Mathematik

Raum, so argumentierte Kant, ist die Form des äußeren Sinnes und Zeit die Form des inneren Sinnes. So wie die Wahrnehmung die Welt als räumlich organisiert darstellt, so situiert jede Erfahrung (einschließlich rein innerer Erfahrung, wie Empfindung) unsere Welt in der Zeit. Raum und Zeit sind dem geistigen Leben inhärent. Der erste liefert apriorisches Wissen in Form der Geometrie, während der zweite seinen eigenen Körper apriorischer Wahrheit liefert, der ebenfalls mathematisch ist. Die zur Erfassung der Geometrie benötigte Anschauung wird durch eine andere Anschauung im Verständnis der Arithmetik ergänzt – der Operation des Zählens oder des Hinlegens, zuerst dies und dann das. Vielleicht ist diese Operation Teil dessen, was wir verstehen, wenn wir Zeit verstehen. Arithmetik ist, wenn man so will, die apriorische Wissenschaft des Zählens.

Diese kühnen und erstaunlichen Ideen sind schwer aufrechtzuerhalten. Aber ihr Motiv ist eines, mit dem ein moderner Philosoph sympathisieren würde. Kant versuchte, die apriorische Natur der mathematischen Wahrheit zu erklären, ohne der platonischen Versuchung nachzugeben, die darin besteht, sich ein separates und ewiges Reich mathematischer Objekte vorzustellen, zu dem wir durch den Aufstieg der Vernunft mysteriösen Zugang haben. Im Gegenteil, Kant schlägt vor, es sei unsere Natur als sinnliche Wesen, die uns Zugang zu mathematischen Wahrheiten verschafft. Die Mathematik beschreibt den apriorischen Rahmen der Erfahrung – die Form, in die Erfahrung passen muss, wenn sie wirklich unsere sein soll und ein Objekt unseres selbstbewussten Gewahrseins. Aber sie beschreibt kein Element innerhalb der empirischen Welt. Deshalb, wenn Sie den Fehler machen, den Platon macht, und glauben, dass Mathematik Objekte beschreibt, werden Sie diese Objekte in einem transzendentalen Reich situieren.

Nach Kants Ansicht sind mathematische Sätze a priori, aber synthetisch – und darin stimmt er mit Platon überein. Aber seine Erklärung der Behauptung entfernt deren metaphysische Kraft: Wir können sie akzeptieren, ohne Mathematik zum Paradigma objektiven Wissens zu machen, das sie seit der Antike gewesen war.

Gleichzeitig hat Platons Position eine intuitive Plausibilität. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

(1) Wir kennen viele arithmetische Wahrheiten und kennen sie ohne einen Schatten eines Zweifels.

(2) Arithmetische Wahrheiten handeln von Zahlen.

(3) Zahlen sind der Gegenstand von Identitäten, und tatsächlich ist die Identität der Zahl eines der primären mathematischen Konzepte.

(4) Wahrheit bedeutet Übereinstimmung mit den Tatsachen.

Es ist schwer, all diese Sätze zu akzeptieren und zu leugnen, dass Zahlen Objekte sind, aus Gründen, die Ihnen inzwischen vertraut sein sollten; und es ist schwer zu akzeptieren, dass Zahlen Objekte sind, ohne auch Platons Theorie zu akzeptieren, dass sie ewige, unveränderliche und notwendig existierende Objekte sind. Darüber hinaus nehmen Zahlen an keinerlei Veränderung oder Prozess teil; sie sind kausal träge. Es ist daher völlig vernünftig, sie in einem anderen, transzendentalen Reich zu situieren.

1. Die Natur der Mathematik

Die Mathematik hat viele Zweige, und Kants Annahme, dass Geometrie und Arithmetik unterschiedliche Wissenschaften sind, die eine sich mit dem Raum, die andere mit der Zahl befasst, ist plausibel. Es ist jedoch seit Descartes bekannt, dass geometrische Formen und Beweise algebraisch durch ein Koordinatensystem dargestellt werden können. Die im letzten Kapitel diskutierten Entwicklungen sind ein weiterer Beweis dafür, dass Geometrie ohne Bezugnahme auf die Diagramme und Figuren, die normalerweise zu ihrer Vermittlung verwendet werden, studiert werden kann.

Hilbert wollte zeigen, dass Mathematik auf eine Reihe von axiomatischen Systemen reduziert werden kann, wobei jeder Zweig durch seine Axiome von den anderen unterschieden wird. Die Schlussregeln sind der Mathematik gemeinsam und beinhalten jene elementaren logischen Schritte, wie zum Beispiel den Modus ponens, die eine Eigenschaft des Denkens als solches sind. Was eine Theorie zu einer mathematischen Theorie macht, im Gegensatz zu einem Stück Logik, liegt in der Natur der Axiome. Obwohl diese Axiome immens vielfältig sind, wie sie es sein müssen, wenn sie Raum, Zeit und Messung in all ihren Formen beschreiben sollen, haben sie ein charakteristisches Merkmal, das sie als mathematisch kennzeichnet, nämlich den Bezug zur Algebra der Zahlen. Algebra ist Arithmetik mit Variablen; und wenn wir die Arithmetik verstehen können, dann wäre die Mathematik kein metaphysisches Geheimnis mehr. Platon und die Pythagoräer hatten also auch darin recht: dass die Zahl das Wurzelkonzept der Mathematik und die letzte Quelle ihres metaphysischen Status ist.

Hilbert war ein Platoniker. Das bedeutet nicht, dass er dem erlag, was ich Platons Versuchung genannt habe: Das tat er nicht. Er glaubte, dass mathematische Theorien alle auf axiomatische Systeme reduziert werden könnten; aber er glaubte auch, dass wir die Idee der Zahl aus den Axiomen niemals eliminieren könnten. Wir müssen daher annehmen, dass numerische Ausdrücke für Objekte stehen, die eine von unseren Berechnungen unabhängige Realität haben. Das ist es, was gemeinhin unter Platonismus verstanden wird: die Theorie, dass Mathematik ein Reich oder System realer und unabhängig existierender Objekte beschreibt, deren Natur uns durch den Beweis bekannt ist, die aber Entitäten sind, die über die Beweise, durch die wir sie entdecken, hinausgehen.

Es gibt viele Gründe, alarmiert über den Platonismus zu sein. Nicht nur sind Zahlen sehr seltsame Objekte, wenn sie überhaupt Objekte sind. Es gibt eine erschreckend große Menge davon – tatsächlich, wie Cantor in seiner Theorie der transfiniten Zahlen zeigte – eine nicht abzählbare Unendlichkeit. Es gibt einfach keine Formel oder Prozedur, die die Gesamtheit der Zahlen identifiziert, nicht einmal eine Formel, die unendlich oft angewendet wird. Und die Leichtigkeit, mit der neue Zahlen aus dem Hut der höheren Mathematik gezogen werden können, legt vielen Menschen nahe, dass sie nie wirklich darin waren, sondern die illusorischen Nebenprodukte der Taschenspielertricks sind, die sie zeigen.

Daher entstand die Theorie des Konstruktivismus als Alternative zum Platonismus. Diese existiert in einer Vielzahl von Formen, wurde aber in diesem Jahrhundert von den Niederländern L.E.J. Brouwer und A. Heyting am ernsthaftesten unterstützt. Sie verteidigten eine Version des Konstruktivismus, die sie Intuitionismus nannten. Dies ist der Name, unter dem die Theorie jetzt häufig diskutiert wird (zum Beispiel von Dummett in seinem gleichnamigen Buch). Der Konstruktivist glaubt, dass wir keine Vorstellung von mathematischer Wahrheit haben, abgesehen von der Idee des Beweises. Unsere mathematischen Theorien sind intellektuelle Konstrukte, die nur so weit reichen wie ihr eigenes Gerüst, die uns aber niemals in ein anderes Reich oder zu Objekten führen, die unabhängig existieren. Der Beweis ist alles, was es gibt. Ebenso für Zahlen; diese existieren erst, wenn sie durch Operationen konstruiert werden, die sie in einer endlichen Anzahl von Schritten erzeugen. Es gibt keine Zahlen da draußen, die auf ihre Entdeckung warten; alle existierenden Zahlen sind in den Büchern und Papieren der Mathematiker enthalten. Denn zu sagen, dass Zahlen existieren, heißt zu sagen, dass es gültige Beweise gibt, die Ziffern beinhalten.

Der Konstruktivismus eliminiert die schwindelerregende Metaphysik, zu der uns der Platonismus zu verpflichten scheint; er gibt auch – oder scheint zumindest zu geben – eine verständliche Erklärung für die apriorische Natur der Mathematik. Tatsächlich ist es genau dieselbe Erklärung wie die von Kant gegebene. Mathematische Sätze sind a priori bekannt, da wir selbst ihre Urheber sind. Wir wissen so viel über Zahlen, und das so unfehlbar, weil die Wahrheiten über sie durch die Beweise geschaffen werden, die zu ihnen führen.

Der Charme des Konstruktivismus lässt jedoch bald nach. Wie die Intuitionisten einräumten, ist es nicht möglich, ihre Sicht der Zahlen zu akzeptieren und die Logik unverändert zu lassen. Ein mathematischer Satz ist nur wahr, wenn es einen Beweis dafür gibt; ebenso ist er nur falsch, wenn es einen Beweis für seine Negation gibt. Aber was ist, wenn es einen Beweis für keines von beiden gibt? Wir sind gezwungen zu sagen, entweder dass der Satz bedeutungslos ist – was sicherlich unerträglich ist, da wir dann nicht wüssten, was wir mit einem mathematischen Satz meinen, wenn kein Beweis dafür vorliegt – oder dass er weder wahr noch falsch ist. Mit anderen Worten, wir müssen das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten leugnen. Und das ist nicht alles, was wir leugnen müssen. Wie Heyting zeigte, werden wir ein völlig neues System der Logik benötigen – das er intuitionistische Logik nannte –, um die konstruktivistische Vision der mathematischen Wahrheit unterzubringen. Dieses Logiksystem erweist sich als geradezu kontraintuitiv. Tatsächlich nahmen die Intuitionisten auf dem Spezialgebiet der Mathematik die Schwierigkeiten vorweg, denen jede Form des Anti-Realismus begegnet.

Wo bringt uns das hin? Gibt es eine plausible Erklärung für die apriorische Natur der Mathematik, die sowohl die Metaphysik der Platoniker als auch die abweichende Logik der Konstruktivisten vermeidet?

2. Logizismus

Diese Frage führt uns zu einer früheren Periode der modernen Philosophie zurück. Die Kantische Theorie der Mathematik als synthetisch a priori inspirierte Frege zur Verfassung seiner Grundlagen der Arithmetik. Der Zweck war, zu zeigen, dass Mathematik wirklich analytisch ist – wie Hume angenommen hatte. Frege interpretierte dies so, dass Mathematik auf elementare Gesetze der Logik reduziert werden könnte, der Art, die akzeptiert werden muss, wenn es überhaupt ein Denken geben soll. So entstand das Logizismus-Programm – die Suche nach einer Ableitung der Mathematik aus der Logik, die das erste auf das zweite reduzieren würde, ohne ein verbleibendes Problem bezüglich der Natur der mathematischen Wahrheit zu hinterlassen.

Leibniz hatte bereits versucht, diese Reduktion durchzuführen. Er lieferte einen berüchtigten Beweis für die Aussage, dass 2 plus 2 gleich 4 ist, der wie folgt lautet: 2 ist definitionsgemäß 1 plus 1; 4 ist definitionsgemäß 1 plus 1 plus 1 plus 1. Daraus folgt 2 plus 2 ist 1 plus 1 plus 1 plus 1 ist 4. Der Satz wird einfach durch das Ersetzen von Definitionen bewiesen. 2 plus 2 ist 4 ist wahr definitionsgemäß. Aber Leibniz’ Beweis funktioniert nicht, denn es fehlt eine Zeile: 2 plus 2 ist (1 plus 1) plus (1 plus 1). Und was berechtigt uns, die Klammern wegzulassen und (1 plus 1) plus (1 plus 1) in (1 plus 1 plus 1 plus 1) umzuwandeln? Dieser Schritt wird genau durch die Operation der Addition autorisiert; aber er wird durch die Gesetze der Arithmetik autorisiert, nicht durch die Gesetze der Logik.

Am Ende des letzten Jahrhunderts zeigte Dedekind, dass alle grundlegenden Begriffe der Arithmetik (rationale, reelle und komplexe Zahl) auf die Theorie der natürlichen Zahlen reduziert werden können; Cantor zeigte dann, dass das Konzept der eins-zu-eins-Entsprechung verwendet werden könnte, um gleichzahlig zu definieren; und schließlich reduzierte Peano die Arithmetik auf eine Reihe von Axiomen. Es blieb nur noch, die in diesen Axiomen enthaltenen fundamentalen Begriffe zu definieren, damit die Reduktion der Arithmetik vollständig wäre.

Peanos Postulate, wie sie gewöhnlich genannt werden, sind extrem sauber:

1. 0 ist eine Zahl.

2. Jede Zahl hat mindestens einen und höchstens einen Nachfolger, der eine Zahl ist.

3. 0 ist nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl.

4. Keine zwei Zahlen haben denselben Nachfolger.

5. Was immer für 0 wahr ist, und auch für den Nachfolger irgendeiner Zahl wahr ist, wenn es für diese Zahl wahr ist, ist für alle Zahlen wahr.

Das fünfte Postulat besagt das bekannte Axiom der vollständigen Induktion, das es uns ermöglicht, Theoreme über alle Zahlen zu beweisen, indem wir nur drei davon betrachten. Die gesamte Arithmetik kann aus den fünf Postulaten abgeleitet werden. Das logizistische Programm versucht daher, die drei primitiven Terme – Zahl, Nachfolger und 0 – zu definieren und zu zeigen, dass die Postulate durch Logik aus den Definitionen abgeleitet werden können. Dies ist es, was Frege und Russell mithilfe der von Cantor eingeführten Idee der eins-zu-eins-Entsprechung beabsichtigten.

Der erste Schritt ist die Frage, woran Zahlen angehängt sind. Wenn ich sage, dass Sokrates eins ist und die Heilige Dreifaltigkeit drei, von wem prädiziere ich das eins und das drei? Es ist sofort klar, dass Zahlen keine Eigenschaften von Objekten sind: Einheit wird nicht von Sokrates prädiziert, wie es die Weisheit wird. Andernfalls könnte ich aus den Prämissen, dass Sokrates eins ist und Platon eins ist, folgern, dass Sokrates und Platon eins sind. Die Antwort darauf wird durch die Theorie der Quantifizierung nahegelegt. Wenn ich sage, dass ein Mensch existiert, prädiziere ich laut Frege die Existenz nicht von einem Menschen, sondern eher von dem Konzept Mensch: Ich sage, dass das Konzept mindestens eine Instanz hat. (Existenz ist ein Prädikat von Prädikaten.) In ähnlicher Weise werden Zahlen von Konzepten prädiziert: Zu sagen, dass es fünf weise Männer gibt, heißt zu sagen, dass das Konzept weiser Mann fünfmal instantiiert wird.

Wir können daher bereits sehen, wie adjektivische Ausdrücke der Zahl in die Sprache der Logik übersetzt werden können. Dies ist genau das, was Russell in seiner Theorie der bestimmten Beschreibungen tat, die uns zeigt, wie man Es gibt genau ein x, so dass … darstellt. Verallgemeinernd können wir schreiben:

(0) Es gibt keine Fs übersetzt sich als nicht es existiert ein x, so dass Fx

(1) Es gibt genau ein F übersetzt sich als: es existiert genau ein x, so dass Fx

(2) Es gibt genau zwei Fs übersetzt sich als: es existieren genau zwei x, so dass Fx

Und so weiter. Aber das sagt uns noch nicht, wie wir die numerischen Substantive verstehen sollen: Null, Eins, Zwei, usw., und gibt uns nicht die Mittel, mathematische Gesetze und Berechnungen auszudrücken. Dafür müssen wir die Zahlen selbst definieren.

Um die Zahlen zu definieren, müssen wir zuerst von einem Konzept zu seiner Extension übergehen – das heißt zu der Klasse von Dingen, die darunter fallen. Jedes Konzept, so nahm Frege an, bestimmt eine Klasse: Für jedes Konzept F gibt es die Klasse der Dinge, die F sind. Die Zahl eines Konzepts F ist die Anzahl der Mitglieder der Klasse der Dinge, die F sind. Wir können wissen, dass diese Zahl dieselbe ist wie die Zahl eines anderen Konzepts, ohne zu wissen, welche Zahl es ist. Denn die Mitglieder zweier Klassen können in eins-zu-eins-Entsprechung miteinander gebracht werden. Wenn es für jedes Mitglied der Klasse der Fs ein Mitglied der Klasse der Gs gibt und umgekehrt, dann können wir sagen, dass die beiden Klassen gleichzahlig sind, selbst wenn wir nicht wissen, wie viele Fs es gibt. Unsere Definition von Gleichzahligkeit ist eine rein logische Definition, die das Konzept der Zahl nicht verwendet.

Dennoch können wir jetzt eine Definition der Zahl konstruieren, und zwar mithilfe einer anderen logischen Idee: der einer Äquivalenzklasse. Angenommen, ich möchte die Richtung einer Linie in der Euklidischen Geometrie definieren. Ich definiere zunächst gleiche Richtung: ab hat die gleiche Richtung wie cd genau dann, wenn ab und cd parallel sind. Ich kann dann die Richtung von ab definieren, als die Klasse aller Linien, die die gleiche Richtung wie ab haben. Dies ist eine Äquivalenzklasse, die die Extension des Konzepts vollständig identifiziert: Richtung von ab. Aus mathematischer Sicht kann ich alles, was ich über die Richtung von ab sagen möchte, sagen, indem ich die Eigenschaften dieser Klasse diskutiere. Wenn ich Richtung im Allgemeinen definieren möchte, dann kann ich sagen, dass es die Klasse von Klassen ist, die gleichgerichtet sind.

In ähnlicher Weise können wir Zahl als Klassen von gleichzahligen Klassen definieren. Das Ziel ist es, die Definition unter Verwendung nur logischer Konzepte abzuschließen: Konzepte, deren Bedeutung und Extension durch die elementaren Gesetze des Denkens bestimmt werden. Hier ist also, wie Sie Null definieren könnten. Betrachten Sie das Prädikat ist nicht mit sich selbst identisch. Es ist eine logische Wahrheit, dass dies auf nichts zutrifft. Daher hat die Klasse, die dieses Prädikat bestimmt, notwendigerweise keine Mitglieder. Es ist die Nullklasse. Die Zahl Null kann dann als die Anzahl der Dinge x definiert werden, so dass x nicht mit sich selbst identisch ist (alternativ als die Klasse aller Klassen von Dingen, die nicht mit sich selbst identisch sind):

0 ist definitionsgemäß die Zahl der x, so dass x nicht gleich x ist

(Nx bedeutet die Zahl der x, so dass …)

Nachdem wir Null definiert haben, definieren wir die verbleibenden Zahlen rekursiv, wie folgt: 1 ist die Klasse aller Klassen, die gleichzahlig zur Nullklasse sind (denn es ist eine logische Wahrheit, dass es mindestens eine und höchstens eine Nullklasse gibt); 2 ist die Klasse aller Klassen, die gleichzahlig zur Klasse sind, deren einzige Mitglieder die Nullklasse und die Klasse sind, deren einziges Mitglied die Nullklasse ist. Und so weiter. (Wir bauen die Zahlen aus der Nullklasse auf, während wir keinerlei ontologische Annahmen machen.) Wir können auch die Nachfolger-Relation mithilfe des Existenzquantors definieren. Denn die Zahl der Fs ist eins mehr als (das heißt Nachfolger zu) der Zahl der Gs, wenn ein F existiert, so dass der Rest der Fs die gleiche Zahl wie alle Gs hat. (Denken Sie daran, dass gleiche Zahl wie ohne Bezugnahme auf die Zahl definiert ist.)

Das letzte primitive Element, das Peanos Postulate erfordern, ist das Konzept der Zahl selbst. Frege ruft auf geniale Weise die vollständige Induktion (Peanos fünftes Postulat) auf, um sich die Definition zu verschaffen. Wir können sagen, dass x eine natürliche Zahl ist, wenn es unter jedes Konzept fällt, unter das Null fällt und das so beschaffen ist, dass jeder Nachfolger dessen, was darunter fällt, auch darunter fällt.

Diese Definition ermöglicht es uns, Peanos Postulate und daraus den Rest der Arithmetik abzuleiten. Da Dedekind und Cantor gezeigt hatten, wie man die gesamte Zahlentheorie aus der Arithmetik ableitet, und da die Zahlentheorie das ist, was die Mathematik auszeichnet, haben wir die Mathematik aus der Logik abgeleitet. Was zu beweisen war.

3. Russells Paradoxon

Dies ist in kürzester Zusammenfassung Freges Theorie der Mathematik. Zur genau selben Zeit, als er sie hervorbrachte, arbeitete Russell entlang ähnlicher Linien auf dasselbe Ergebnis hin. Russell bemerkte jedoch ein Paradoxon, das das gesamte Unternehmen in Zweifel zog. Freges Beweis stützt sich wahllos auf seine Annahme, dass es für jedes Prädikat F die Klasse der Dinge gibt, die F sind. Dies soll eine intuitive Idee der Logik sein, so grundlegend, dass sie keiner weiteren Rechtfertigung bedarf, wie das Gesetz, dass alles mit sich selbst identisch ist. Es führt jedoch ein Konzept ein – das der Klasse –, das nicht auf einer Stufe mit den gewöhnlichen Begriffen der Logik steht. Klassen bilden neue Entitäten in unserer Ontologie: Sie sind nicht nur Bündel oder Aggregate, sondern geordnete Sammlungen. Warum also annehmen, dass die Vorstellung der Klassenmitgliedschaft eine logische Idee ist, wie die Prädikation?

Schlimmer noch: Aus Freges Annahme folgt ein Widerspruch. Betrachten Sie das Prädikat ist kein Mitglied von sich selbst. Wenn Klassen legitime Entitäten sind, dann kann dieses Prädikat auf sie angewendet werden. Die Klasse der langweiligen Dinge ist sicherlich selbst langweilig: Sie ist daher ein Mitglied ihrer selbst. Die Klasse der kleinen Dinge ist groß und daher kein Mitglied ihrer selbst; und so weiter. Wenn jedes Prädikat eine Klasse bestimmt, dann muss dies für das Prädikat ist kein Mitglied von sich selbst wahr sein. Also muss es eine Klasse von Dingen geben, die keine Mitglieder ihrer selbst sind. Ist diese ein Mitglied ihrer selbst oder nicht? Wenn sie es ist, dann ist sie es nicht. Wenn sie es nicht ist, dann ist sie es. Was ein direkter Widerspruch ist.

Es gab viele Antworten auf dieses Paradoxon. Aber keine von ihnen gelingt es, das logizistische Unternehmen zu retten, da jede uns zwingt, Begriffe aufzurufen, die nicht Teil der selbstverständlichen Inhalte der Logik sind. Hier sind die beiden berühmtesten Antworten:

(i) Die Theorie der Typen. Dies war Russells eigener Weg um das Paradoxon herum. Alle Entitäten sollen in einer Hierarchie von Typen angeordnet werden, so dass, während Entitäten desselben Typs zusammen in eine Klasse gehören können, keine Entitäten unterschiedlichen Typs dies tun können. Zum Beispiel gibt es eine Klasse von roten Objekten. Aber es gibt keine Klasse, die aus roten Objekten zusammen mit der Klasse von roten Objekten besteht. Die Klasse von roten Objekten gehört zu einem höheren Typ als die roten Objekte selbst. Während wir die Hierarchie aufsteigen, wird das Muster wiederholt. Es gibt eine Klasse, deren Mitglieder die Klasse der roten Dinge, die Klasse der grünen Dinge, die Klasse der blauen Dinge und die Klasse der gelben Dinge sind. Aber es gibt keine Klasse, die aus all diesen zusammen mit der Klasse der Klassen der farbigen Dinge besteht. Und so weiter ad infinitum. Jeder Versuch, eine Klasse zu konstruieren, deren Mitglieder von unterschiedlichem Typ sind, ist ausgeschlossen. Wir dürfen keine hybriden Klassen einführen, da das Ergebnis kein wohlgeformter Ausdruck in unserer Logik sein wird. Daher ist die Klasse der Klassen, die keine Mitglieder ihrer selbst sind kein zulässiger Ausdruck.

Darin liegt etwas intuitiv Ansprechendes. Denn es spiegelt die Idee des Konstruktivisten wider, dass diese abstrakten Entitäten existieren, weil wir sie konstruieren; wir müssen daher darauf achten, wie wir sie konstruieren, wenn wir keinen Unsinn machen wollen. Hybride Klassen leiden unter demselben Mangel wie die Sätze Existenz existiert oder das Konzept Pferd ist ein Pferd: Sie wenden Konzepte heimlich auf sich selbst an, anstatt auf die Dinge, die darunter fallen. Andererseits ist diese Intuition bestenfalls metaphysisch und sicherlich nicht logisch.

Darüber hinaus können die Grundlagen der Arithmetik nicht länger ohne weitere Annahmen gelegt werden. Wir können die Zahl Null durch rein logische Mittel aus der Nullklasse konstruieren. Aber betrachten Sie eine beliebige Zahl n. Woher wissen wir, dass n existiert? Wir könnten sie auf die Weise konstruieren, die ich zuvor angedeutet habe: Nehmen Sie die Nullklasse – das ist eine Sache; und jetzt die Klasse, deren einziges Mitglied die Nullklasse ist – das ist eine andere; und die Klasse, deren einziges Mitglied die Klasse ist, deren einziges Mitglied die Nullklasse ist – das ist wieder eine andere. Und so weiter. Auf diese Weise könnten wir eine Klasse mit n Mitgliedern für jedes n aus dem Nichts aufbauen. Wir können über alle Zahlen sprechen, während wir keinerlei ontologische Annahmen machen. Aber die resultierende Klasse wird ein scheußlicher Hybrid sein, der durch Russells Theorie bereits vom zweiten Schritt an ausgeschlossen ist. Es gibt also keine Möglichkeit, die Klasse zu konstruieren, deren Zahl n ist, ohne die Existenz von n Dingen desselben Typs anzunehmen. Es muss daher genauso viele Entitäten in unserer Welt geben, wie es Zahlen gibt. Andernfalls kann die Mathematik die Existenz ihres bekannten Gegenstandes nicht annehmen. Dies ist eine riesige (in der Tat unendliche) ontologische Annahme. Russell nennt es das Unendlichkeitsaxiom. Aber es ist kaum eine Wahrheit der Logik: vielleicht nicht einmal eine empirische Wahrheit. In diesem Fall wird die apriorische Natur der Mathematik ernsthaft in Zweifel gezogen.

(ii) Zermelo-Mengenlehre. Die Antwort von Ernst Zermelo war einfacher und sauberer, wenn auch in gewisser Weise weniger intuitiv. Das Paradoxon entsteht, sagte er, nur für bestimmte Prädikate, wie das von Russell gewählte. Wir sollten daher schließen, dass es keine solche Menge wie die Menge von Objekten gibt, die keine Mitglieder ihrer selbst sind. Einige Prädikate bestimmen Mengen, andere nicht: und wir können dies andeuten, indem wir sagen, dass es für jedes legitime Prädikat eine Menge gibt, aber nicht für jedes Prädikat. Wir konstruieren unsere Mathematik aus der so definierten Mengenlehre.

Aber dieser neue Begriff der Menge ist sehr weit von Russells intuitiver Vorstellung einer Klasse entfernt. Seine Extension kann nicht durch das Studium logischer Begriffe allein entschieden werden, sondern nur durch weitere Anwendungen mathematischen Denkens der Art, die wir zu erklären gehofft hatten. Zahlen werden auf Mengen reduziert, nur weil Mengen wie Zahlen geworden sind, in all den Weisen, die Zahlen schwer verständlich machen. Insbesondere wird das Zeichen der Mengenmitgliedschaft, Element von, ein neues mathematisches Primitiv, dessen Eigenschaften durch die Theorie gegeben sind, die damit aufgebaut wird, und nicht durch einen Exkurs in das Reich der Logik.

4. Das Primat der Mathematik

Aber der Spieß kann nun gegen den Logizisten umgedreht werden. Er begann mit der zuversichtlichen Annahme, dass die Prädikation eine transparente Idee ist, die im Rahmen der Fregeschen Logik vollständig verständlich ist. Mit Hilfe der Prädikatenlogik definierte er zuerst die Klassenzugehörigkeit und dann die Zahl. Aber das Paradoxon wirft nicht nur Zweifel an der Definition der Klassenzugehörigkeit auf, sondern auch an der Idee der Prädikation selbst, von der sie abgeleitet ist. Frege, der die Frage beantwortet, wofür F steht, ist notorisch ausweichend. Ein Konzept, sagt er; aber jedes Konzept bestimmt eine Funktion. Funktionen sind keine vollständigen Entitäten, wie es Objekte sind: Sie sind ungesättigt. Was in der Welt entspricht also der Funktion F? Wie sollen Funktionen individuiert werden? Bei der Beantwortung dieser Frage könnten wir versucht sein, zu einer dritten Interpretationsebene überzugehen: Jenseits des Konzepts F und der Funktion F gibt es die Extension des Konzepts: die Klasse der Dinge, die F sind. Jetzt haben wir endlich ein greifbares Stück Realität – etwas in der Welt, an dem das Prädikat F verankert ist.

Unglücklicherweise wird jedoch genau diese Erklärung durch Russells Paradoxon ausgeschlossen. Aus der Annahme, dass jedes Prädikat eine Klasse bestimmt, folgt ein Widerspruch. Wir brauchen also ein Kriterium, das zwischen legitimen und illegitimen Prädikaten unterscheidet.

Tatsächlich haben wir ein Kriterium. Wir müssen nur das Zeichen für die Mengenmitgliedschaft zu unserer Liste der Primitiven hinzufügen und dann festlegen, dass es für jede legitime Menge ein legitimes Prädikat gibt. Wir können die Prädikation durch die Mitgliedschaft definieren: F von a zu prädizieren, bedeutet zu sagen, dass a ein Mitglied der Menge der Fs ist. Wir beziehen uns nicht länger auf jene seltsamen ungesättigten Entitäten, auf die das Konzept der Identität kaum anwendbar zu sein scheint, sondern auf reale Elemente in der Welt, deren Identitätsbedingungen gut verstanden sind: denn Mengen sind identisch, wenn sie dieselben Mitglieder haben.

Somit erklären wir die grundlegende Operation der Logik – die Bildung des Subjekt-Prädikat-Satzes – anhand einer mathematischen Operation, deren Natur durch die Axiome der Mengenlehre definiert ist. Die Mengenmitgliedschaft, die der Grund der Mathematik ist, erweist sich als auch der Grund der Logik; die Gesetze der Mengenmitgliedschaft sind die Gesetze des Denkens. Kurz gesagt, die Logik ist nicht die Grundlage der Mathematik, sondern ein Zweig davon.

Die Dinge sind nie so einfach, wie sie scheinen. Denn obwohl diese radikale Linie einen Anhänger von Quine ansprechen würde, hat sie eine Folgerung, die wenige andere akzeptieren möchten. Die Menge der Nierentiere zum Beispiel ist identisch mit der Menge der Herztiere, da alles, was eine Niere hat, ein Herz hat und umgekehrt. Aber Logik, Biologie und Medizin zwingen uns, die beiden zu unterscheiden; und welche bessere Art gibt es, als die von Frege vorgeschlagene, nämlich zu sagen, dass wir zwei Eigenschaften haben, die eine einzige Klasse bestimmen?

Wir könnten die Vorteile von Mengen gegenüber Eigenschaften bewahren, wenn wir Eigenschaften (und nicht nur die Extensionen von Eigenschaften) in Bezug auf Mengen definieren könnten. Dies ist nicht unmöglich. Hier ist ein Vorschlag: Die Eigenschaft F ist identisch mit der Eigenschaft G genau dann, wenn für jede mögliche Welt w die Menge der Fs in w dieselben Mitglieder hat wie die Menge der Gs in w. Aber wir sind jetzt in ein Territorium vorgedrungen, dem kein Quine-Anhänger gerne folgen würde; und wenn die einzige Möglichkeit, Eigenschaften zu definieren, uns dazu zwingt, über mögliche Welten zu quantifizieren, könnte dies als ein weiterer Grund dafür angesehen werden, Eigenschaften gänzlich aufzugeben.

5. Mengenlehre

Die sieben Axiome der Mengenlehre, die von Zermelo und seinem Zeitgenossen Abraham Fraenkel festgelegt wurden, um die heute als Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre bekannte Theorie zu bilden, sind von Frege inspiriert, aber sehr weit von allem entfernt, was von ihm befürwortet worden wäre. Diese Axiome sind nicht willkürlich, sondern sollen den grundlegendsten intellektuellen Operationen entsprechen – nämlich dem Zusammenhalten von Dingen im Denken, wie wenn ich Dinge zähle, sie gruppiere oder sie unter ein einziges Prädikat bringe. Die Axiome sind keine logischen Wahrheiten, sondern Teil dessen, was Russell eine implizite Definition nennen würde: Das definierte Symbol ist das Elementenzeichen der Mengenmitgliedschaft. Ihre Wahrheit wird durch Intuitionen begründet, die zu tief für einen Beweis liegen, da jeder Beweis von ihnen abhängt.

Betrachten Sie das Fundierungsaxiom, das auf Fraenkel zurückgeht und besagt, dass es keine nicht-fundierten Mengen gibt: das heißt, keine Mengen, die Mitglieder enthalten, die Mitglieder enthalten, die Mitglieder enthalten … bis ins Unendliche. Dies erfasst unsere intuitive Vorstellung, dass Mengen durch ihre Mitglieder konstituiert werden und darauf supervenieren. Mengen müssen in ihren Mitgliedern auf dem Boden ankommen: Man hat nur dann eine Menge, wenn man die darin enthaltenen Dinge erfasst hat. Es gibt daher eine Menge von Raben, aber keine Menge von Nicht-Raben. (Wenn es eine solche Menge gäbe – kurz N –, dann wäre sie ein Nicht-Rabe. Also würde N, das N enthält, das N enthält … ad infinitum, N enthalten.) Ist das eine Lösung für Hempels Paradoxon?

Wichtiger ist, dass wir jetzt sehen können, warum die Frege-Russell-Definition der Zahl nicht aufrechterhalten werden kann. Es gibt keine solche Menge wie die Menge aller zweielementigen Mengen – das heißt die Menge, die für Frege mit der Zahl 2 identisch ist. Wenn es eine solche Menge gäbe – nennen wir sie S –, gäbe es auch (gemäß dem Paarungsaxiom) eine weitere Menge T, bestehend aus S und Lady Thatcher. Aber T ist eine zweielementige Menge: Daher enthält S, das T enthält, das S enthält, das T enthält … unendlich. Wieder einmal wird das Fundierungsaxiom verletzt: Die Menge T ist eine unendliche Leiter, die niemals den Boden berührt; eine Leiter ohne ersten Schritt, wie die, die Jakob im Traum angeboten wurde.

Das Unternehmen, Zahlen als Mengen von Mengen zu definieren, muss daher aufgegeben werden; Mengen selbst werden zu den Primitiven der Mathematik. Darüber hinaus sehen wir, dass Kant vielleicht doch recht hatte. Die Axiome der Mengenlehre sind keine analytischen Wahrheiten. Es ist keine Inkonsistenz damit verbunden, das Fundierungsaxiom zu leugnen. Aber dieses Axiom ist sicherlich nicht a posteriori; es ist a priori bekannt, indem man über die intuitive Vorstellung der Mitgliedschaft nachdenkt. Darüber hinaus besteht der Test der Mengenlehre darin, dass wir die gesamte Arithmetik daraus ableiten können. Aber Arithmetik ist anders als Geometrie: Wir zögern, alternative Arithmetiken zuzulassen oder uns mögliche Welten vorzustellen, in denen unsere Gesetze der Arithmetik nicht gelten. Denn es gibt keinen a posteriori Gegenstand für die Arithmetik: kein Analogon des physikalischen Raumes, der der a posteriori Gegenstand der Geometrie ist. Es ist daher keine kontingente Tatsache, dass unsere Welt den Gesetzen der Arithmetik entspricht. Kurz gesagt, die Mengenlehre – die Arithmetik in ihrem endgültigen Zustand der Entkleidung ist – ist ein Körper synthetischer a priori und notwendiger Wahrheit.

6. Was sind Zahlen?

Was sind also Zahlen? Die Antwort ist sehr schwer zu finden. Zu sagen, dass sie Mengen sind, heißt nichts zu sagen, wenn wir nicht sagen können, welche Mengen sie sind. Selbst wenn wir uns um das Russellsche Paradoxon (und es ist nur eines von vielen solchen Paradoxien) herumwinden, sind wir immer noch keinen Schritt näher daran, genau zu sagen, was die Zahl 3 wirklich ist. Ich könnte jede dreielementige Menge nehmen und sie in meinen Berechnungen als die Zahl 3 verwenden. Aber welche der unbegrenzt vielen solcher Mengen ist die Zahl Drei?

Die Antwort ist, dass es keine Antwort gibt. Aber vielleicht ist das die Antwort. In einem bemerkenswerten Aufsatz (Was Zahlen nicht sein können) kommt Paul Benacerraf zu dem Schluss, dass das wichtigste Erbe des Logizismus darin besteht, dass Zahlen, was immer sie sein mögen, keine Objekte sind. Es gibt kein Objekt, das die Zahl Drei ist. Wir könnten jede geeignet konstruierte Folge von Mengen wählen, um als die Elemente in unserer Arithmetik zu dienen. Solange sie in der zum Zählen erforderlichen Weise geordnet sind (das heißt in der Weise, die in Peanos Postulaten zusammengefasst ist), gibt es buchstäblich nichts zwischen ihnen zu wählen. Wenn die Zahlen bestimmte Objekte wären, mit ihrer eigenen unabhängigen Existenz, gäbe es eine spezifische Menge von Objekten, die sie sind. Aber eine solche Menge kann nicht gefunden werden; welche wir auch immer wählen, es wird eine willkürliche Wahl aus unbegrenzt vielen Konkurrenten sein.

Das mag nicht richtig sein. Aber es trifft erneut einen sympathischen Akkord. Denn es erinnert uns daran, dass Mathematik eine Praxis ist, die ihren Sinn aus den Aktivitäten des Zählens, Messens und Rechnens erhält. Die platonische Versuchung führt uns weg von diesen Aktivitäten, hin zu einem stillen, ungestörten Reich, in dem Zahlen nicht so sehr benutzt als vielmehr betrachtet werden, immer wieder unter unserem intellektuellen Blick gedreht, die kostbaren Juwelen der Ewigkeit. Aber mathematisches Wissen ist nicht so. Wenn es so wäre, könnte man sich jemanden vorstellen, der eine perfekte intellektuelle Bekanntschaft mit den Zahlen hatte (oder zumindest mit einer passablen Anzahl von ihnen!), der aber unfähig war, eine Schafherde zu zählen. Sollten wir nicht die Praxis an die erste Stelle setzen, wie Kant es tat, und die Zahlen als so viele Schatten betrachten, die von unserer Aktivität geworfen werden – die nur solange als Entitäten erscheinen, solange wir uns nicht umdrehen, um sie zu erfassen?

7. Theorie und Meta-Theorie

Die Philosophie der Mathematik machte nach Russell und Frege einen weiteren Schritt nach vorn, mit der Entwicklung von Meta-Theorien. Diese spielen eine zunehmend wichtige Rolle in der Philosophie der Logik, und es ist wissenswert, etwas über sie zu erfahren.

Wir können eine Theorie als eine Menge von Axiomen zusammen mit Schlussregeln definieren. Ein Theorem ist jede Formel, die aus den Axiomen durch wiederholte Anwendung der Regeln folgt. Aber eine Theorie ist leer, bis die Axiome mit einer Interpretation versehen wurden. Wir müssen den primitiven Termen Werte zuweisen und zeigen, wie die Werte von Formeln aus den Werten ihrer Teile abgeleitet werden können. (Diese Zuweisung von Werten ist Teil einer Wahrheitstheorie für eine Sprache.) Die Interpretation ist nicht etwas, das von der Theorie selbst durchgeführt wird, sondern etwas, das von uns durch eine andere Theorie – die Meta-Theorie – durchgeführt wird. Eine Meta-Theorie kann mir sagen, dass ein gegebenes Axiom in einem System von den anderen unabhängig ist. (Unabhängigkeit wird bewiesen, indem gezeigt wird, dass es eine Interpretation gibt, die das Axiom falsch macht, während die anderen wahr sind.) Eine Meta-Theorie kann zeigen, dass eine gegebene Menge von Axiomen relativ zu einer bestimmten Interpretation vollständig ist, was bedeutet, dass sie alle Formeln erzeugt, die unter dieser Interpretation wahr sind. Und sie kann zeigen, dass die Axiome inkonsistent sind – das heißt, dass es eine Interpretation gibt, die p und nicht-p als Theorem erzeugt. (Alternativ eine Interpretation, unter der jede wohlgeformte Formel ein Theorem ist: siehe nächstes Kapitel.)

Wir können uns auch Meta-Theorien vorstellen, die uns sagen, dass eine bestimmte Formel beweisbar ist, obwohl wir keinen Beweis dafür in der Theorie haben. Wenn wir zeigen können, dass die Axiome alle Wahrheiten der Arithmetik erzeugen und dass p eine solche Wahrheit ist, dann haben wir bewiesen, dass p beweisbar ist. Aber wir haben es nicht in der Theorie bewiesen. Dies gibt dem Platoniker etwas Trost, da es nahelegt, dass die mathematische Wahrheit von jedem bestimmten Beweis, durch den wir sie begründen, verschieden ist. Es gibt Wahrheiten, die noch nicht bewiesen sind: zumindest nicht in der Theorie. Der endgültige Schlag gegen das logizistische Programm wurde von Gödel geführt, in seinem berühmten meta-mathematischen Beweis, dass es keinen Beweis für die Vollständigkeit der Arithmetik geben kann, der einen Beweis für ihre Konsistenz zulässt, und umgekehrt. Wir können nicht von einem Axiomensystem, das ausreicht, um die Arithmetik zu erzeugen, wissen, dass es sowohl vollständig als auch konsistent ist. Daher kann es Formeln der Arithmetik geben, die wahr, aber nicht beweisbar sind. Daraus scheint zu folgen, dass kein logisches System, wie verfeinert auch immer, ausreichen wird, um die gesamte Bandbreite mathematischer Wahrheiten zu erzeugen. Daraus folgt auch, dass wir die Mathematik nicht so behandeln können, wie Hilbert es sich gewünscht hatte, lediglich als Zeichenketten beweisbarer Formeln: Die Theorie des Formalismus ist falsch.

Spekulationen über Gödels Theorem können unterhaltsam sein – wie Sie aus Douglas Hofstadters Buch Gödel, Escher, Bach erfahren können, einem Buch, das auch einige unerhörte Vergleiche anstellt (wie die im Titel implizierten). Aber es ist ein Gebiet, auf dem der Amateur sehr vorsichtig treten muss. Begnügen wir uns daher lediglich mit dem Gedanken, dass der Platonismus immer noch etwas Leben in sich hat. Wenn es unbeweisbare Wahrheiten der Mathematik geben kann, dann kann die Mathematik nicht auf die Beweise reduziert werden, durch die wir sie konstruieren. Es gibt ein Reich mathematischer Wahrheit, ob wir Zugang dazu durch unsere eigenen intellektuellen Verfahren erlangen können oder nicht. Und das Außergewöhnliche ist, dass auch dies etwas ist, was wir beweisen können. Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, dass wir uns über unsere eigenen Einschränkungen erheben und unser Denken in genau jene Regionen projizieren können, in denen es nicht frei umherwandern kann. (Aber vielleicht ist dies nur eines jener mathematischen Rätsel, die die Künstlichkeit der Welt der Zahlen widerspiegeln? So jedenfalls wäre die Erwiderung der Konstruktivisten.) Wie auch immer wir uns dieser Welt nähern, wir können nicht umhin, von einer einzigartigen Tatsache betroffen zu sein. Das, dessen wir am sichersten sind und das Philosophen seit der Antike mit ihrem Paradigma des Wissens versorgt hat, ist auch ein Reich des Paradoxons. Und die Lösung für jedes Paradoxon scheint ein anderes zu erzeugen, bis zu dem Punkt, an dem wir uns gedrängt fühlen, die objektive Gültigkeit der einzigen Wahrheiten in Zweifel zu ziehen, die nie bezweifelt wurden. Was ist dann ein Paradoxon, und warum sollte ein Paradoxon vermieden werden?