Frege, Russell und Wittgenstein

Russell

Russells Lösung der Paradoxien

Russells Reaktion auf die Entdeckung der Paradoxien unterschied sich stark von der Freges. Während Frege das logicistische Programm aufgab, betrachtete Russell die Paradoxien als eine Infektion der Logik, ohne daraus pessimistische Schlüsse über die Durchführbarkeit des Logicismus zu ziehen. Ein Grund dafür war, dass er annahm, dass das Klassenparadoxon die gleiche Form wie das Lügnerparadoxon und das Paradoxon der Heterologie besitzt. Eine Version des Lügnerparadoxons lautet: „Diese Proposition ist falsch“. Beim Paradoxon der Heterologie gilt eine Eigenschaft als heterologisch, wenn sie nicht auf sich selbst zutrifft. Man fragt sich also, ob die Eigenschaft der Heterologie heterologisch ist. Entscheidend ist, dass diese Paradoxien nicht aus mathematischen Annahmen entstehen, etwa über die Natur der Unendlichkeit, sondern aus ihrer selbstreferentiellen Natur. Russell meinte, um sie zu lösen, müsse man einige Annahmen ändern.

Das Prinzip des bösen Kreises

Russell hielt die Ursache der Paradoxien für den Umstand, dass jedes in einem bösen Kreis involviert ist. Aber was genau ist böse Zirkularität? Jedes Paradoxon betrifft die Spezifikation oder Definition einer bestimmten Entität: einer Proposition, einer propositionalen Funktion, einer Eigenschaft oder einer Klasse. Das Problem, so Russell, besteht darin, dass wir versuchen, diese Entität in Bezug auf eine Gesamtheit zu definieren, die, wenn sie existierte, genau diese Entität enthalten würde. Der Prozess ist zirkulär, weil die Gesamtheit ihre Mitglieder voraussetzt und daher nicht verwendet werden kann, um eines ihrer Mitglieder zu definieren. Die Lösung der Paradoxien besteht somit darin, diese Art der Definition zu verbieten oder die Annahme solcher Gesamtheiten zu untersagen. Dies ist das Prinzip des bösen Kreises.

Es ist nicht sofort offensichtlich, dass die Paradoxien das Prinzip verletzen. Die Klasse der „nicht-selbstmitgliedernden Klassen“ umfasst alle Klassen, die sich nicht selbst enthalten. Die Proposition „Diese Proposition ist falsch“ besagt, dass es eine Proposition gibt, die ich jetzt bejahe und die falsch ist. Heterologie ist die Eigenschaft aller Eigenschaften, die nicht auf sich selbst zutreffen. Das Prinzip des bösen Kreises ist jedoch in Russells Formulierung nicht ganz klar. Was unter „Voraussetzung“ zu verstehen ist, bleibt unerklärt, und es ist nicht evident, dass die Existenz einer Entität von unserer Fähigkeit abhängt, sie auf eine bestimmte Weise zu definieren. Wenn Entitäten und Gesamtheiten unabhängig vom Geist existieren, spielt es keine Rolle, dass wir bei der Spezifikation auf die Gesamtheit Bezug nehmen müssen.

Russell erläutert das Prinzip des bösen Kreises genauer. Zwar ist die Verletzung des Prinzips die Ursache der Paradoxien, aber die Einhaltung allein kann die Lösung nicht sein, da dies selbst das Prinzip verletzen würde. Das Prinzip verbietet bestimmte Definitionsweisen, aber wir können keine paradoxen Logiksysteme allein dadurch entwickeln, dass wir Definitionen auf die einhalten, die das Prinzip respektieren, da dies implizit auf alle Klassen verweist. Eine Lösung muss daher ein Argument für ein logisch konsistentes System liefern, das von Natur aus das Prinzip nicht verletzt.

Unvollständige Symbole

Russells erster Schritt besteht darin, Klassentermini als unvollständige Symbole zu behandeln. Er liefert eine Erklärung für die Rede über Klassen, ohne deren Existenz vorauszusetzen, indem er die Bedeutung von Sätzen, die Klassen enthalten, kontextuell definiert. Russell reduziert Klassen auf propositionale Funktionen, die als Werte Propositionen liefern, wenn ihre Argumentplätze gefüllt werden, ähnlich den Konzepten Freges. Um Klassen kontextuell zu definieren, erklärt Russell in klassenfreien Begriffen, wie eine Aussage über eine Klasse zu verstehen ist, und behandelt sie als Aussage über die propositionalen Funktionen, die die Klasse definieren. Das Problem ist, dass Aussagen über propositionale Funktionen nicht extensional sind – zwei Funktionen können unterschiedliche Eigenschaften besitzen, obwohl sie dieselben Objekte betreffen. Klassen hingegen sind identisch, wenn ihre Mitglieder gleich sind. Russell schränkt daher den Fokus auf extensional gültige Eigenschaften ein, die auf alle coextensiven Funktionen gleichmäßig zutreffen. Damit wird jede Funktion einer Klasse extensional.

Diese Reduktion reduziert das Klassenparadoxon auf das der propositionalen Funktionen: Eine Klasse kann nur dann Mitglied ihrer selbst sein, wenn eine propositionale Funktion auf sich selbst angewendet werden kann. Durch Erklärung, warum propositionale Funktionen nicht auf sich selbst angewendet werden können, werden beide Paradoxien gelöst. Alternativ muss das Prinzip des bösen Kreises auf propositionale Funktionen angewendet werden.

Propositionale Funktionen

Russell erklärt nun das Prinzip des bösen Kreises als Konsequenz der Natur propositionaler Funktionen. Eine propositionale Funktion ist eine Mehrdeutigkeit in Beziehung zu den Werten der Funktion. Bei der Behauptung einer propositionalen Funktion behaupten wir nichts Bestimmtes, sondern jeden beliebigen Wert der Funktion. Zum Beispiel behauptet die Aussage „x ist weise“ eine beliebige Wertzuweisung, wie „Sokrates ist weise“, „Aristoteles ist weise“ usw., nicht jedoch alle gleichzeitig. Eine propositionale Funktion bezeichnet demnach mehrdeutig jeden ihrer Werte, und diese Rolle ist exklusiv für propositionale Funktionen. Sie wird nur bestimmt, wenn ihre Werte bestimmt sind, die Werte dürfen die Funktion selbst nicht voraussetzen. Das Prinzip des bösen Kreises folgt somit aus der metaphysischen Natur propositionaler Funktionen.

Die Konsequenzen sind: Keine propositionale Funktion kann sich selbst als Argument nehmen, wodurch das Klassenparadoxon und seine Analogie für propositionale Funktionen vermieden werden. Zweitens entsteht eine Hierarchie der Funktionen. Die möglichen Argumente einer propositionalen Funktion müssen vorher existieren. Die Menge möglicher Argumente bildet einen Typ. Auf der untersten Ebene stehen Individuen und Funktionen, die auf sie anwendbar sind, dann Funktionen auf Funktionen von Individuen, dann Funktionen auf Funktionen, die auf Funktionen von Individuen anwendbar sind, und so weiter. Propositionalfunktionen mit mehreren Argumenten werden durch Quantifizierung über einige Argumentplätze gebildet. Beispielsweise presuppostiert die Funktion F(x, j) die Domäne der Individuen und der Funktionen von Individuen. Wir können über letztere quantifizieren, um eine neue propositionale Funktion von Individuen zu erzeugen. Ein Verstoß gegen das Prinzip des bösen Kreises würde entstehen, wenn diese Funktion in derselben Domäne wie die Variable j stünde. Das Prinzip erzeugt daher eine „verzweigte“ Hierarchie propositionaler Funktionen.

Ein Problem ist, dass die kontextuelle Definition von Klassen nicht mehr funktioniert. Die Definition erfordert Quantifizierung über die Domäne aller propositionalen Funktionen, was eine illegitime Gesamtheit darstellt. Russell modifiziert die Definition, indem er die Quantifizierung auf sogenannte predikative propositionale Funktionen beschränkt, die einen Rang höher als ihre Argumente haben. Ein Problem bleibt: Für eine nicht-predikative Funktion gibt es möglicherweise keine coextensive predikative Funktion. Russell löst dies ad hoc durch die Annahme, dass für jede propositionale Funktion eine coextensive predikative Funktion existiert – das Axiom der Reduzierbarkeit. Es wird angenommen, weil es die benötigten Ergebnisse liefert und schwächer als die Annahme der Existenz von Klassen ist.

Das Prinzip des bösen Kreises bleibt umstritten. Das entstehende System ist kompliziert und ohne das Axiom der Reduzierbarkeit inkohärent. Das Axiom widerspricht teilweise dem Geist des Prinzips, da es erlaubt, bestimmte Merkmale propositionaler Funktionen zu ignorieren, die das Prinzip eigentlich respektiert wissen möchte. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass das Prinzip unabhängig von Russells Klassenauffassung ist. Es erklärt unsere absichtliche Erfassung unendlicher Klassen und die Einheit vieler Elemente einer Klasse. Die große verbleibende Frage ist, wie das zugrunde liegende Problem des Denkens, das zu Paradoxien führt, gelöst werden soll.