Paradoxon

Paradoxon bedeutet einen Satz, der entgegen der allgemeinen Meinung steht, und Paradoxien sind von zwei Arten: jene, die eine vertraute Orthodoxie (normalerweise ohne ausreichende Erklärung) herausfordern; und jene, die von intuitiv akzeptablen Prämissen ausgehen und daraus einen Widerspruch ableiten – etwas, das nicht wahr sein kann. Es ist die zweite Art von Paradoxon, die für moderne Philosophen am interessantesten war, da sie eine Art objektiven Test für die Stichhaltigkeit eines philosophischen Systems liefert: Ein Widerspruch ist eine reductio ad absurdum der Ideen, die ihn hervorbringen.

Oder ist es so einfach? Was, wenn die Realität selbst paradox ist? In diesem Fall hätten wir sicherlich mehr Sympathie für eine Philosophie, die das Paradoxon festhält, als für eine, die es auflöst. Dies war Kants Hoffnung bei der Entwicklung seiner Philosophie der Freiheit. Alle vernünftigen Wesen könnten dazu gebracht werden zu sehen, glaubte er, dass sie sowohl wirklich frei sind als auch dass das Postulat der Freiheit, vom Standpunkt des Intellekts aus, inhärent paradox ist. Andere, in mystischerer Ader, haben die Bereitschaft gezeigt, das Paradoxon in jeder Sphäre anzunehmen, als Zeichen menschlicher Beschränkungen und unserer Notwendigkeit göttlicher Führung und Offenbarung.

Das Paradoxon hatte daher in der westlichen Gedankenwelt eine Geschichte, die durch seinen Platz in der modernen Philosophie nicht genau wiedergegeben wird. Obwohl die Prä-Sokratiker Paradoxien der Zeit, des Raumes und der Bewegung untersuchten und den Wunsch, sie aufzulösen, als das Hauptmotiv der Metaphysik ansahen, erlangte das Paradoxon seine wahre Souveränität mit der Geburt der christlichen Religion. Die christliche Lehre umfasst bewusst Paradoxien – die Inkarnation Gottes und Seine Kreuzigung. Bereits in den Paulusbriefen findet man diese Paradoxien in all ihrer rohen Unhaltbarkeit als Glaubensprüfung präsentiert. (Das Evangelium ist den Heiden eine Torheit und den Juden ein Ärgernis.) Der Kirchenvater Tertullian schrieb credo quia absurdum est – ich glaube, weil es absurd ist, bezogen auf die Kreuzigung. Weit davon entfernt, dies als eine Widerlegung der christlichen Religion anzusehen, erkannten seine Nachfolger in dieser Äußerung das wahre Prinzip des religiösen Glaubens an.

Vielleicht haben alle Religionen ihren Schatz an kostbaren Paradoxien. Aber Paradoxon ist nicht dasselbe wie Geheimnis. Es soll begeistern und auch untergraben. Es ist eine destabilisierende Kraft und auch eine seltsame Einladung zur Verpflichtung. Es gibt etwas in der menschlichen Psyche, das, konfrontiert mit einer unglaublichen Aussage, voranstürmt, um sie anzunehmen, zu sagen ja, es muss so sein!, und sich über den Ruin des gesunden Menschenverstandes zu freuen, der folgt. Ein Paradoxon kann daher ein Akt des Trotzes sein, in dem die Welt der gewöhnlichen Dinge auf Distanz gehalten und verspottet wird.

Das Paradoxon hatte daher einen wichtigen Platz, nicht nur im religiösen Denken, sondern auch in der revolutionären Politik. Rousseau sagt uns in seinem Gesellschaftsvertrag trotzig, dass wir gezwungen werden müssen, frei zu sein; während seine Schüler, Robespierre und St. Just, einen Despotismus der Freiheit befürworteten, als sie lachend die Köpfe derer abschnitten, die sich unfähig gezeigt hatten, sie zu genießen. Solche Paradoxien gibt es in der Literatur der Revolution zuhauf: Eigentum ist Diebstahl; Recht ist eine bürgerliche Erfindung, also ist es richtig, sich ihm zu widersetzen; repressive Toleranz; der menschliche Wille ist die Wirkung, aber nicht die Ursache der Geschichte; also macht Geschichte!

Vielleicht sind Paradoxien in orientalischen Religionen von einer anderen Art: keine Widersprüche, genau genommen, sondern verwirrende Leerstellen, wie die Rätsel des Zen-Philosophen: Orte, an denen der Gedanke plötzlich verdampft und nichts ist. Das ist beruhigend statt beunruhigend. Das Paradoxon in unserer Tradition setzt die Welt gegen sich selbst: Die Welt frisst sich vor unseren Augen auf; und das ist der Punkt des Paradoxons. Es scheint den Sieg des Gedankens über die Realität zu zeigen; Ich kann alles glauben, sagt es, sogar das. Mach mit!

Der Denker ohne ein Paradoxon, schreibt Kierkegaard, ist wie ein Liebhaber ohne Gefühl; eine erbärmliche Mittelmäßigkeit. Im dritten Kapitel der Philosophischen Brocken heißt es weiter: Der höchste Grad jeder Leidenschaft ist, ihren eigenen Untergang zu wollen; und so ist es auch die höchste Leidenschaft der Vernunft, eine Kollision zu suchen, obwohl diese Kollision auf die eine oder andere Weise ihr Ende beweisen muss ... Und er ist bereit, sogar noch einen Schritt weiter zu gehen als Tertullian: Tief im Herzen der Frömmigkeit lauert die verrückte Laune, die weiß, dass sie selbst ihren Gott hervorgebracht hat. Das ist sicherlich der Ursprung des Paradoxismus: der Wunsch, die Welt zu widerlegen, in dem quälenden Verdacht, dass sie andernfalls dich widerlegen wird, indem sie deinen Gott widerlegt.

Aber Kierkegaard bezieht sich auch auf eine andere Art von Paradoxismus: jenen, der von Kant in die Welt gebracht und von Hegel vergrößert wurde, wonach die Vernunft in Widerspruch gerät, nicht indem sie ihre eigenen Gesetze missachtet, sondern indem sie ihnen zu strikt gehorcht. Es ist die Vernunft, die uns zum Paradoxon führt; und die Vernunft, die das Paradoxon in einem transzendierenden Urteil überwinden muss, das unmöglich wäre, gäbe es den Widerspruch nicht, aus dem es entspringt. Dies ist Hegels Hauptgedanke, und er machte das Paradoxon zum ersten Mal völlig respektabel. Daher das Geheimnis von Hegels Erfolg in einer Ära schwindenden Glaubens: Das Paradoxon, so predigte er, lag in der Natur der Dinge, und die Schwierigkeit, was auch immer uns trösten mag, zu glauben, liegt nur in der Trägheit unserer eigenen geistigen Kräfte. Was wird aus jungen Mädchen? fragte die Weiße Königin. Zu meiner Zeit hätten wir vor dem Frühstück sechs unmögliche Aussagen geglaubt.

1. Paradoxien der Implikation

Der Erz-Paradoxist, Walt Whitman, trat unabsichtlich in den logischen Diskurs ein, mit seinen berühmten Versen:

Widerspreche ich mir?

Sehr gut, dann widerspreche ich mir,

(Ich bin groß, ich enthalte Massen.)

Hier, kurz gesagt, ist das sogenannte Paradoxon der strikten Implikation. Es gibt viele Paradoxien der Implikation, und sie sind teilweise interessant, weil sie Paradoxien der ersten Art sind: Sie beinhalten keinen Widerspruch, sondern lediglich einen Gedanken, der höchst kontraintuitiv ist. Man muss sie nicht lösen; aber Ihre Arbeit wird schwieriger sein, wenn Sie es nicht tun.

Betrachten Sie die materielle Implikation, definiert durch die Wahrheitstabelle wie folgt:

Wenn p wahr und q wahr ist, dann ist p impliziert q wahr. Wenn p wahr und q falsch ist, dann ist p impliziert q falsch. Wenn p falsch und q wahr ist, dann ist p impliziert q wahr. Wenn p falsch und q falsch ist, dann ist p impliziert q wahr.

Diese Definition hat die Konsequenz, dass ein wahrer Satz durch jede Prämisse impliziert wird und ein falscher Satz jede Schlussfolgerung impliziert. Viele Menschen argumentieren daher, dass dies keine Definition der Implikation sein kann, wie sie normalerweise verstanden wird. Zum einen arbeiten wir immer die Folgen falscher Sätze aus – wie beim kontrafaktischen Denken – genauso wie wir immer unter wahren Sätzen zwischen jenen unterscheiden, die tatsächlich aus unseren Prämissen folgen, und jenen, die es nicht tun.

Gleichzeitig haben viele Logiker argumentiert, dass die materiale Implikation genau die Rolle in der Schlussfolgerung spielen kann, die wir mit der Implikation verbinden. Insbesondere besteht sie den entscheidenden Test, nämlich den der Validierung des Modus ponens. Der Satz in dem p und (p impliziert q) beide gelten, impliziert q ist eine wahrheitsfunktionale Tautologie: das heißt, eine logische Wahrheit. (Aber siehe unten: Achilles II.) Solche Logiker waren daher bereit, die Paradoxien zu schlucken. Wenn wir nicht materielle Implikation meinen, dann wissen wir wirklich nicht, was wir mit wenn meinen.

Aber wir haben eine andere und bessere Definition, argumentiert C.I. Lewis: die strikte Implikation. Das Wort wenn suggeriert eine Verbindung zwischen Prämisse und Schlussfolgerung, von der Art, die eine Schlussfolgerung validiert. Beim Schließen halten wir fest, dass die Prämissen unmöglich wahr und die Schlussfolgerung falsch sein können. So sollten wir wenn definieren. Wenn p, dann q bedeutet: Es ist logisch unmöglich, dass p und nicht-q; alternativ Es ist logisch notwendig, dass p materiell q impliziert. In Symbolen heißt das: Es ist notwendig, dass p materiell q impliziert.

Aber auch diese Definition erzeugt ein Paradoxon, nämlich dass aus einem logisch unmöglichen Satz alles folgt (Whitmans Massen); und ein logisch notwendiger Satz folgt aus allem. Wollen wir das wirklich akzeptieren? Wiederum ist dies jedoch nur ein Paradoxon im ersten Sinne: Es ist kein Widerspruch damit verbunden, es zu akzeptieren; tatsächlich gibt es eine beträchtliche Literatur, die dem Beweis gewidmet ist, dass wir es akzeptieren müssen und dass wir keine andere denkbare Definition der Ableitbarkeit oder Folgerung haben, die nicht inhärent paradoxer ist (zum Beispiel, indem sie die Folgerung zu einer nicht-transitive Relation macht, so dass aus p folgert q und q folgert r nicht folgt, dass p folgert r). Man könnte sagen, es ist eine wichtige logische Entdeckung, dass aus einem unmöglichen Satz alles folgt: eine tiefe Wahrheit über die Unmöglichkeit, die genau zeigt, warum wir sie vermeiden müssen – warum Paradoxien im zweiten Sinne eine ontologische Katastrophe sind. Wäre Hegel diese tiefe Wahrheit bekannt gewesen, hätte er genau gewusst, warum seine Beweise so widerstandslos überallhin zu folgen schienen, wohin er sie wünschte. Es gibt uns auch einen neuen Test für Konsistenz: Ein Axiomensystem ist inkonsistent, wenn jede Formel ein Theorem ist.

Nicht jeder ist damit zufrieden. Dorothy Edgington hat Argumente konstruiert, um zu zeigen, dass Konditionale überhaupt nicht anhand ihrer Wahrheitsbedingungen verstanden werden sollen. Wenn wir versuchen, dies zu tun, dann schreiben wir den Menschen am Ende inkonsistente Überzeugungen zu. Betrachten Sie die folgenden Antworten auf einen Fragebogen:

(1) Die Konservative Partei wird gewinnen. Ja.

(2) Entweder gewinnt die Konservative Partei oder p für jedes p. Ja.

(3) Wenn das gesamte Kabinett in einen entsetzlichen Skandal verwickelt ist, wird die Konservative Partei gewinnen. Nein.

Unter der Annahme, dass Konditionale Wahrheitsbedingungen haben, ist dieser Satz von Antworten widersprüchlich. Frau Edgingtons Lösung besteht darin, vorzuschlagen, dass wenn im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit analysiert wird: dass es bei der Verwendung dieses Wortes eine Annahme gibt, dass die Prämisse der Grund für die Wahrscheinlichkeit der Schlussfolgerung ist. Konditionale Urteile sind Urteile darüber, was unter einer bestimmten Annahme der Fall ist; und es gibt keine Möglichkeit, sie auf Urteile darüber zu reduzieren, was schlechthin wahr ist. Daher können Schlussfolgerungen und Prämissen nicht voneinander gelöst werden, in der Weise, die eine Analyse anhand von Wahrheitsbedingungen erfordert.

Das Gebiet ist interessant, aber es weiterzuverfolgen, würde uns von den wirklichen Paradoxien ablenken, die eine so wichtige Rolle in der Philosophie, antik und modern, gespielt haben.

2. Wirkliches Paradoxon

Mit wirklichem Paradoxon meine ich Paradoxon der zweiten Art: ein Argument, das durch rationale Schritte zu einem Widerspruch führt, ausgehend von Prämissen, die wir intuitiv akzeptieren. Der antike Ansatz zum Paradoxon, veranschaulicht durch Parmenides und seinen Schüler Zeno, war, dass die wirklichen Paradoxien echte Widersprüche waren, die aus unserer Sicht des gesunden Menschenverstandes auf die Welt abgeleitet werden konnten. Sie waren daher ein Beweis für die Unhaltbarkeit der Sichtweise des gesunden Menschenverstandes. Sie zeigten, dass die Realität ganz anders ist als der Schein, und dass nur der Philosoph uns sagen kann, was wirklich real ist. Das bedeutete, dass der Philosoph einen hohen Preis für seine Lektionen verlangen konnte.

Dieser Ansatz überlebte in unser Jahrhundert mit F.H. Bradleys Argumenten über den Schein und McTaggarts Beweis der Irrealität der Zeit. Aber er verlor allmählich gegenüber den Verteidigern des gesunden Menschenverstandes, die argumentierten, dass die Prämissen, aus denen die Paradoxien zu folgen scheinen, so fest verwurzelt sind, dass wir nicht wüssten, wo wir wären, wenn wir sie ablehnten. Paradoxien wie die von McTaggart müssen gelöst werden, indem wir unsere Sprache und unsere Konzepte so anpassen, dass unser intuitives Bild der Welt erhalten bleibt. Die Alternative ist nicht die von Parmenides und Bradley vorgesehene, in der wir durch den trügerischen Schleier des Scheins dringen, um die eine Realität zu sehen. Die Alternative ist, überhaupt nichts zu wissen. Die gewöhnliche Welt des gesunden Menschenverstandes und der Wissenschaft ist die einzige Welt, die wir hoffen können zu kennen.

Dennoch sind die antiken Paradoxien immer noch bei uns, und es ist nützlich, mit dreien davon zu beginnen.

3. Der Lügner

Dieses berühmte Paradoxon, das viele antike Philosophen quälte und angeblich den Tod eines von ihnen (Philetas von Kos) verursacht hat, ist so schwer zu lösen, wie es einfach zu formulieren ist. Betrachten Sie die Person, die sagt Was ich jetzt sage, ist falsch. Ist das, was er sagt, wahr oder falsch? Wenn es wahr ist, ist es falsch; wenn falsch, wahr.

Wie reagieren wir auf dieses Paradoxon? Auf den ersten Blick könnten Sie es als Trick abtun. Sicherlich, könnten Sie sagen, ist der fragliche Satz einfach abweichend: Wir sollten ihn einfach als schlecht geformt oder als nichts sagend oder als grammatikalisches Kuriosum ausschließen. Eine Anregung war daher, zu leugnen, dass irgendein Satz das Prädikat wahr auf sich selbst anwenden kann. Das Prädikat wahr wird bei der Bewertung anderer Sätze verwendet. Aber das umgeht das Paradoxon nicht, da wir es in der folgenden Form rekonstruieren können:

1. Der unten geschriebene Satz ist falsch.

2. Der oben geschriebene Satz ist wahr.

Wenn 2 wahr ist, dann ist 1 wahr; aber wenn 1 wahr ist, dann ist 2 falsch. Wenn 2 also wahr ist, ist es falsch. Dieses und ähnliche Beispiele können verwendet werden, um zu zeigen, dass es keine syntaktische Lösung für das Lügner-Paradoxon gibt, keine Möglichkeit, die beleidigenden Sätze einfach aufgrund ihrer Grammatik auszuschließen. Das Paradoxon ist ein semantisches Paradoxon: eines, das sich aus der Bedeutung des Wahrheit-Prädikats selbst ableitet. Und es kann nur im Kontext einer Wahrheitstheorie gelöst werden.

Eine andere Reaktion auf das Paradoxon ist die Ablehnung des Prinzips der Bivalenz – das besagt, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist. Betrachten Sie den Satz:

L: L ist falsch.

Dies kapselt das Paradoxon in minimalistischer Redeweise ein. Wir können sofort ableiten, dass

(1) Wenn L wahr ist, dann ist es falsch;

(2) Wenn L falsch ist, dann ist es wahr.

Angenommen, alles, was falsch ist, ist nicht wahr, und alles, was wahr ist, ist nicht falsch, können wir folgern:

(3) Wenn L wahr ist, ist es nicht wahr;

(4) Wenn L falsch ist, ist es nicht falsch.

Es ist jedoch eine Schlussregel, dass, wenn etwas seine eigene Negation impliziert, wir diese Negation folgern können. Aus (3) können wir also folgern, dass L nicht wahr ist, und aus (4), dass es nicht falsch ist. Wir können also schlussfolgern, dass

(5) L weder wahr noch falsch ist.

Solange es Wahrheitswertlücken gibt: das heißt, Lücken zwischen Wahrheit und Falschheit, gibt es kein Paradoxon. Wenn es solche Lücken gibt, sind Sätze wie L sehr gute Kandidaten für deren Besetzung. Denn sie haben keine Grundlage; sie geben vor, die Falschheit eines Satzes zu behaupten, der nicht über sich selbst hinausreicht, der keinen Kontakt zu einer Realität herstellt, die seine Falschheit erklären würde.

Die Antwort ist ansprechend; aber sie stößt auf eine neue Version des Paradoxons, bekannt als der Verschärfte Lügner. Betrachten Sie den Satz:

L′: L′ ist nicht wahr.

Selbst wenn wir das Prinzip der Bivalenz leugnen, können wir den Widerspruch ableiten: Wenn L′ wahr ist, ist es nicht wahr; wenn es nicht wahr ist, ist es wahr. Mark Sainsbury (Paradoxes) sieht eine ausgeklügelte Lösung dafür vor, die auf der Annahme basiert, dass das Prädikat wahr vom Satz L′ weder korrekt bejaht noch verneint werden kann. Aber es gibt eine weitere allgemeine Antwort auf das Paradoxon, die wir in Betracht ziehen sollten, nämlich Tarskis.

Tarskis Idee ähnelt Russells Reaktion auf das Paradoxon der Klassenzugehörigkeit. So wie Russell Klassen in eine Hierarchie von Typen anordnete, schlägt Tarski eine Hierarchie von Sprachen vor. Wahrheit kann für eine Sprache definiert werden, aber nur in einer anderen: Daher kann kein Satz in irgendeiner Sprache die Wahrheit von sich selbst oder überhaupt von irgendeinem anderen Satz in der Sprache prädizieren.

Tarskis Antwort impliziert, dass es keine Wahrheitstheorie für eine Sprache geben kann, die nicht in einer Meta-Sprache formuliert ist. Die Meta-Sprache kann uns jedoch erlauben, Theoreme über die Objekt-Sprache zu formulieren, von einer Art, die die Ausdrucksfähigkeit der Objekt-Sprache selbst überschreiten. Tarski entwickelte diese Idee auf Weisen, die Gödels Theorem vorwegnahmen. Und die Fruchtbarkeit seiner Unterscheidung zwischen Objekt-Sprache und Meta-Sprache bestätigte seine Intuition, dass Wahrheit nur auf diese Weise konzipiert werden kann, in Bezug auf eine potenziell unendliche Hierarchie von Sprachen, von denen jede ein Konzept der Wahrheit auf die darunter liegende anwendet, aber keine dieses Konzept auf sich selbst anwendet.

Zwei unerwünschte Konsequenzen folgen: Die erste ist, dass unser gewöhnliches Konzept der Wahrheit, das in unserer Sprache verwendet wird, um sich auf ihre eigenen Sätze zu beziehen, verwirrt und in der Tat widersprüchlich ist. Die zweite ist, dass das Wort wahr unendlich mehrdeutig wird und seine Bedeutung systematisch ändert, während wir die Hierarchie der Ebenen aufsteigen. Dies stellt einen Angriff auf unsere intuitive Vorstellung von Realität dar (worauf sich das Konzept der Wahrheit schließlich bezieht), von parmenidischen Ausmaßen.

Man könnte sich auch eine Zermelo-ähnliche Reaktion auf das Paradoxon vorstellen: Wenn eine Verwendung des Wortes wahr einen Widerspruch erzeugt, schließe sie aus. Grob gesagt ist dies der Ansatz derer, die argumentieren, dass Tarskis Wahrheitstheorie verallgemeinert werden kann, um natürliche Sprachen abzudecken (was Tarski selbst aufgrund des Lügners verneinte). Dies ist keine Lösung für das Paradoxon, sondern lediglich eine Möglichkeit, es einzuschränken, um sich anderen Angelegenheiten zuzuwenden. Tatsächlich scheint eine Lösung heute so weit entfernt zu sein wie in den Tagen des Philetas von Kos; anstatt sein Schicksal zu teilen, sollten wir besser weitermachen.

4. Der Haufen

Das Paradoxon des Haufens, benannt nach dem griechischen Wort für Haufen (soros) als Sorites-Paradoxon, ist so ehrwürdig wie der Lügner, wenn auch vielleicht weniger tödlich. Wir neigen dazu zu glauben, dass, wenn eine bestimmte Anzahl n von Sandkörnern einen Haufen bildet, er nicht aufhört, ein Haufen zu sein, nur weil ein Korn weggenommen wird. Daher gilt: für jedes n gilt, wenn n ein Haufen ist, dann ist n minus 1 ein Haufen. Daraus kann man sofort, durch rekursive Anwendung dieser Formel, die Schlussfolgerung ableiten, dass, wenn irgendeine Anzahl von Sandkörnern einen Haufen bildet, dies auch für alle niedrigeren Zahlen gilt, bis hinunter zu null. Umgekehrt, wenn n Körner kein Haufen sind, sind es auch n plus 1 nicht; woraus natürlich das entgegengesetzte Ergebnis folgt, dass, wenn irgendeine Anzahl von Sandkörnern kein Haufen ist, dann gilt dasselbe für alle höheren Zahlen, bis ins Unendliche. Aus diesen beiden Schlussfolgerungen folgt, dass jede Ansammlung von Körnern sowohl ein Haufen als auch kein Haufen ist.

Diese Schlussfolgerung beinhaltet einen Widerspruch: Jemand könnte antworten, dass dies nicht folgt, da das Argument lediglich so verstanden werden könnte, dass es beweist, dass das Prädikat ist ein Haufen bedeutungslos ist; in diesem Fall ist nichts entweder ein Haufen oder kein Haufen. Das Problem bei einer solchen Reaktion ist jedoch, dass das Argument für eine große Anzahl von Prädikaten in der gewöhnlichen Sprache repliziert werden kann, deren Nutzen gerade darauf beruht, dass sie, wie das Prädikat ist ein Haufen, keine präzisen Grenzen haben: Man denke an ist rot, ist weich, ist groß. In der Tat, so wie der Lügner das Konzept der Wahrheit in Zweifel zieht, so zieht der Haufen das der Prädikation in Zweifel. Es scheint zu implizieren, dass die Anwendung unserer gewöhnlichen Prädikate selbst einen Widerspruch beinhaltet. Vielleicht könnten wir den Widerspruch überwinden, indem wir einige neue Prädikate ohne vage Grenzen erfinden. Zum Beispiel könnten wir rot anhand der Wellenlänge des von roten Dingen emittierten Lichts neu definieren; wir könnten eine präzise Regelung treffen, welche Ansammlungen von Körnern Haufen sein werden, und so weiter. Aber dies hätte zwei katastrophale Folgen: Erstens, dass wir uns nicht mehr sicher sein könnten, wie wir unsere Prädikate anwenden sollen, außer nach mühsamen wissenschaftlichen Untersuchungen und Experimenten, die Zeit und Kompetenz verbieten. Zweitens, dass wir uns auf die Wahrheit der in der Definition unserer neuen und exakten Prädikate verwendeten wissenschaftlichen Theorien verlassen müssten, obwohl die Beweise für diese Theorien aus dem Vergleich mit der wahrgenommenen Welt stammen – das heißt, der Welt, wie sie von unseren intuitiven Prädikaten beschrieben wird, genau den Prädikaten, die wir versuchen abzulehnen.

Die Sorites-Paradoxien sind zahlreich, und alle beziehen sich auf die Vagheit unserer gewöhnlichen Prädikate. Dies zu sagen, heißt nicht, das Paradoxon zu lösen, sondern es lediglich zu beschreiben. Wie würden wir es lösen? Wie bei jedem Paradoxon haben wir drei mögliche Schritte: die Prämissen abzulehnen, die Argumentation, die von ihnen ausgeht, abzulehnen oder das Paradoxon wegzuerklären, indem wir zeigen, dass der scheinbare Widerspruch kein wirklicher ist. Es ist offensichtlich, dass die Argumentation nicht bemängelt werden kann: Sie basiert lediglich auf dem Modus ponens und beinhaltet keine Tricks oder Strategeme. Auch kann die Schlussfolgerung nicht akzeptiert werden, aus Gründen, die ich gerade angedeutet habe. Welche der Prämissen sollten wir also ablehnen?

Jemand könnte die Vorstellung ablehnen, dass vage Prädikate Grenzen haben. Er könnte sagen, dass, während es einige Dinge gibt, die definitiv Haufen sind, und andere Dinge, die definitiv keine Haufen sind, es einen Bereich dazwischen gibt, in dem wir weder sagen können, dass etwas ein Haufen ist oder nicht. Wir sollten also das Prädikat Haufen durch ein neues und schärferes Prädikat ersetzen, das jene Dinge, die weder Haufen noch keine Haufen sind, auf beiden Seiten einer klaren Trennlinie verteilt. Wir schärfen das Prädikat Haufen zu neuerHaufen, und von diesem Prädikat gilt, dass etwas entweder definitiv darunter fällt oder definitiv nicht. Mit diesem neuen Prädikat wird es eine Zahl n geben, für die das Prinzip in dem gilt, dass n ein neuer Haufen ist, dann ist n minus 1 ein neuer Haufen falsch ist. Dies ist im Großen und Ganzen die Superbewertungs-Erklärung, die ihren barbarischen Namen und ihre raffinierte Natur Kit Fine verdankt. Das Problem ist, dass sie sich aus dem Paradoxon herauswindet, indem sie die Vagheit gänzlich abschafft. Wenn es Vagheit gibt, dann scheint das Prinzip zu gelten, dass für jedes n gilt: wenn F auf n zutrifft, dann trifft F auch auf n minus 1 zu. Aber wenn es keine Vagheit gibt, wie können wir uns an unsere Prädikate anhängen und sie spontan auf der Grundlage unserer gewöhnlichen Wahrnehmungen anwenden?

Ein anderer Ansatz besteht darin, die Vorstellung aufzugeben, dass jeder Satz absolut wahr sein muss, um überhaupt wahr zu sein. Vielleicht sollten wir stattdessen von Wahrheitsgraden sprechen und sagen, dass, wenn wir Sandkörner auf den Haufen schütten, es mehr und mehr wahr wird, dass die Ansammlung ein Haufen ist. Dies löst das Paradoxon sicherlich auf. Einige argumentieren jedoch, dass der Preis der Lösung zu hoch ist. Wir können nicht länger, so legen sie nahe, die Gültigkeit des Modus ponens annehmen, da dieser nur für Sätze mit absoluten Wahrheitswerten definiert ist; noch können wir die Haltbarkeit der klassischen Logik annehmen, die ebenfalls auf einer absoluten Konzeption der Wahrheit aufgebaut ist. (Mit klassisch meine ich die zweiwertige Fregesche Logik mit Quantifizierung, die ich in Kapitel 6 eingeführt habe.)

Befürworter der Lösung der Wahrheitsgrade leugnen diese Vorwürfe manchmal. Dorothy Edgington glaubt zum Beispiel, dass alle normalen Schlussfolgerungen, die den Modus ponens beinhalten, in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten verstanden werden müssen. Wenn p, dann q sollte als Unter der Annahme, dass p gilt, ist es sehr wahrscheinlich, dass q gilt verstanden werden; aber nur in bestimmten speziellen Kontexten (wie sie im mathematischen Denken entstehen) können wir sehr wahrscheinlich durch sicher ersetzen. Unter der Annahme, dass n Körner einen Haufen bilden, ist es sehr wahrscheinlich, dass n minus 1 Körner ebenfalls einen Haufen bilden: maximal wahrscheinlich, kurz vor der absoluten Gewissheit. Aber das winzige Maß an Unsicherheit, das sich in die Schlussfolgerung einschleicht, wird von der Schlussfolgerung geerbt und die Kette hinunter weitergegeben. Mit anderen Worten, es ist nur ein wenig weniger sicher, dass n minus 2 Körner einen Haufen bilden, und so viel weniger sicher, dass n minus 3 einen Haufen bilden. Frau Edgington vergleicht das Paradoxon mit einem anderen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem sogenannten Lotterie-Paradoxon. Viele Lose werden in einer Lotterie verkauft, von denen nur eines gewinnen wird. Es ist daher für jedes Los sehr wahrscheinlich, dass es nicht gewinnt. Wir können daher ein Argument mit den folgenden Prämissen konstruieren: Los 1 wird nicht gewinnen. Los 2 wird nicht gewinnen, Los 3 wird nicht gewinnen und so weiter, von denen jede sehr wahrscheinlich ist. Aber die Schlussfolgerung dieses Arguments – Kein Los wird gewinnen – ist sicherlich falsch. Ein solches Paradoxon ist eindeutig nur scheinbar und würde durch jede Wahrscheinlichkeitstheorie gelöst, die diesen Namen verdient. Ebenso beim Paradoxon des Haufens. Wir sollten das Prinzip, das das Paradoxon erzeugt – für jedes n gilt, wenn n ein Haufen ist, dann ist n minus 1 ein Haufen – so verstehen, dass es besagt, dass für jede Zahl n, unter der Annahme, dass n ein Haufen ist, es maximal wahrscheinlich ist, dass n minus 1 ebenfalls ein Haufen ist. Bei genügend Anwendungen dieses Prinzips wird das Körnchen Unsicherheit selbst zu einem Haufen.

Das Argument liegt außerhalb unseres Rahmens; aber es ist ein Beweis für die Bedeutung des Paradoxons, dass eine Lösung uns verpflichten kann, anzuerkennen, dass das alltägliche Denken in seiner Struktur sehr verschieden von dem Denken ist, das in der Mathematik auftritt.

5. Achilles I

Zenons Paradoxien der Bewegung sind eine Quelle der Besorgnis und des Entzückens, seit er sie im fünften Jahrhundert vor Christus erstmals vorschlug. Seine ursprüngliche Absicht war es zu zeigen, dass Bewegung und Veränderung – vielleicht die Zeit selbst – widersprüchliche Ideen sind und dass die Realität unveränderlich ist. Vielleicht gelang es ihm nicht, dies zu zeigen; aber es gelang ihm, hartnäckige Zweifel an der Unendlichkeit aufzuwerfen. Aristoteles, dem wir unsere Darstellung von Zenons Argumenten verdanken, war davon überzeugt, dass sie sehr ernst genommen werden müssen; und sie haben Kant, Hegel und Russell dasselbe Kompliment eingebracht, wenn auch aus unterschiedlichen Gründen. Es gibt drei dieser Argumente: das Stadion, der Pfeil und Achilles und die Schildkröte. Der Kürze halber behandle ich nur das letzte.

Eine Schildkröte fordert Achilles zu einem Rennen heraus. Nachdem er über die Unverschämtheit des Tieres gelacht hat, willigt der Held schließlich ein zu laufen, wobei er die Bitte der Schildkröte akzeptiert, dass ihr als Anfänger ein Vorsprung von ein paar Schritten gewährt werden sollte. Achilles hat keine Schwierigkeiten, den Ort zu erreichen, an dem die Schildkröte begann. Aber während der Zeit, die er braucht, um dorthin zu gelangen, ist die Schildkröte an eine neue Position vorgerückt. Achilles erreicht auch diese Position, nur um festzustellen, dass die Schildkröte wieder vorgerückt ist, um eine kleine, aber reale Strecke. Also muss Achilles weiter vorrücken, zur neuen Position seines Rivalen, der jedoch dort nicht mehr zu finden ist, sondern nur ein kleines Stück weiter. Und so weiter, ad infinitum. Dass dies der Beginn einer unendlichen Reihe ist, begreift selbst der schlechteste Mathematiker. Wie um alles in der Welt soll Achilles die Lücke zwischen sich und der Schildkröte in einer endlichen Zeit schließen?

Wie wir wissen, gibt es unendliche mathematische Reihen, die zu einer endlichen Zahl aufsummieren. Zum Beispiel summiert die Reihe ein halb, ein viertel, ein achtel und so weiter zu 1. Löst das nicht das Problem? Zeigt das nicht, dass Achilles, indem er eine endliche Strecke in einer endlichen Zeit läuft, unendlich viele abnehmende Intervalle zurücklegen kann? Nun, das würde es tun, wenn der Raum genau wie das Kontinuum der Zahlen wäre. Aber das können wir nicht annehmen. Zum einen können wir nicht annehmen, dass der Raum unendlich teilbar ist: Vielleicht kommt ein Punkt, an dem wir die kleinstmögliche (das heißt, physikalisch mögliche) Raumeinheit erreicht haben: die Breite eines Protons oder eines Quarks zum Beispiel. Andererseits wäre auch das eine Lösung des Paradoxons, da es nahelegen würde, dass Achilles keine unendliche Aufgabe erfüllen muss: Es gibt nur endlich viele Bewegungen durch den Raum, die die Schildkröte machen kann, und daher reicht es aus, dass Achilles sie auch macht, nur in weniger Zeit als die von seinem Rivalen benötigte Zeit.

Keine dieser Lösungen hat allgemeine Zustimmung gefunden. Insbesondere die zweite ist unbefriedigend, da sie von einer empirischen Annahme abhängt, die noch bewiesen werden muss. Es ist annehmbarer anzunehmen, dass der Raum unendlich teilbar ist, als dass er es nicht ist. Und das legt nahe, dass die Bewegung durch den Raum immer die Vollendung von unendlich vielen Reisen beinhaltet: Das ist die Essenz von Zenons Stadion-Paradoxon. Das Paradoxon wurde von J.F. Thompson verallgemeinert, um die Idee einer Mega-Aufgabe einzuführen: eine Aufgabe, die die Vollendung von unendlich vielen anderen Aufgaben beinhaltet. Das Leben scheint reich an Mega-Aufgaben zu sein, und – außer dem Schluss, dass das Leben unmöglich ist (was nicht unwahrscheinlich ist) – müssen wir verstehen, wie solche Aufgaben überhaupt abgeschlossen werden können. Thompson liefert faszinierende Argumente, um zu zeigen, dass die Annahme, dass eine Mega-Aufgabe abgeschlossen wurde, tatsächlich einen Widerspruch beinhaltet.

6. Achilles II

Derselbe J.F. Thompson schlug eine Standardlösung für das zweite Achilles-Paradoxon vor, das auf Lewis Carroll zurückgeht, der es am Ende des letzten Jahrhunderts in der Zeitschrift Mind veröffentlichte. (Was auch immer Sie von Mind halten, es hat eine herausragende Geschichte.) Achilles, schnell zu Fuß, aber langsam im Verstand, holt die weise Schildkröte ein, die ihn in einem intellektuellen Problem beraten wird. Ihm wurde gesagt, dass Paris mit Helena durchgebrannt ist und auch, dass, wenn Paris mit Helena durchgebrannt ist, es Krieg geben wird. Ist er berechtigt, daraus zu schließen, dass es Krieg geben wird? Aber ja, antwortet die Schildkröte, wenn er von p und p impliziert q zu q übergehen kann. Aber das ist doch wahr, sagt Achilles. Also lasst uns auch das zu unseren Prämissen hinzufügen, erwidert die Schildkröte, in welchem Fall wir die folgenden drei Prämissen haben:

(1) p

(2) p impliziert q.

(3) (p und p impliziert q) impliziert q.

Folgt q jetzt? Aber ja, sagt die Schildkröte, wenn wir annehmen können, dass (1), (2) und (3) zusammen q implizieren. Also lasst uns auch das zu unseren Prämissen hinzufügen:

(4) (p und (p impliziert q) und ((p und p impliziert q) impliziert q)) impliziert q. Folgt q jetzt? Aber ja, wenn wir annehmen können, dass (1), (2), (3) und (4) zusammen q implizieren. Also lasst uns auch das zu unseren Prämissen hinzufügen. Und so weiter, ad infinitum. Hier ist eine unendliche Aufgabe, die buchstäblich nie abgeschlossen werden kann. Die Schlussfolgerung ist unmöglich, und Achilles, wieder einmal besiegt, zieht sich in die schwerfällige Unzufriedenheit zurück, aus der er beschließt, nie wieder aufzutauchen.

Dies ist kein wirkliches Paradoxon, da es eine Lösung hat: nämlich die Prämissen eines Arguments von den Schlussregeln zu unterscheiden. Wenn Schlussregeln in Prämissen übersetzt werden, werden sie untätig: logische Wahrheiten vielleicht, aber unfähig, irgendetwas zu tun. Der Modus ponens ist nicht dasselbe wie die in (3) oben festgelegte logische Wahrheit, sondern ist sui generis. Es ist eine Reihe von Anweisungen zum Weitergehen von einer Menge von Formeln zu einer anderen. Anders ausgedrückt ist der Modus ponens keine Aussage in der Objekt-Sprache, sondern eine in der Meta-Sprache. Und wenn wir dies verstehen, haben wir eine tiefgreifende Wahrheit über die Logik verstanden.

Aber es ist auch eine beunruhigende Wahrheit. Denn es legt, wie Tarskis Lösung für den Lügner, nahe, dass wir nicht nur in einer Sprache denken können. Ohne die Fähigkeit, uns über unser eigenes Denken zu erheben und es aus einer Außenperspektive zu betrachten, können wir nicht einmal lernen, wie man denkt. Was für eine seltsame Sache ist dann das Denken.

7. Paradoxien der Unendlichkeit

Der erste Achilles ist eines einer ganzen Familie von Paradoxien, die das Konzept der Unendlichkeit umgeben: ein Konzept, das nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der spekulativen Theologie eingesetzt wird, die den Gedanken an einen endlichen Gott nicht dulden kann. Das erste Achilles-Paradoxon kann ganz einfach so ausgedrückt werden: Wie kann eine unendliche Reihe (zum Beispiel die Reihe 1 plus ein halb plus ein viertel plus ein achtel plus ...) sich zu einer endlichen Summe (nämlich 2) addieren? Sicherlich muss das Ergebnis unendlich groß sein, wenn man unendlich viele Mengen zusammenfügt, wie klein auch immer? Ähnliche Rätsel entstehen in Bezug auf die physische Welt. Wir neigen dazu zu glauben, dass der Raum und die darin enthaltenen Objekte unendlich teilbar sind. Aber das scheint zu implizieren, dass sie unendlich viele Teile haben, von denen jeder von einer endlichen, wenn auch verschwindenden Größe ist; in welchem Fall sollten sie nicht unendlich groß sein? Wir glauben auch, dass sich die Zeit unendlich in beide Richtungen erstreckt: vorwärts in die Zukunft und rückwärts in eine unendliche Vergangenheit. Diese letzte Vorstellung hat sich als besonders rätselhaft erwiesen. Denn es scheint zu implizieren, wie Kant in der Kritik der reinen Vernunft argumentierte, dass eine unendliche Reihe zu einem Ende gekommen ist: was sicherlich eine Absurdität ist! (Kant versuchte zu zeigen, dass es gleichermaßen absurd sei anzunehmen, dass bis jetzt nur eine endliche Zeit verstrichen sei: so dass es ein wirkliches Paradoxon gibt, für das eine Lösung gefunden werden muss – siehe das große Kapitel der Kritik, das die Antinomien der reinen Vernunft genannt wird.) Wittgenstein hat ein ähnliches Rätsel. Angenommen, ich würde auf eine Person stoßen, die erschöpft mit sich selbst spricht und sagt: „... fünf, eins, vier, eins, drei – puh! Ich habe es geschafft!“ Und angenommen, er antwortet auf die Frage, was er getan hat: „Die vollständige Dezimalentwicklung von Pi aufgesagt, nur rückwärts.“ Würden wir wissen, was wir davon halten sollen? Es scheint, dass wir eine Vorstellung davon haben, wie man eine unendliche Reihe beginnt, aber nicht, wie man sie beendet. Doch wie das Achilles-Paradoxon zeigt, kommen unendliche Reihen überall zu einem Ende und können von Anfang bis Ende nur eine Sekunde dauern.

Aristoteles hoffte, die vielen Paradoxien der Unendlichkeit zu lösen, indem er das Potenzial von der aktuellen Unendlichkeit unterschied. Er nahm an, dass die Vorstellung, dass eine unendliche Aufgabe erledigt oder eine unendliche Distanz zurückgelegt wurde, etwas von Natur aus Absurdes hat; denn diese Vorschläge zwingen uns, in Begriffen einer tatsächlichen Unendlichkeit endlicher Dinge zu denken, die vollständig und ganz in endlichem Raum und endlicher Zeit liegen. Aber es ist nichts Absurdes an dem Gedanken, dass wir mit einer Aufgabe beginnen könnten, die kein Ende hat: der Aufgabe zum Beispiel, ein räumliches Objekt wiederholt zu halbieren. Eine unendliche Reihe ist einfach eine, die, wie weit man auch darauf voranschreitet, unvollständig bleibt. Und das ist das Konzept der Unendlichkeit, das wir in der Mathematik verwenden.

Diese Vorstellung von Unendlichkeit hat viele Philosophen, Kant eingeschlossen, angesprochen: Eine Menge ist unendlich, wenn, wie viele Mitglieder Sie auch auflisten, immer noch mehr kommen werden. Die Unendlichkeit in der Mathematik entspricht daher einer Operation, die niemals abgeschlossen ist. Aber löst das wirklich die Paradoxien? Leider entstehen mit genau dieser Vorstellung einer unendlichen Menge neue Schwierigkeiten. Betrachten Sie die Reihe der natürlichen Zahlen und die Reihe der geraden Zahlen. Diese können wie folgt gepaart werden:

Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter.

Gerade Zahlen: 2, 4, 6, 8, 10, und so weiter.

Jede Reihe geht bis ins Unendliche, und doch glauben wir intuitiv, dass die zweite Reihe halb so viele Mitglieder hat wie die erste. Schließlich gibt es für jedes Mitglied der ersten Reihe, das in der zweiten enthalten ist, eines der ersten, das weggelassen wurde. Und doch wird jedes Mitglied der ersten Reihe mit einem eindeutigen Mitglied der zweiten gepaart. Die beiden Reihen sind gleichmächtig.

Zwei philosophisch gesinnte Mathematiker befassten sich im letzten Jahrhundert mit diesem Paradoxon – Richard Dedekind und Georg Cantor. Dedekind argumentierte, dass es keinen Widerspruch in der Vorstellung gibt, dass die Reihe der natürlichen Zahlen mit einer Untermenge von sich selbst gleichmächtig sein sollte. Der Anschein eines Paradoxons rührt nur daher, dass wir immer noch in endlichen Begriffen über die beiden Reihen nachdenken. Tatsächlich ging Dedekind noch weiter und schlug vor, dass wir eine unendliche Menge genau auf diese Weise definieren: als eine Menge, die in eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit einer echten Untermenge von sich selbst gebracht werden könnte. (Echt bedeutet, dass wir die Menge selbst nicht zu ihren Untermengen zählen.)

Mit dieser Definition entwickelte Cantor eine vollständige Mathematik der Unendlichkeit und war sowohl erstaunt als auch beunruhigt über das, was er fand. Denn es wurde möglich zu beweisen, dass es unendliche Mengen gibt, die nicht gleichmächtig miteinander sind. Tatsächlich scheint es unendlich viele unendliche Zahlen zu geben, die wie die natürlichen Zahlen nach steigender Größe geordnet werden können. Er entwickelte einen genialen Beweis – das berühmte Diagonalargument –, um zu zeigen, dass die Menge der reellen Zahlen größer ist als die Menge der rationalen Zahlen. Hier ist es:

Nehmen Sie alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Jede kann mittels einer unendlichen Dezimalentwicklung ausgedrückt werden, die in einer unendlichen Reihe von Nullen enden kann. So ist ein Drittel gleich 0,3333...; ein halb ist 0,50000...; die Quadratwurzel aus zwei minus eins ist 0,4142...; und so weiter. Angenommen, wir beginnen, die natürlichen Zahlen mit dieser Menge von reellen Zahlen zu paaren, wobei wir für jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 eine natürliche Zahl wählen. Zum Beispiel:

0 wird gepaart mit 0,1029...

1 wird gepaart mit 0,3333...

2 wird gepaart mit 0,4142...

3 wird gepaart mit 0,5000...

und so weiter. Wir können jetzt eine neue Zahl konstruieren, indem wir diagonal über das unendliche Quadrat der Zahlen auf der rechten Seite gehen. Die erste Zahl hat 1 als erste Ziffer; die zweite hat 3 als zweite Ziffer, die dritte hat 4 als dritte Ziffer und die vierte hat 0 als vierte Ziffer. Angenommen, wir ersetzen daher jede dieser Ziffern durch eine andere: Wir setzen 2, wo immer eine 3 ist, und 3, wo immer keine 3 ist. Dies wird sich in mindestens einer Ziffer von jeder anderen auf der rechten Seite aufgeführten reellen Zahl unterscheiden. Mit anderen Worten, sie wird nicht in der Liste der reellen Zahlen enthalten sein, die mit den natürlichen Zahlen gepaart wurde. Daher gibt es mehr reelle Zahlen zwischen 0 und 1 (und daher mehr reelle Zahlen) als natürliche Zahlen: Die beiden Mengen sind nicht gleichmächtig.

Durch ähnliche Argumente können Sie zeigen, dass es immer höhere Ordnungen der Unendlichkeit gibt, die rational diskutiert und in mathematischen Beweisen eingesetzt werden können, ohne jemals in einen Widerspruch zu geraten. Dies legt nahe, dass die alte aristotelische Art, mit dem Unendlichen umzugehen, unzureichend ist: Wir können unendliche Mengen nicht länger in Bezug auf Aufgaben behandeln, die niemals abgeschlossen werden; denn das würde uns zwingen zu sagen, dass unendliche Zahlen alle gleich sind; wohingegen einige größer als andere sind. Wie beschreiben wir also das Unendliche?

Cantor selbst war von seinen Theorien deprimiert; als zutiefst religiöser Mann hatte er gehofft zu zeigen, dass wir das Konzept des Unendlichen erfassen und genau in dem Sinne verstehen können, den die Theologie erfordert. Aber der schwindelerregende Abgrund, auf den er stieß, als er das Geheimnis der Diagonale entschlüsselt hatte, schien die gesamte Theologie in Verwirrung zu stürzen. Unfähig, über diese neue Art von Unendlichkeit nachzudenken, und unfähig, über etwas anderes nachzudenken, sank Cantor in eine Grube der Melancholie, aus der er nie wieder auftauchte. Aber sind seine Ergebnisse paradox? Sicherlich nur im ersten Sinne, kontraintuitiv zu sein. Es ist kein Widerspruch mit der Vorstellung einer unendlichen Menge verbunden, wie überraschend die Ergebnisse auch sein mögen, die daraus fließen. Andererseits war die Existenz solcher Mengen ein Ansporn für die Philosophie. Es wurde zwingend, zu erklären, was wir in der Mathematik unter Unendlichkeit meinen und wie wir die Beweise verstehen, die unendliche Mengen beinhalten. Dies war eines der Hauptmotive für die konstruktivistischen Theorien der Mathematik, die im letzten Kapitel diskutiert wurden.

8. Die Rolle des Paradoxons

Wie solche Beispiele zeigen, haben Paradoxien einen wichtigen Platz in der Philosophie. Ihnen verdanken wir die Erkenntnis, dass uns bestimmte Wege verschlossen sind; und es ist die Anstrengung, sie zu vermeiden, die der Hauptmotor des logischen Arguments ist. Deshalb wird die Entdeckung eines Paradoxons immer mit solcher Aufregung begrüßt. Betrachten Sie Hempels Paradoxon über die Raben. Das hat sich als eine der fruchtbarsten Entdeckungen in der Wissenschaftsphilosophie erwiesen: Es führt uns zu der Einsicht, dass die wissenschaftliche Methode nicht allein im Induktionsprinzip zusammengefasst werden kann. Betrachten Sie Goodmans Paradoxon über grün oder Wittgensteins isomorphes Paradoxon über das Befolgen von Regeln: Dies sind die Quelle philosophischer Unzufriedenheit mit dem naiven Ansatz zur Bedeutung und der Ansporn für eine völlig neue Konzeption der Sprache, als eine Aktivität, die nur durch eine a priori Sicht auf unsere Bedingung verstanden werden kann.

Nicht alle Paradoxien sind so wunderbar erhellend: Eine nützliche Übung, der die Weiße Königin sicherlich zustimmen würde, ist es, zu sehen, wie viele von ihnen Sie akzeptieren können und wie sich Ihre Sicht auf die Welt dabei ändern muss. Der Leser sollte den wichtigen ersten Anhang zu Mark Sainsburys gut gemachtem Buch konsultieren und versuchen, das Ende davon zu erreichen, bevor er den Weg des armen Philetas geht.