Sinn und Referenz

Das letzte Kapitel drang in schwieriges Terrain vor, und einige der von mir verwendeten Begriffe sind noch nicht erklärt worden. Ich sprach von Referenz, Prädikaten, Bedeutung und Regeln, wobei ich davon ausging, dass ein intuitives Verständnis dieser Dinge ausreichen würde. Um klarer zu werden, müssen wir nun zu Frege zurückkehren, dem deutschen Philosophen, der die Philosophie der Sprache, wie wir sie kennen, schuf und dessen Werk in Wittgensteins Philosophischen Untersuchungen weitergeführt wurde. Frege schrieb wenig, und alles, was er schrieb, ist absolut erstklassig. Dank der Schriften von Michael Dummett sind die Hauptideen der Fregeschen Philosophie heute frei im Umlauf, und niemand kann ihre Bedeutung bezweifeln. Es gibt eine Abhandlung von Frege, die jeder an Philosophie Interessierte lesen muss, nämlich die Abhandlung, die ich in diesem Kapitel besprechen werde. In ihrer Neuausgabe der philosophischen Schriften übersetzen Geach und Black sie unter dem Titel Über Sinn und Bedeutung, aber sie wird von allen anderen zu Recht als Über Sinn und Referenz bezeichnet. Abgesehen von diesem Artikel sind zwei weitere Werke Freges für die moderne Philosophie besonders relevant: der Aufsatz mit dem Titel Der Gedanke und das kurze Meisterwerk mit dem Titel Die Grundlagen der Arithmetik.

Es ist eine Binsenweisheit, dass die Logik, die der wissenschaftlichste Teil der Philosophie sein sollte, in vielerlei Hinsicht der umstrittenste und auch der sich am langsamsten ändernde ist. Aristoteles fasste die gültigen Syllogismen zusammen und klassifizierte sie und gab eine subtile Darstellung von Wahrheit und Schlussfolgerung. Aber niemand baute auf seiner Leistung bis in die Neuzeit auf. Obwohl Leibniz einige wichtige Fortschritte machte, nahm das Wissen der Philosophen über die Logik im neunzehnten Jahrhundert tatsächlich ab. Der größte Philosoph des neunzehnten Jahrhunderts – Hegel – schrieb ein Buch mit dem Titel Logik, das nur aus formal ungültigen Argumenten besteht und nichts enthält, was für die Logik, wie wir sie kennen, relevant wäre. Verschiedene Empiristen schnitten etwas besser ab, und John Stuart Mills System der Logik ist eines der wenigen prä-fregeschen Werke, die eine ernsthafte Untersuchung lohnen. Aber die wirklichen Veränderungen kamen erst am Ende des neunzehnten Jahrhunderts, als Frege und Russell gleichzeitig mit der Erforschung der Grundlagen des mathematischen Denkens begannen. Ich werde einen von Russells Beiträgen im nächsten Kapitel betrachten; vieles von dem, was Frege entdeckte, entdeckte auch Russell.

1. Die Struktur eines Satzes

Die antiken Philosophen waren mit dem gewöhnlichen Subjekt-Prädikat-Satz vertraut, wie zum Beispiel Hans ist kahl, den sie in drei Teile unterteilten: den Subjektterm (Hans), die Kopula (ist) und den Prädikatterm (kahl). Sie hatten jedoch große Probleme, andere Sätze in diese Form zu bringen. Zum Beispiel Sätze wie Alle Schwäne sind weiß (universelle Sätze), Hans existiert (existenzielle Sätze) und Es ist notwendig, dass du kommst (modale Sätze). Der Subjekt-Prädikat-Satz war für Aristoteles von grundlegender Bedeutung, teilweise weil er eine überaus wichtige metaphysische Unterscheidung nahelegte, nämlich zwischen der durch den Subjektterm herausgegriffenen Entität und der durch den Prädikatterm herausgegriffenen Entität. Es scheint keine Möglichkeit zu geben, ohne die Verwendung von Subjekt-Prädikat-Sätzen zu denken. Und dies scheint auf eine letztendliche Teilung der Realität in Substanzen und ihre Eigenschaften hinzudeuten. Substanzen sind partikulär, Eigenschaften sind universell; Substanzen existieren unproblematisch in Raum und Zeit (zumindest einige von ihnen); Eigenschaften haben nur eine problematische Existenz. (Plato sagte, dass sie nicht in Raum und Zeit, sondern ewig existieren.) Diese Teilung führte daher zu zwei metaphysischen Ideen: Substanz und Universalien.

Die Fregesche Revolution führte zur modernen Theorie der Satzstruktur. Nach dieser Theorie hat die Kopula ist nichts mit dem ist der Existenz zu tun. In der Tat müssen wir Subjekt-Prädikat-Sätze von existenziellen Sätzen unterscheiden, die eine ganz andere Logik haben. Für die Zwecke der Logik, zudem, sollten wir den Subjekt-Prädikat-Satz in zwei Teile teilen, nicht in drei: Hans und ist kahl. Der Satz prädiziert Kahlheit von Hans. Was den existenziellen Satz betrifft, so kann dieser überhaupt nicht in Subjekt-Prädikat-Form ausgedrückt werden. Wir brauchen die mathematische Idee einer Variablen, wenn wir ihn verständlich machen wollen. Der Satz Hans existiert sagt uns, dass es etwas gibt, das Hans ist – in anderen Worten, dass es ein x gibt, sodass x mit Hans identisch ist. Ebenso, wenn ich sage, dass ein rotes Ding existiert, meine ich, dass es etwas gibt, das rot ist – oder, es gibt ein x sodass x rot ist. Logiker würden diese zwei Sätze folgendermaßen schreiben: (∃x)(x = Hans), und (∃x)(R(x)). Die Bedeutung dieser Symbolik wird im weiteren Verlauf klar werden; aber sie ist für das Argument keineswegs notwendig. Der Subjekt-Prädikat-Satz würde als B(Hans) ausgedrückt – was darauf hindeutet, dass Kahlheit von Hans prädiziert wird.

Die Einführung der Variablen in die Logik machte es zum ersten Mal möglich, die Logik der Existenz zu verstehen. Existenz ist kein Prädikat, wie schon Kant argumentiert hatte. Es ist durch einen Quantor darzustellen, der uns sagt, wie viele Dinge das Prädikat besitzen: nämlich mindestens eines. Dieser Quantor bindet die Variable im Satz R(x); ansonsten ist die Variable frei. (Sätze mit freien Variablen werden offene Sätze genannt.) Wir können universelle Sätze auf ähnliche Weise verstehen, als solche, die eine durch einen Quantor gebundene Variable beinhalten. Hier besagt der Quantor, dass alles eine bestimmte Eigenschaft hat. Alles ist grün wird geschrieben: (∀x)(G(x)), oder alternativ (∀x)(G(x)) – für jedes x, grünes x. Und dann kommt das erste interessante Ergebnis, nämlich dass die zwei Quantoren mittels der Negation wechselseitig definiert werden können. Zu sagen, dass alles grün ist, heißt zu sagen, dass es nicht der Fall ist, dass etwas nicht grün ist – in Symbolen: ∼(∃x)(∼G(x)); und zu sagen, dass etwas grün ist, heißt zu sagen, dass es nicht der Fall ist, dass alles nicht grün ist – in Symbolen: ∼(∀x)(∼G(x)). Es ist daher nicht verwunderlich, dass Frege und Russell das Gefühl hatten, den Schlüssel zur Mathematik gefunden zu haben. Vielleicht könnten wir die Logik der Quantifizierung so weit entwickeln, bis alle Zahlen durch sie definiert wären.

2. Singuläre Terme und Identität

Die Idee eines Prädikats ist nicht allzu schwer zu verstehen: Ein Prädikat ist ein Term, der etwas von einem Objekt prädiziert; alternativ wendet es ein Konzept auf dieses Objekt an oder ordnet das Objekt einer bestimmten Art zu. Aber was ist mit dem Subjektterm eines Satzes? Was bewirkt dieser?

Hier schlug Frege eine neue Terminologie vor. Die Idee eines Subjektterms ist extrem irreführend. Denn derselbe Term kann als das auftreten, was früher das Objekt eines Satzes genannt wurde. Hans tritt Maria enthält einen Term – Maria – der sicherlich genau wie der Term Hans funktioniert, indem er ein Element in der Welt herausgreift. Aber er ist nicht Teil des Subjekts des Satzes. Für Frege sind Hans und Maria Namen, und Namen sind Sonderfälle dessen, was wir heute singuläre Terme nennen würden. Die Kategorie der singulären Terme umfasst auch das, was Russell Beschreibungen nannte, sei es unbestimmte wie ein Mann oder bestimmte wie die Königin von England und der Morgenstern. All diese Terme referieren, laut Frege, auf Objekte. Was sind Objekte? Dies ist eine Frage für die Metaphysik. Aber wir können zumindest zwei Dinge über sie sagen: erstens, dass sie die Träger von Eigenschaften sind (die von ihnen prädiziert werden), und zweitens, dass sie der Gegenstand von Identitätsaussagen sind. Sätze der Form a = b sind sinnvoll, solange a und b singuläre Terme (Namen) sind – das heißt, solange sie sich auf Objekte beziehen.

Was meinen wir dann mit Referenz? Die Antwort wird nicht so sehr von der Logik dargelegt, als vielmehr durch sie gezeigt. Referenz ist die Beziehung, die zwischen einem singulären Term und dem Objekt, das ihm entspricht, besteht – zwischen dem Namen Hans und Hans selbst. Wir alle haben eine intuitive Vorstellung von dieser Beziehung. Die Vorstellung wird präziser, meint Frege, wenn wir entdecken, dass die Referenz nicht auf singuläre Terme beschränkt ist, sondern eine Dimension der Bedeutung im Allgemeinen beschreibt. Alle Terme referieren; in der Tat ist der Zweck der Sprache, zu referieren, Dinge in der Welt herauszugreifen und wahre Aussagen über sie zu machen. Deshalb haben wir die Sprache überhaupt erst erfunden.

3. Sinn und Referenz

Aber Referenz (Bedeutung) ist nicht die gesamte Bedeutung. Betrachten Sie eine Identitätsaussage, a = b. Was diese wahr macht, ist die Tatsache, dass a und b sich auf dasselbe Objekt beziehen. Wenn die Bedeutung von a in dem Objekt bestünde, auf das es sich bezieht, dann wüsste jeder, der a verstand und b verstand, sofort die Wahrheit von a = b, genau wie wir alle die Wahrheit von a = a kennen. Frege gibt ein Beispiel. Niemand muss etwas über die Welt wissen, um die Wahrheit von Der Morgenstern ist identisch mit dem Morgenstern zu kennen: Dies ist selbstverständlich, und seine Wahrheit wird einfach durch die Bedeutungen der Wörter garantiert. Aber Sie könnten den Satz Der Morgenstern ist identisch mit dem Abendstern verstehen und nicht wissen, dass er wahr ist. Dies deutet darauf hin, dass er nicht dieselbe Bedeutung hat wie Der Morgenstern ist identisch mit dem Morgenstern. Auf der anderen Seite beziehen sich die Terme in den zwei Sätzen auf dieselben Dinge – nämlich den Planeten Venus und Identität. Daraus folgt, dass es mehr an Bedeutung geben muss als Referenz.

Dies ist eines der Argumente, die Frege für seine Unterscheidung zwischen Sinn und Referenz (Bedeutung) anführt. Wenn Sie ein Wort verstehen, erfassen Sie seinen Sinn, und Sie können dies tun, ohne zu wissen, dass es auf ein Objekt verweist, das auch ein anderes Wort herausgreift. Der Sinn ist das, was Sie verstehen, wenn Sie ein Wort verstehen. Aber wenn die Sprache ihre Referenzfunktion erfüllen soll, muss der Sinn die Referenz in gewisser Weise festlegen. Es muss der Fall sein, dass die Person, die das Wort versteht, sozusagen auf seine Referenz hingewiesen wird, so wie Sie beim Verstehen von der Morgenstern in Richtung Venus, den Abendstern, hingewiesen werden. Der Sinn eines Terms enthält die notwendigen Informationen, um seine Referenz zu bestimmen. Frege nennt den Sinn manchmal die Art der Präsentation der Referenz.

Der Sinn eines Wortes muss von den damit verbundenen Vorstellungen unterschieden werden. Zum Beispiel mag ich mit dem Wort Venus verschiedene Bilder (Botticellis Geburt der Venus), bestimmte Wörter (der Tempel der Venus in The Knight’s Tale), bestimmte Klänge (Venus aus Holsts Planeten) und bestimmte Ideen (Schönheit, klassische Perfektion, die Macht der Liebe) assoziieren: All dies sind für Frege bloße Vorstellungen; das heißt, subjektive Assoziationen, die mir eigen sind und die nicht Teil der geteilten, öffentlichen Bedeutung des Wortes sind – der Bedeutung, die Sie und ich verstehen und die uns dazu bringt, das Wort mit demselben Sinn zu verwenden. Um dies auf eine andere und eher Wittgensteinsche Weise auszudrücken, wird der Sinn eines Wortes durch die Regeln bestimmt, die seine öffentliche Verwendung regeln; die assoziierten Vorstellungen sind lokale Folgen dieser Regeln. Dies ist der Ursprung von Wittgensteins späterer Ansicht, dass Bedeutung im Wesentlichen öffentlich ist.

4. Prädikate und Sätze

Soviel zu singulären Termen. Was ist mit Prädikaten? Und was ist mit den vollständigen Sätzen, die aus ihnen gebildet werden? Vermutlich haben diese Sinn; und sie müssen auch Referenz haben, sonst wäre die Referenz singulärer Terme einfach wirkungslos, kein Teil der Sprache, in der diese Terme vorkommen.

Hier wird die Theorie schwierig. Frege glaubte, dass es nur im Kontext eines Satzes ist, dass ein Wort auf etwas referiert (bedeutet). In anderen Worten, Referenz tritt nur im vollständigen Satz auf und, indem wir seinen Teilen eine Referenz zuweisen (wie ich es bei singulären Termen getan habe), sprechen wir indirekt. In Wirklichkeit sollten wir die Referenz eines Wortes als einen Beitrag sehen, den dieses Wort zur Referenz eines Satzes leistet. Ebenso beim Sinn: Der Sinn eines Wortes ist sein Beitrag zum Sinn des Satzes, in dem es vorkommt. Wir können von dem Sinn und der Referenz eines Wortes sprechen, weil der Beitrag immer derselbe ist: Er ist systematisch. Sprache funktioniert, weil die Regeln zum Zusammensetzen von Wörtern zu Sätzen auch dazu dienen, den Sinn von Sätzen aus den Sinnen von Wörtern und die Referenz von Sätzen aus den Referenzen von Wörtern zusammenzusetzen.

Betrachten Sie einen Satz, Hans ist kahl. Worauf referiert dieser? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir erneut überlegen, was der Sinn von Sprache ist. Wir möchten, dass unser Satz der Realität entspricht, so wie Hans Hans entspricht. Ein erfolgreicher Satz ist einer, der die Welt so darstellt, wie sie ist, einer, der uns zur Realität führt. In anderen Worten, es ist ein wahrer Satz. Wahrheit ist das überaus wichtige Zeichen des Erfolgs. Frege argumentierte, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt, wie er sie nannte: das Wahre und das Falsche. Er schlug daher vor, dass ein Satz auf eines von zwei Dingen verweisen wird: Wahrheit (das Wahre) oder Falschheit (das Falsche). Auf den ersten Blick sieht das lächerlich aus – denn es scheint zu implizieren, dass all die unendlich vielen möglichen Sätze in einer Sprache nur eines von zwei Dingen sagen. Aber das ist nicht die richtige Schlussfolgerung. Was Frege meinte, ist, dass ein Satz zu seinem Wahrheitswert in Beziehung steht wie ein Name zu seinem Objekt. Und das kann man auf eine andere Weise beweisen. Denn angenommen, Hans ist identisch mit Herrn Schmidt. Daraus folgt, dass Hans und Herr Schmidt dieselbe Referenz haben. In welchem Fall man Herr Schmidt in jedem Satz für Hans ersetzen könnte und erwarten, dass die Referenz dieselbe bleibt. Nun, was bleibt dasselbe, wenn Herr Schmidt in Sätzen, die Hans enthalten, durch Herr Schmidt ersetzt wird? Die Antwort ist: der Wahrheitswert. Wenn es wahr ist, dass Hans kahl ist, dann ist es wahr, dass Herr Schmidt kahl ist. Wenn es falsch ist, dass Hans verheiratet ist, ist es falsch, dass Herr Schmidt verheiratet ist; und so weiter. Dies deutet darauf hin, dass der Wahrheitswert für den Satz das ist, was das Objekt für den Namen ist.

Es gibt jedoch Probleme für dieses Argument, und Frege erörtert sie. Manchmal kann man Terme mit derselben Referenz nicht ohne eine Änderung des Wahrheitswertes ersetzen. Nehmen Sie zum Beispiel den Satz Maria glaubt, dass Hans kahl ist. Dies könnte wahr sein, auch wenn es nicht wahr ist, dass Maria glaubt, dass Herr Schmidt kahl ist, da Maria nicht weiß, dass Hans Herr Schmidt ist. Frege argumentiert, dass man diese Sätze als Sonderfälle behandeln muss. Die meisten anderen Philosophen stimmen ihm zu. Der Konsens ist, dass wir die einfachen Fälle unterscheiden sollten, in denen Terme füreinander eingesetzt werden können, sofern sie dieselbe Referenz haben, von abweichenden, schrägen oder opaken Kontexten, in denen die Substitution unmöglich ist. Wir versuchen, zuerst die direkten Kontexte zu verstehen und die indirekten anhand dieser zu erklären.

So was nun mit Prädikaten? Zu was referieren sie? Intuitiv würde man sagen ein Konzept oder etwas Ähnliches. Ein Prädikat wendet ein Konzept auf ein Objekt an, und, wenn das Objekt unter das Konzept fällt, dann ist der resultierende Satz wahr. Bis zu einem gewissen Grad stimmt Frege dem zu. Aber, so schlägt er vor, es zeigt nicht wirklich, wie Sprache funktioniert. Es erklärt nicht die Art und Weise, wie die Referenz des Prädikats an die des singulären Terms anknüpft, um die Referenz des Satzes (den Wahrheitswert) zu erzeugen. Die Sache wird klarer, schlägt Frege vor, wenn wir eine andere mathematische Idee entlehnen – die einer Funktion. Eine Funktion ist eine Operation, die systematisch ein mathematisches Objekt in ein anderes umwandelt, für jedes Objekt der entsprechenden Art. Zum Beispiel gibt die Funktion $\sqrt{}$ (Quadratwurzel) für jede Zahl die Quadratwurzel dieser Zahl an. Es ist eine Funktion von einer Zahl zu ihrer Wurzel. Ebenso bestimmt ein Konzept eine Funktion, von einem Objekt zu einem Wahrheitswert. Fügen Sie ein Objekt in die Funktion ein, und es liefert eines von zwei Ergebnissen: wahr oder falsch. Dies ist nur eine technische Art, das zu sagen, was wir alle bereits wissen; aber es hat sich in der Philosophie der Sprache als sehr nützlich erwiesen. Wir werden in Kürze auf eine weitere Verwendung des Begriffs Funktion stoßen.

Wenn Prädikate und Sätze Referenz haben, haben sie dann einen Sinn? Tatsächlich tun sie das, sagt Frege, der den Sinn eines Satzes in genau derselben Weise analysiert. Der Sinn eines Satzes steht zu seiner Referenz (dem Wahrheitswert) wie der Sinn eines singulären Terms zu seiner Referenz (dem Objekt). Wie wir gesehen haben, ist der Sinn eines singulären Terms eine Operation, die wir beim Verstehen des Terms verstehen und die seine Referenz festlegt. Durch das Verstehen des Terms können wir wissen, worauf er sich bezieht. Ebenso für einen Satz. Einen Satz zu verstehen bedeutet, den durch ihn ausgedrückten Gedanken zu erfassen, der wiederum durch die Wahrheitsbedingungen des Satzes identifiziert wird. Wenn wir diese Wahrheitsbedingungen erfassen können, erwerben wir das, was wir brauchen, um den Satz zu verstehen. Die Wahrheitsbedingungen bestimmen die Referenz (den Wahrheitswert): Wenn sie erfüllt sind, ist der Satz wahr; wenn nicht, falsch.

Was den Sinn des Prädikats betrifft, so regelt sich dieser wiederum von selbst. Der Sinn eines Prädikats ist eine Funktion vom Sinn singulärer Terme zum Sinn von Subjekt-Prädikat-Sätzen. Um es auf eine andere und gebräuchlichere Weise auszudrücken: Der Sinn jedes Terms ist als sein Beitrag zu den Wahrheitsbedingungen jedes Satzes zu verstehen, dessen Teil er ist.

5. Das synoptische Bild

Hier, dann, in groben Zügen, ist Freges Theorie der Sprache, zusammen mit ein oder zwei philosophisch wichtigen Schlussfolgerungen, die sich daraus ableiten lassen.

(a) Sinn und Referenz. Es gibt zwei Dimensionen der Bedeutung. Jeder Term und jede sinnvolle Kombination von Termen hat sowohl einen Sinn als auch eine Referenz. Der Sinn bestimmt die Referenz; er ist auch das, was wir beim Verstehen des Terms verstehen. Durch das Verstehen eines Terms, erwerben wir eine Route zu seiner Referenz: Wir haben, was wir brauchen, um den Term mit der Welt in Beziehung zu setzen.

(b) Die Referenz eines singulären Terms ist ein Objekt, während die eines Satzes ein Wahrheitswert ist. Das Prädikat referiert auf ein Konzept, das so zu verstehen ist, dass es eine Funktion vom Objekt zum Wahrheitswert bestimmt.

(c) Der Sinn eines Satzes ist der durch ihn ausgedrückte Gedanke, der durch die Bedingungen für seine Wahrheit gegeben ist. Der Sinn jedes Terms in einer Sprache kann als ein (systematischer) Beitrag zu den Wahrheitsbedingungen der Sätze angesehen werden, die ihn enthalten.

(d) Die wahre Einheit der Bedeutung ist der Satz: der abgeschlossene Ausdruck eines Gedankens. Es ist nur im Kontext eines Satzes, dass die Bedeutung und Referenz eines Terms vollständig verwirklicht werden. (Dies wird manchmal als das Kontextprinzip bezeichnet.)

(e) Gleichzeitig werden Sätze aus den Termen aufgebaut, die sie zusammensetzen: Jeder Term macht einen systematischen Beitrag zu den Wahrheitsbedingungen. Dies bedeutet, dass wir, wenn wir die Regeln für die Verwendung einzelner Terme kennen, die Wahrheitsbedingungen aller unendlich vielen Sätze ableiten können, die aus ihnen aufgebaut werden können.

Der letzte Punkt ist äußerst wichtig, da er eine Beobachtung bestätigt, die sowohl in der Philosophie der Sprache als auch in der Linguistik häufig gemacht werden muss. Es scheint, dass unser Verständnis von Sprache kreativ ist. Wir verstehen Sätze, die wir noch nie zuvor gehört haben; und es scheint keine Grenze für die Anzahl der neuen Sätze zu geben, die wir bilden können. Dennoch sind wir endliche Kreaturen, mit nur endlichen Kapazitäten. Wie ist das also möglich? Es ist möglich, weil wir unbestimmt viele Sätze aus einem endlichen Vokabular aufbauen können, mittels wiederholter Anwendungen struktureller Prinzipien (der Regeln der Syntax); und weil der Sinn jedes so gebildeten Satzes durch die Sinne der Terme, aus denen er zusammengesetzt ist, durch einen anderen Satz von Regeln (semantische Regeln) bestimmt wird. Darüber hinaus erwerben wir, weil der Sinn die Referenz bestimmt, durch das Verstehen der Sinne und der semantischen Regeln, die sie kombinieren, ein Verfahren zur Zuweisung nicht nur von Objekten zu singulären Termen, sondern auch von Wahrheitswerten zu Sätzen. Unsere Sprache ist durch die Regeln, die sie regeln, mit der Welt verbunden.

Freges Argument ist eine beeindruckende Leistung. Ohne auf etwas anderes als die allgemeine Intuition zurückzugreifen, kann er eine umfassende Theorie der Sprache und unserer Art, sie zu verstehen, skizzieren, die auch metaphysisch bedeutungsvoll ist. Fast alle seine Schlussfolgerungen leiten sich aus der einfachen Beobachtung ab, dass die Sprache das primäre Ziel hat, das Wahre auszudrücken und mitzuteilen. Wir sehen sofort, dass die Beziehung zwischen Wörtern und der Welt in Bezug auf den Begriff der Wahrheit dargestellt werden muss und auch, dass es eine unzerbrechliche Verbindung zwischen Bedeutung und Wahrheitsbedingungen gibt. Allein diese zwei Ideen erklären einen Großteil der nachfolgenden Philosophie. Und bei der Ableitung seiner Darstellung der Tiefenstruktur macht Frege keine Annahme, zu der sein Gegner nicht auch gezwungen wäre, sobald er gelernt hätte, der Sprache ins Angesicht zu sehen.

6. Die Revolution in der Logik

Die Logik untersucht gültige Schlussfolgerungen und versucht, Regeln zur Unterscheidung des Gültigen vom Ungültigen anzugeben. Wenn die Schlussfolgerung von p auf q gültig ist, könnte man vermuten, liegt das daran, dass die Bedeutung von p die von q enthält: q ist in dem enthalten, was wir unter p verstehen.

Die Revolution in der Logik trat ein, als Philosophen erkannten, dass es auf die Referenz ankommt. Die Logik beschreibt nicht – wie kartesische Philosophen annahmen – die Beziehungen zwischen Ideen. Sie beschreibt die Beziehung zwischen Sprache und der Welt, in ihrem abstraktesten und systematischsten Umriss. Eine Schlussfolgerung ist gültig, just so lange, wie die Prämissen nicht wahr sein können, ohne dass die Schlussfolgerung wahr ist. Wir können daher die Gültigkeit von Argumenten in Bezug auf die Wahrheitsfunktionen verstehen, durch die Propositionen kombiniert werden.

Die Idee ist diese: Jeder Satz in einer Sprache kann eine von zwei Referenzen haben, wahr oder falsch. Die Sätze werden bewertet, indem ihnen einer dieser Wahrheitswerte zugewiesen wird. Bis zur Bewertung ist ein Satz einfach ein uninterpretierter Zeichen. Daher besteht der erste Schritt in der Logik darin, sich eine Sprache von primitiven Sätzen vorzustellen, die durch propositionale Zeichen p, q, r und so weiter dargestellt werden. Diese Zeichen werden als Variablen behandelt, die bewertet werden, indem jedem von ihnen einer der Werte W oder F zugewiesen wird. Wir können mit dieser Sprache noch nicht viel anfangen, da sie keine Struktur hat. So müssen wir Propositionen zu Komplexen kombinieren, indem wir propositionale Junktoren wie und und nicht einführen, die normalerweise durch die Symbole & und ∼ dargestellt werden. Wir verstehen diese Junktoren, indem wir ihnen einen Wert zuweisen. Offensichtlich sind sie an sich nicht wahr oder falsch. Sie würden jedoch unserer allgemeinen Vorstellung von Referenz entsprechen, wenn wir sie als Funktionen ansehen könnten, die neue Wahrheitswerte liefern, abhängig von den Werten, die den Propositionen zugewiesen werden, die sie verbinden. Betrachten Sie den Junktor & (und). Wir könnten diesem die folgende Funktion zuweisen: p & q hat den Wert wahr, wenn p den Wert wahr und q den Wert wahr hat. Andernfalls hat es den Wert falsch. Manchmal wird dies in einer Wahrheitstabelle wie folgt dargestellt:

p   q   p & q

W   W   W

W   F   F

F   W   F

F   F   F

Die mittlere Spalte stellt den Wert dar, der p & q zugewiesen werden muss, wenn p und q jeweils den Wert haben, der in den Spalten unter den Symbolen p und q angegeben ist.

Wir können ∼, die Negation, auch auf die gleiche Weise definieren: ∼p hat den Wert falsch, wenn p den Wert wahr hat, und wahr, wenn p den Wert falsch hat. Es gibt sechzehn mögliche Wahrheitsfunktionen von zwei propositionalen Variablen, von denen nicht alle interessant sind. Eine hat jedoch die Aufmerksamkeit von Logikern auf sich gezogen, da sie einen Teil unserer gewöhnlichen Vorstellung von Implikation erfasst, nämlich die Funktion, die durch die Tabelle gegeben ist:

p   q   p ⊃ q

W   W   W

W   F   F

F   W   W

F   F   W

⊃ wird materiale Implikation genannt. Und Sie können durch Inspektion sehen, dass Sie aus den Propositionen p und p ⊃ q auf q schließen können: Immer wenn die ersten zwei den Wert wahr haben, muss auch die dritte den Wert wahr haben. Das ist ein elementarer Beweis für die in der Logik als modus ponendo ponens oder modus ponens bekannte Schlussregel, die besagt, dass man aus p und p impliziert q auf q schließen kann.

Obwohl es sechzehn Wahrheitsfunktionen von zwei Propositionen gibt, brauchen wir nicht sechzehn Symbole, um sie einzuführen, da sie in Bezug aufeinander definiert werden können. p ⊃ q kann beispielsweise als ∼(p & ∼q) definiert werden. Man kann mit nur einem Junktor auskommen, obwohl das Ergebnis eher beunruhigend aussieht.

7. Formale Sprachen

Die moderne Logik, nachdem sie ihren Ausgangspunkt auf diese Weise definiert hat, schreitet durch die Untersuchung formaler Sprachen voran. Eine formale Sprache ist eine künstliche Sprache, die einige, aber nicht alle Merkmale einer natürlichen Sprache dupliziert, während sie die Anforderungen der Person, die sie erstellt, strikt befolgt. Die einfachsten formalen Sprachen sind so konzipiert, dass sie die Beziehungen zwischen elementaren Sätzen und ihren Kombinationen darstellen und gleichzeitig eine systematische Interpretation durch die Zuweisung von Wahrheitswerten ermöglichen. Eine solche Sprache wird enthalten:

(a) Ein Vokabular; sagen wir, eine Liste primitiver propositionaler Variablen p, q, r, s (die für Wahrheitswerte stehen, genau wie Sätze es laut Frege in einer natürlichen Sprache tun), und eine Liste von Konstanten – normalerweise Junktoren wie & (und), ~ (nicht), ⊃ (Wenn-dann).

(b) Syntaktische Regeln – Regeln, die definieren, was als eine wohlgeformte Formel (wff) bezeichnet wird; zum Beispiel: Wenn p eine wff ist, dann ist es auch ~p.

(c) Regeln der Interpretation, die den Konstanten Werte zuweisen, so dass man die komplexen Sätze auf der Basis der ihren Teilen zugewiesenen Werte interpretieren kann. Diese Werte sind Wahrheitsfunktionen.

Eine solche Sprache dupliziert einige der Merkmale natürlicher Sprache. Sie erlaubt die Konstruktion unendlich vieler Sätze aus endlich vielen Teilen; und die Referenz jedes bedeutungsvollen Satzes wird vollständig durch die Referenz seiner Teile bestimmt. Sie enthält jedoch nichts, was Freges Vorstellung vom Sinn entspricht. Wir brauchen diese Vorstellung auch nicht, um den Bereich der Logik zu erforschen. Die Ideen des Beweises und der logischen Wahrheit beispielsweise können bereits mithilfe unserer vereinfachten Sprache untersucht werden. Wir müssen nur Schlussregeln hinzufügen. Zum Beispiel:

(d) Schlussregeln: (i) Aus p und p ⊃ q folgere q. (Modus ponens.) (ii) Wenn p und q denselben Wahrheitswert haben, dann darf p in jeder Formel, in der q vorkommt, für q eingesetzt werden. (Substitutionsregel.)

Die Sprache ist nun zum Leben erwacht. Stellen Sie eine beliebige Proposition auf, und unendlich viele weitere werden durch das System erzeugt. Wenn wir unserer Sprache Axiome hinzufügen, können wir fortfahren, Theoreme abzuleiten und so unsere Sprache verwenden, um eine Theorie zu konstruieren. Unsere Wahl der Axiome wird durch den Zweck der Theorie bestimmt. In der Logik sind die interessantesten Axiome diejenigen, die logisch wahr sind: das heißt, die nicht falsch sein können, angesichts der den Konstanten zugewiesenen Interpretation. Eine logische Wahrheit ergibt sich als wahr, unabhängig vom Wert der in ihr enthaltenen Variablen. Zum Beispiel ist (p & (p ⊃ q))⊃ q eine logische Wahrheit. Unabhängig von den Werten von p und q wird sie als wahr herauskommen. Solche Formeln werden manchmal als wahrheitsfunktionale Tautologien bezeichnet. Wenn wir die richtige Wahl der Schlussregeln treffen (wie die zwei, die ich gegeben habe), werden wir eine Theorie haben, die aus logisch wahren Axiomen nur logische Wahrheiten generiert. Wir könnten sogar in der Lage sein, alle logischen Wahrheiten durch wiederholte Anwendung unserer Regeln zu generieren. (In diesem Fall wird die Theorie hinsichtlich der logischen Wahrheit vollständig sein.) Wie können wir wissen, dass eine Theorie vollständig ist? Hier haben wir eine saubere und interessante mathematische Frage, die von uns verlangt, eine Theorie über unsere Theorie zu konstruieren – eine Metatheorie, wie sie genannt würde. Ein Großteil der modernen Logik besteht in der Konstruktion von Metatheorien: Beweise über Beweise, die uns sagen, wohin wir mit diesem oder jenem Verfahren gelangen können.

Welche Bedeutung hat all dies für die natürliche Sprache? Offensichtlich ist unsere formale Sprache nicht sehr reichhaltig. Darüber hinaus modelliert sie nur einen kleinen Teil der Struktur der natürlichen Sprache – den Teil, der Junktoren, wie und, wenn und nicht betrifft. Wir brauchen eine weitaus reichhaltigere Sprache, wenn wir in die Struktur von Sätzen eindringen wollen, um die syntaktischen und semantischen Eigenschaften ihrer Teile zu untersuchen. Dies soll der Prädikatenkalkül leisten, indem er als seine primitiven Zeichen solche nimmt, die die Teile von Sätzen darstellen: Prädikatenzeichen F, G usw.; Zeichen für singuläre Terme a, b, c und Zeichen für Variablen x, y, z und für die Quantoren, die sie binden. Dank der Arbeit von Tarski wissen Logiker, wie man diese Art von Sprache nach Fregeschen Prinzipien konstruiert und ihren Sätzen auf der Basis der Werte ihrer Teile Werte zuweist. Die Theorie der Referenz wurde auf diese Weise schrittweise erweitert, durch die Entwicklung formaler Sprachen, die dem natürlichen Paradigma immer näher kommen. Und immer scheinen wir in der Lage zu sein, die logischen Merkmale einer solchen Sprache zu artikulieren, während wir nur die Referenz und niemals den Sinn ihrer Formeln berücksichtigen.

Welche Bedeutung hat all dies für die Philosophie? Inwiefern hat der neue Ansatz zur Logik die philosophische Agenda verändert? Im nächsten Kapitel antworte ich anhand eines Beispiels.