeleitet ist, bleibt die Objektivität der Fakten über die von unseren Wörtern Bezeichneten unberührt. Objektivität der Zahl impliziert nicht ihre konkrete Existenz in Raum und Zeit. Ein Fakt ist objektiv, wenn wir das Wissen darüber teilen können. Subjektive Erfahrung ist Voraussetzung für die Beherrschung von Farbwörtern, aber der Inhalt von Farburteilen bleibt objektiv. Die Unterscheidung zwischen subjektiv und objektiv ist für Frege scharf; Zahlen sind keine Ideen, da diese privat wären und Arithmetik nicht übereinstimmend kommunizierbar wäre.

Frege folgert, dass Zahlen weder Eigenschaften äußerer Dinge noch subjektiv sind. Sie sind nicht sinnlich und objektiv. Er untersucht weiter, ob Zahlen bestimmte Mengen oder Multituden sind. Das Problem ist, dass dies keine Erklärung für 0 und 1 liefert; Mengen können keine gewöhnlichen Objekte enthalten, daher könnten sie Einheiten enthalten. Aber was sind Einheiten? Einheiten sind keine Eigenschaft der Objekte. Auch die Identität oder Verschiedenheit von Einheiten führt zu Problemen: Jede Zahl ist ein Aggregat von Einheiten, aber wir können nicht unendlich viele verschiedene Einheiten annehmen. Auch Zeit und Raum helfen nicht, da Unterschiede zwischen Objekten oft weder räumlich noch zeitlich begründet sind. Abstraktion von Unterschieden erzeugt schließlich Mehrfachzahlen, die das Problem nicht lösen. Die philosophische Analyse von Zahlen darf daher keine Unterscheidung erzwingen, die der Natur der Zahl widerspricht.