Frege, Russell und Wittgenstein

Frege

Freges Darstellung der Zahl

Aus seiner Übersicht der vorhandenen Vorschläge schließt Frege, dass Zahl keine Eigenschaft äußerer Dinge ist, noch aus den Eigenschaften der Dinge abstrahiert wird, wie es beispielsweise bei der Farbe der Fall sein könnte; sie sind weder physisch noch subjektiv. Keine der Theorien erklärt zufriedenstellend, wovon Zahl ausgesagt wird. Und jene Theorien, die versuchen, Zahl in Bezug auf Mengen zu definieren, scheitern daran, den Begriff der Einheit zu erklären—ein Begriff, der ohnehin widersprüchlich erscheint, da Einheiten sowohl identisch als auch unterscheidbar sein müssen.

Nachdem er alle Versionen des Abstraktionismus verworfen hat, präsentiert Frege seine eigene Darstellung. Zunächst bemerkt er, dass, wenn wir sagen „Hier sind sechzig Trauben“ nach der Aussage „Hier sind zwei Traubenbündel“, wir nicht implizieren, dass sich etwas Äußeres verändert hat. Es gibt eine Änderung der Terminologie, die eine Änderung des Begriffs anzeigt. Zahl wird also über Konzepte ausgesagt. Tatsächlich scheint dieses Ergebnis im System der Begriffsschrift offensichtlich. Betrachten wir den Ausdruck „Die Zahl der ( ) ist n“. Offensichtlich ist dies unvollständig. Um zu bestimmen, welche Art von Funktion er ausdrückt, müssen wir wissen, was die Argumentstelle füllen kann. Könnte ein Objekt das Argument sein? Nein; „Die Zahl von Matisse ist n“ ergibt keinen Sinn. Versuchen wir die nächste mögliche Substitution, eine Funktion von Objekten: „Die Zahl der x, sodass die Mutter von x ist n“. Wieder Unsinn. Versuchen wir also ein Konzept: „Die Zahl der x, sodass x eine Traube ist, ist n“. Dies ergibt endlich Sinn. Der ursprüngliche Ausdruck „Die Zahl der ( ) ist n“ drückt also ein Konzept von Konzepten aus; „Die Zahl der ( )“ ist eine Funktion von Konzepten.

Warum, da dieses Ergebnis in Freges System so leicht erreicht wird, unternimmt er solche Anstrengungen, alternative Ansichten zu verwerfen, von denen einige offensichtlich unplausibel sind? Ein Hauptgrund ist, dass die Überprüfung von Zahltheorien die verschiedenen Schwierigkeiten offenlegt, die jede adäquate Theorie lösen muss, was einen guten Test bietet. Frege behauptet, seine Theorie bestehe diesen Test. Es ist lehrreich zu sehen, wie.

Zunächst stellt Null für Freges Ansicht kein Problem dar; sie wird wie andere Zahlen behandelt. „Die Zahl der x, sodass x eine Traube ist, ist 0“ bedeutet einfach, dass es keine Trauben gibt, dass also kein Objekt das Konzept „( ) ist eine Traube“ erfüllt.

Zweitens macht die Darstellung die Zahl nicht subjektiv. Die Zuschreibung von Zahl ändert sich zwar je nachdem, wie wir eine Vielzahl betrachten, doch dies ist kein subjektives Phänomen, da jede Zuschreibung eine objektive Tatsache über verschiedene Konzepte berichtet. Sie erscheint nur subjektiv, wenn wir vergessen, dass die abstrakte Sphäre vollständig objektiv ist. Frege weist darauf hin, dass die Versuchung, anders zu denken, daraus entsteht, das Kontextprinzip zu vernachlässigen, was zu einer ideellen Auffassung von Bedeutung verleiten könnte.

Drittens erkennen wir nun, warum Zahlzuweisungen, obwohl sie von Vielfalt abhängen, vereinheitlichend wirken; sie erfassen die Menge als Ganzes. Wir vereinigen die zu zählenden Objekte unter einem allgemeinen Konzept. Nicht alle Konzepte sind für Zahlzuweisungen geeignet; wir können zum Beispiel nicht einfach von „der Zahl der blauen Dinge“ sprechen, da wir wissen müssen, welche Art von Dingen wir betrachten. Konzepte, die in sich Informationen über die Arten enthalten, die sie sammeln, werden Sortalbegriffe genannt, zum Beispiel Katze, Tisch, Nationalstaat, Satz. Bei Sortalbegriffen erfordert das Verständnis nicht nur, dass wir sie auf die richtigen Dinge anwenden können, sondern auch, dass wir diese Dinge voneinander unterscheiden und als dasselbe wiedererkennen können—mit anderen Worten, sie beinhalten Kriterien für Individuation und Identität.

Viertens erklärt Freges Theorie die universelle Anwendbarkeit von Zahlen. Da Zahl Konzepten zugeschrieben wird, spielt es keine Rolle, ob die unter das Konzept fallenden Objekte abstrakt oder konkret sind, vorausgesetzt, das Konzept selbst ist ein Sortal.

Platonismus

Freges Ansicht ist, dass Zahlen Objekte sind und dass Zahl selbst ein Sortalbegriff ist. In dem Ausdruck „Die Zahl der Fs ist n“ erscheint der Zahlterm „n“ als Bestandteil. Er bezeichnet nicht selbst eine Eigenschaft von F. Tatsächlich benennt er ein Objekt, da Objekte Bestandteile von Funktionen sein können. Frege begründet seine Ansicht, dass Zahlen Objekte sind, recht knapp: Er sagt, dass wir von der Zahl 1 sprechen, wobei der Gebrauch des bestimmten Artikels zeigt, dass wir einen Singularbegriff verwenden, sodass Zahlen die Referenten von Singularbegriffen sind—also Objekte; und er fügt hinzu, dass wir in der Mathematik Aussagen wie 2 + 3 = 5 machen, in denen die Zahlen als Objekte behandelt werden, zum Beispiel flankieren sie das Identitätszeichen; und dass wir Zahlen zählen, zum Beispiel die vier Primzahlen zwischen 0 und 10.

Die Angelegenheit ist jedoch nicht so einfach, da wir Zahlen auch adjektivisch verwenden—„Es gibt sechs Einkaufstage bis Weihnachten“. Frege scheint zwei Antworten zu haben: Erstens, dass Wissenschaft und Mathematik Vorrang haben, und zweitens, dass alle adjektivischen Verwendungen als Identitätsaussagen umformuliert werden können, sodass die obige Aussage zu „Die Zahl der Einkaufstage bis Weihnachten ist sechs“ wird. Das Problem bei diesen Behauptungen ist, dass nicht klar ist, welche Analyseform Vorrang haben sollte. Wir können numerisch bestimmte Quantoren wie folgt definieren: Es gibt genau 0 Fs, wenn für alle x nicht Fx gilt. Es gibt genau n + 1 Fs, wenn es ein x gibt, das F ist, und genau n Fs existieren, die von x verschieden sind. Diese Definitionen funktionieren jedoch nur, wenn wir annehmen, dass unendlich viele Objekte existieren.

Die Definition der Zahl

In Abschnitt 62 der Grundlagen geschieht etwas Bemerkenswertes. Frege fragt: „Wie werden uns Zahlen gegeben?“ und beruft sich sofort auf das Kontextprinzip, um diese Frage in eine über die Bedeutung von Sätzen mit Zahlbegriffen zu verwandeln. Da er behauptet, bereits festgestellt zu haben, dass Zahlen Objekte sind, sagt er: „Wenn wir das Symbol a zur Bezeichnung eines Objekts verwenden, müssen wir ein Kriterium haben, um in allen Fällen zu entscheiden, ob b dasselbe ist wie a, selbst wenn es nicht immer in unserer Macht steht, dieses Kriterium anzuwenden.“

Der Abschnitt ist bemerkenswert, weil Frege eine schwierige Frage über die Natur der Zahl in eine Frage über Bedeutung verwandelt. Dies wird oft als erster Fall des „linguistischen Wendepunkts“ zitiert. Zudem zieht Frege sofort aus dieser Beobachtung das Konzept eines Identitätskriteriums: Wir können über eine Menge von Objekten nur sprechen, wenn wir etabliert haben, was es bedeutet, diese Objekte als dasselbe wiederzuerkennen.

Der erste Schritt bei der Definition der Zahl ist also die Festlegung der Identitätsbedingungen. Frege übernimmt, nach Hume, folgende Definition der numerischen Identität: Die Zahl der Fs ist gleich der Zahl der Gs, wenn es eine eins-zu-eins-Korrespondenz von Fs zu Gs gibt. Dies wird oft fälschlich als Freges kontextuelle Definition der Zahl bezeichnet. Frege hinterfragt dies; sollten wir das Identitätskriterium für Zahlen nicht vielmehr aus einem allgemeinen Verständnis von Identität ableiten, etwa nach Leibniz, und aus dem Zahlbegriff? Nach Frege sollten wir in umgekehrter Richtung vorgehen: Wir legen Bedingungen der numerischen Identität fest, um den Zahlbegriff zu klären. Er vergleicht dies mit Richtungen und Parallelität. Hier gilt: Die Richtung von a ist gleich der Richtung von b, wenn a parallel zu b ist. Diese Gleichung erklärt den Begriff der Richtung. Die Bedeutung in anderen Kontexten wird so definiert, dass die Austauschbarkeit identischer Richtungen gewahrt bleibt.

An dieser Stelle erhebt Frege einen bekannten Einwand. Wir haben nur eine Identitätsdarstellung in eingeschränkten Kontexten erhalten; insbesondere wissen wir nicht, ob „Die Richtung von a ist Julius Caesar“ gilt. Die Definition ist offensichtlich unzureichend. Wir können nicht sagen, „Julius Caesar ist eine Richtung, wenn es eine Linie b gibt, sodass Julius Caesar die Richtung von b ist“, da dies zirkulär wäre. Ebenso wenig können wir sagen, Julius Caesar sei eine Richtung, wenn dies nach der Definition eingeführt wird, denn dann wäre die Definition eine Eigenschaft eines Objekts. Einmal eingeführt, kann die Definition als Aussage über das Objekt gesehen werden, befindet sich dann jedoch auf derselben Ebene wie alle anderen Aussagen darüber. Zudem liegt der Nutzen von Identitätsaussagen darin, dass wir Dinge erkennen können, wenn sie uns auf unterschiedliche Weise präsentiert werden. Der aktuelle Vorschlag macht die Darstellungsart intrinsisch für die Identität des Objekts und gefährdet somit den Nutzen von Identitätsaussagen.

Eine weitere Möglichkeit, die Unzulänglichkeit dieser „Definition“ zu erkennen, besteht darin, dass das Festlegen eines Identitätskriteriums nicht eindeutig bestimmt, welches Objekt die Anzahl der Äpfel am Baum ist. Es ist klar, dass dasselbe Identitätskriterium für folgende Gleichung gilt: Die Zahl der Fs + 1 ist gleich der Zahl der Gs + 1. Die Moral scheint zu sein, dass wir keine Menge von Objekten spezifizieren, wenn wir nur Singularbegriffe und ein anwendbares Identitätskriterium liefern. Die Frage lautet daher, was noch erforderlich ist.

Die explizite Definition der Zahl

Der Vergleich zwischen Zahlbegriffen und Richtungsbegriffen veranlasst Frege, eine explizite Definition der Zahl durch logische Abstraktion zu formulieren, ein Verfahren, das Mathematikern vertraut ist. Man beginnt mit einer Menge von Objekten, zum Beispiel Linien. Die Objekte können in verschiedener Weise miteinander in Beziehung stehen; einige dieser Beziehungen könnten Äquivalenzrelationen sein, die die Menge vollständig in disjunkte Unterbereiche aufteilen. Äquivalenzrelationen sind reflexiv, symmetrisch und transitiv. Die Äquivalenzklasse eines Objekts m umfasst alle Objekte, die in Relation zu m stehen. Jedes Objekt gehört mindestens zu seiner eigenen Äquivalenzklasse. So erschöpfen die Äquivalenzklassen die ursprüngliche Menge. Zwei Äquivalenzklassen überlappen entweder vollständig oder gar nicht. Wir können nun diese Äquivalenzklassen als neue Objekte behandeln, wobei das Identitätskriterium durch die Äquivalenzrelation der ursprünglichen Objekte bestimmt wird. Im Fall von Linien ist ‚parallel zu‘ eine Äquivalenzrelation: Die Richtung zweier Linien ist identisch, wenn sie parallel sind. Richtungen können mit den Äquivalenzklassen von Linien identifiziert werden: Die Richtung von a ist die Erweiterung des Konzepts ‚parallel zu a‘, also die Äquivalenzklasse von a unter der Parallelitätsrelation.

Analog erhalten wir für Zahlen: Die Zahl der Fs ist die Erweiterung des Konzepts ‚gleichzählig zu F‘, also die Äquivalenzklasse von F unter der Beziehung der Gleichzähligkeit zwischen Konzepten. Nun wissen wir, was eine Zahl ist. Eine Zahl ist die Erweiterung eines Konzeptes von Konzepten. Wenn wir insbesondere wissen, dass Julius Caesar keine Erweiterung ist, wissen wir beruhigend, dass Julius Caesar keine Zahl ist. Damit scheint das ‚Julius Caesar‘-Problem zumindest teilweise gelöst. Wir benötigen jedoch noch eine systematische Methode zur Definition jeder Zahl in der Zahlenfolge. Aus diesen und einer Definition der Nachfolgerfunktion, zusammen mit der Logik, lassen sich die arithmetischen Axiome ableiten, wie sie von Peano gegeben werden.

Die Definition der einzelnen Zahlen

Beginnen wir mit 0. Die Zahl der Fs ist 0, genau dann, wenn keine Fs existieren. Um 0 zu definieren, benötigen wir also ein Konzept, das auf kein Objekt zutrifft. Da jedes Objekt identisch mit sich selbst ist, trifft das Konzept des Nicht-Identischen zwar zu, enthält jedoch garantiert kein Objekt. Somit ist 0 die Erweiterung des Konzepts ‚gleichzählig mit dem Konzept, das nicht identisch mit sich selbst ist‘.

Um 1 zu definieren, benötigen wir ein Konzept, das auf genau ein Objekt zutrifft. Verwenden wir das Konzept, identisch mit 0 zu sein: 1 ist die Erweiterung des Konzepts ‚gleichzählig mit dem Konzept, identisch mit 0‘. Allgemein gilt, wenn n definiert ist: n' ist die Erweiterung des Konzepts ‚gleichzählig mit dem Konzept, Mitglied der Zahlenreihe, die mit n endet‘. Da wir mit 0 beginnen, gilt dieses Konzept eindeutig für n + 1 Objekte. Diese Definition ist nicht unmittelbar; Frege muss zunächst definieren, was ‚Mitglied der Zahlenreihe, die mit n endet‘ bedeutet, und dann, was ‚folgt unmittelbar nach n in der Zahlenreihe‘ bedeutet. Schließlich muss er zeigen, dass die unmittelbar folgende Zahl in der Zahlenreihe tatsächlich die Erweiterung des Konzepts ‚gleichzählig mit dem Konzept, Mitglied der Zahlenreihe, die mit n endet‘ ist. Dies geschieht in den Abschnitten 76 bis 83.

Die Erweiterung eines Konzepts

Frege sagt in den Grundlagen wenig darüber, was eine Erweiterung ist. Später, in den Grundgesetzen, erscheinen Erweiterungen klar als Objekte. Frege liefert ein Identitätskriterium für sie (sein Axiom V): Die Erweiterung von F ist gleich der Erweiterung von G, genau dann, wenn für alle x gilt, dass x F erfüllt, genau dann, wenn x G erfüllt. Aber das ist alles; dies reicht nicht aus, da sein Verfahren hier genau dem entspricht, was er in den Grundlagen als unzureichend für die Definition von Zahl befunden hatte. Das ‚Julius Caesar‘-Problem tritt erneut auf, diesmal für Erweiterungen, und dies erwies sich als fatal, wie Russells spätere Entdeckung zeigte, dass Axiom V zu Widersprüchen führt.

Da Erweiterungen Objekte sind, können sie die Argumentstelle einer Funktion einnehmen. Insbesondere können wir entweder F(Erweiterung von F) oder nicht-F(Erweiterung von F) haben, für jede Funktion F. Definieren wir die Funktion G, die für x gilt, genau dann, wenn es ein Konzept F gibt, sodass x die Erweiterung von F ist und nicht-F auf x zutrifft. Sei g die Erweiterung von G. Mithilfe dieser Definition gilt: Wenn nicht-G g, dann gilt für alle F, dass, falls g die Erweiterung von F ist, F auf g zutrifft. Aber wenn dies gilt, dann folgt: Wenn g die Erweiterung von G ist, dann gilt G auf g. Daraus folgt: Wenn nicht-G g, dann G g. Also gilt G g. Aus der Definition von G folgt: Es existiert ein F, sodass g die Erweiterung von F ist und nicht-F auf g zutrifft. Sei F ein solches Konzept, also g ist die Erweiterung von F und nicht-F auf g. Nach Axiom V folgt für alle x: G x genau dann, wenn F x. Da nicht-F auf g zutrifft, muss auch nicht-G auf g zutreffen. Dies widerspricht jedoch unserem Beweis, dass G auf g zutrifft. Dies bedeutete das Ende von Freges Versuch, sein logisch begründetes Programm durchzuführen. Wir sehen weiter unten, wie Russell versuchte, dieses Problem zu lösen.

Das Kontextprinzip

Frege stößt auf Probleme, weil er eine explizite Definition der Zahl in Bezug auf Erweiterungen gibt. Crispin Wright versucht, Freges Projekt zu retten, indem er zeigt, dass Frege sich mit der kontextuellen Definition hätte begnügen können, wodurch die Einführung von Erweiterungen vermieden worden wäre. Wright behauptet, alles, was nötig ist, um diese Sicht zu stützen, sei eine plausible Interpretation des Kontextprinzips.

Nach Wright verkörpert das Kontextprinzip, was er die syntaktische Vorrangthese nennt, nämlich dass syntaktische Kategorien ontologischen vorgeordnet sind. Für Frege sind Objekte die Referenten von Singularbegriffen; durch das Kontextprinzip kann man jedoch die Bedeutung eines Wortes nur im Kontext eines Satzes erfragen, nicht isoliert. Um den Referenten eines Singularbegriffs zu bestimmen, muss man prüfen, ob er in einem wahren Satz angemessen eingebettet vorkommt. Es gibt daher kein direktes Mittel, ontologische Streitfragen zu entscheiden, kein Mittel, allein durch Beobachtung festzustellen, was existiert. Vielmehr muss man bei ontologischen Fragen zunächst die syntaktische Kategorie der betreffenden Begriffe klären und dann prüfen, ob die Sätze, die sie enthalten, wahr sind. Fragen nach Referenz sind also sekundär gegenüber Fragen nach Wahrheit.

Diese Sichtweise ist integraler Bestandteil von Freges Argument für Platonismus bezüglich mathematischer Objekte. Sobald wir festgestellt haben, dass Zahlbegriffe echte Singularbegriffe sind, müssen wir nur prüfen, ob sie in wahren Sätzen vorkommen. Da wir überzeugt sind, dass viele arithmetische Formeln wahr sind, ergibt sich daraus die Überzeugung, dass Zahlen existieren. Dieser Platonismus ist epistemologisch günstig, weil er die Notwendigkeit eines mysteriösen wahrnehmungsähnlichen Zugangs zu Zahlen beseitigt. Wir müssen nur darlegen, wie wir mathematische Sätze als wahr erkennen, was in Freges Logizismus das Ergebnis deduktiver Folgerungen ist.

„Syntaktische Kriterien für Singularbegriffe“ sind nicht streng syntaktisch, da sie sich auf Folgerungen stützen, die durch Sätze mit Singularbegriffen getragen werden. Kurz gesagt, qualifiziert sich ein Begriff als Singularbegriff, wenn er ein relevantes Identitätskriterium hat, Folgerungen zur existenziellen Generalisierung unterstützt, das heißt von Fa auf alle Bx Fx folgert, und „Negationsasymmetrisch“ ist. Dies bedeutet, dass man für jede Funktion F deren Negation nicht-F bilden kann, die auf alle Objekte zutrifft, die nicht F sind; für ein bestimmtes Objekt, etwa Sokrates, kann man jedoch nicht notwendigerweise ein Objekt bilden, das genau jene Eigenschaften besitzt, die Sokrates nicht besitzt.

Wrights Punkt ist nun, dass das Kontextprinzip, interpretiert als Prinzip über Referenz, es erlaubt, sich mit einer nicht vollständig expliziten Definition zufrieden zu geben. Das heißt, wir brauchen keine Definition der Form „Die Zahl der Fs ist ...“, sondern nur eine Erklärung, die die Verwendung von Zahlbegriffen charakterisiert. Das Kontextprinzip zeigt somit, dass keine weitere Frage darüber besteht, ob wir erfolgreich einen Bereich von Objekten spezifiziert haben.

Ontologischer Reduktionismus

Es gibt zwei Arten von Einwänden gegen Wrights Vorschläge. Der erste ergibt sich aus ontologischem Reduktionismus und stellt eine Herausforderung für seine Interpretation des Kontextprinzips dar. Der zweite hinterfragt jede Rechtfertigung kontextueller Definitionen.

Betrachten wir erneut das Identitätskriterium für Richtungen, gegeben durch Parallelität von Linien: Die Richtung von a ist gleich der Richtung von b, wenn a parallel zu b ist. Wright argumentiert, dass, sobald wir wissen, dass Richtungsbegriffe Singularbegriffe sind, ein Identitätskriterium existiert und sie in wahren Sätzen erscheinen, keine weitere bedeutende Frage besteht, ob Richtungen existieren. Die Äquivalenz garantiert also die Existenz von Richtungen.

Nicht jeder würde dies akzeptieren. Ein ontologischer Reduktionist würde die Äquivalenz so interpretieren, dass Richtungen keine echten Objekte sind. Er würde darauf hinweisen, dass wir die Wahrheit von Identitätsaussagen über Richtungen nicht direkt lernen, sondern indirekt durch die Wahrheit von Aussagen über parallele Linien. Obwohl wir also über Richtungen zu sprechen meinen, sprechen wir tatsächlich nur über Linien und deren Beziehungen. Die Äquivalenz offenbart dies.

Ontologischer Reduktionismus hat seine Reize. Wenn wir scheinbar über rätselhafte Entitäten sprechen, könnte ein Reduktionist argumentieren, dass wir die Oberflächenstruktur unserer Sätze zu ernst nehmen und tatsächlich über andere unproblematische Objekte sprechen. Das Motiv für Reduktionismus könnte epistemologisch sein oder den Wunsch nach metaphysischer Ökonomie wie beim Prinzip der sparsamen Entitäten leiten. Doch Reduktionismus wirft die Frage nach ontologischer Verpflichtung auf: Welche Merkmale unserer Verwendung von Sätzen oder Annahme einer Theorie verpflichten uns, die Existenz bestimmter Entitäten anzuerkennen? Wrights bevorzugte Interpretation der Äquivalenz nennt man die robuste Lesart, im Gegensatz zum Reduktionismus. Er argumentiert, dass es nicht genügt, lediglich die Möglichkeit seiner Interpretation zu erwähnen. Der Reduktionist behauptet, die linke Seite der Gleichung beziehe sich scheinbar auf bestimmte Objekte, die rechte Seite habe Vorrang und zeige, dass dies nur scheinbare Referenz ist. Die robuste Lesart fragt, warum die rechte Seite Vorrang haben sollte, da man sie ebenso gut als Bezug auf Richtungen lesen könnte. Beide Seiten stimmen überein, dass die rechte Seite epistemologischen Vorrang hat; wir lernen über Richtungen durch Beziehungen zwischen Linien (über Zahlen durch Korrelationen zwischen Konzepten). Doch die robuste Sicht hinterfragt, warum ontologischer Vorrang epistemologischem Vorrang folgen sollte. Zudem behauptet sie, dass eine Reduktion aus epistemologischen Gründen fehl am Platz ist, da beide Seiten die reduktionistische Epistemologie übernehmen könnten, was zeigt, dass es kein Problem beim epistemologischen Zugang zu Wahrheiten über Richtungen und Zahlen gibt.

Kontextuelle Definition

Dummett bezweifelt, dass Wrights Rekonstruktion von Frege entweder fregeanisch oder kohärent ist. Wright wollte Frege vor Widersprüchen retten, indem er die Notwendigkeit einer expliziten Definition der Zahl ablehnte. Dummett bemerkt, dass Wrights Vorgehen bei der Definition der Zahl dem von Frege bei der Definition von Erweiterungen ähnelt. Da dies zu Widersprüchen führte, kann man nicht annehmen, dass solche Verfahren immer legitim sind. Zweitens stützt Wright seine Sicht auf das Kontextprinzip, das seiner Ansicht nach bedeutet, dass wir nicht immer explizite Definitionen liefern müssen. Dies impliziert, dass Frege die volle Tragweite seiner eigenen Sicht nicht vollständig erfasst habe. Dummett widersetzt sich diesem Schritt. Eine explizite Definition widerspricht dem Kontextprinzip nicht; schließlich geben wir die Bedeutung von Sätzen der Form „Die Zahl der Fs ist ...“ an. Frege ist sich des Kontextprinzips stets bewusst, das er kurz vor der Festlegung des Identitätskriteriums für Zahlen zitiert. Es ist nicht so, dass er zunächst dachte, das Prinzip würde eine kontextuelle Definition rechtfertigen, nur um dann das Julius-Caesar-Problem zu entdecken. Vielmehr betrachtete Frege die kontextuelle Definition als unzureichend, da sie keine Bedeutung für alle möglichen Sätze mit Zahlbegriffen festlegt. Sein Punkt ist, dass eine adäquate Definition dies erreichen und gleichzeitig das Identitätskriterium erfüllen muss. Freges Argument ist daher, dass seine endgültige Definition gerechtfertigt ist, da sie das korrekte Identitätskriterium liefert. Dieses Argument beruft sich wesentlich auf das Kontextprinzip.

Schließlich bleibt Wright mit einem Julius-Caesar-Problem zurück, das er löst, indem er sagt, dass zwei Objekte unterschiedlich sind, wenn sie unter verschiedene Identitätskriterien subsumiert werden. Dies erscheint „un-fregeanisch“, da es die Darstellungsart eines Objekts wesentlich für dieses macht. Es untergräbt auch Freges Versuch, eine explizite Definition der Zahl zu geben: Ist das Identitätskriterium für Zahlen das von Frege gegebene oder das für Erweiterungen, da Zahlen Erweiterungen sind? Antworten auf diese Frage scheinen von der Reihenfolge abhängig zu sein, in der die Definitionen gegeben werden.