Die Antike Philosophie

Sokrates, Platon und Aristoteles

Frühe griechische Mathematik und Astronomie

In diesem Kapitel behandle ich die Mathematik nicht an sich, sondern in ihrem Zusammenhang mit der griechischen Philosophie – einer Verbindung, die besonders bei Platon sehr eng war. In der Mathematik und Astronomie zeigte sich die Überlegenheit der Griechen bestimmter als irgendwo sonst. Was sie in Kunst, Literatur und Philosophie leisteten, kann je nach Geschmack höher oder niedriger bewertet werden, aber was sie in der Geometrie erreichten, ist absolut unbestritten. Etwas erbten sie von Ägypten, viel weniger von Babylonien; was die Mathematik betrifft, so erhielten sie aus diesen Quellen hauptsächlich einfache Verfahren, und in der Astronomie Aufzeichnungen von Beobachtungen über einen sehr langen Zeitraum. Die Kunst des mathematischen Beweises ist fast gänzlich griechischen Ursprungs.

Es sind viele interessante Geschichten (wahrscheinlich erfunden) erhalten geblieben, durch welche praktischen Probleme die mathematische Forschung angeregt wurde. Die früheste und einfachste Geschichte ist mit Thales verbunden, den der König, als er in Ägypten war, bat, die Höhe einer Pyramide zu berechnen. Thales wartete eine Tageszeit ab, als sein Schatten genauso groß war wie seine eigene Körpergröße, dann maß er den Schatten der Pyramide, der natürlich ebenfalls ihrer Höhe entsprach. Es wird gesagt, dass die Gesetze der Perspektive zuerst von dem Geometer Agatharchos studiert wurden, um die Dekorationen für die Stücke des Aischylos zu malen. Die Aufgabe, die Entfernung eines Schiffes auf See zu bestimmen, die, wie man sagt, Thales studierte, wurde bereits in sehr ferner Vergangenheit richtig gelöst. Eine der wichtigen Aufgaben, die griechische Geometer beschäftigte, war die Verdoppelung des Würfelvolumens. Sie entstand, wie man sagt, bei den Priestern eines Tempels, denen ein Orakel verkündete, dass der Gott seine Statue doppelt so groß haben wolle wie die, die sie besaßen. Zuerst beschlossen sie, einfach alle Abmessungen der Statue zu verdoppeln, aber dann erkannten sie, dass die neue Statue achtmal größer als das Original sein würde, was größere Kosten verursachen würde, als der Gott verlangte. Daraufhin sandten sie eine Delegation zu Platon mit der Bitte, ob jemand von der Akademie ihr Problem lösen könne. Die Geometer nahmen sich dessen an und arbeiteten jahrhundertelang daran, wobei sie nebenbei viele ausgezeichnete Werke hervorbrachten. Diese Aufgabe läuft natürlich auf das Ziehen der Kubikwurzel aus 2 hinaus.

Die Quadratwurzel aus 2 – die erste der entdeckten irrationalen Zahlen – war den frühen Pythagoreern bekannt, und es wurden raffinierte Methoden zur Annäherung an ihren Wert erfunden. Die besten waren die folgenden: Man bildet zwei Spalten von Zahlen, die wir $a$ und $b$ nennen werden; jede Spalte beginnt mit eins. Jedes folgende $a$ in jedem Schritt wird gebildet, indem das bereits erhaltene letzte $a$ und $b$ addiert werden. Das folgende $b$ wird gebildet, indem das doppelte des vorherigen $a$ zum vorherigen $b$ addiert wird. So erhält man die ersten 6 Paare (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), (29, 41), (70, 99). Für jedes Paar ist der Ausdruck $2a^2 - b^2$ gleich 1 oder $-1$. Somit ist $b/a$ nahezu die Quadratwurzel aus 2 und nähert sich mit jedem neuen Schritt der Wurzel aus 2. Der Leser mag sich zum Beispiel damit zufriedengeben, dass $(99/70)^2$ fast gleich 2 ist.

Pythagoras, dessen Persönlichkeit immer ziemlich nebulös blieb, wurde von Proklos als der Erste genannt, der die Geometrie zu einem Teil der allgemeinen Bildung machte. Viele Autoritäten, darunter Thomas Heath, glauben, dass Pythagoras die nach ihm benannte Theorem vielleicht tatsächlich entdeckt hat; dieser zufolge ist in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten. Jedenfalls war dieses Theorem den Pythagoreern sehr lange bekannt. Sie wussten auch, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks zwei rechte Winkel beträgt.

Irrationale Zahlen, außer der Quadratwurzel aus 2, wurden in einzelnen Fällen von Theodoros, einem Zeitgenossen des Sokrates, und allgemeiner von Theaitetos studiert, der etwa zur Zeit Platons oder vielleicht etwas früher lebte. Demokrit schrieb eine Abhandlung über irrationale Zahlen, aber über den Inhalt dieser Abhandlung ist sehr wenig bekannt. Platon interessierte sich zutiefst für dieses Problem; er erwähnt die Arbeiten von Theodoros und Theaitetos in dem nach Letzterem benannten Dialog. In den „Gesetzen“ (819–820) sagt er, dass die allgemeine Unwissenheit in diesem Bereich schändlich sei, und deutet an, dass er selbst dies in einem ziemlich späten Alter erfahren habe. Die Entdeckung irrationaler Zahlen war zweifellos von großer Bedeutung für die pythagoreische Philosophie.

Eine der wichtigsten Folgen der Entdeckung irrationaler Zahlen war die Schaffung der geometrischen Theorie des Verhältnisses (Proportion) durch Eudoxos (408–355 v. Chr.). Vor ihm gab es nur eine arithmetische Theorie des Verhältnisses. Nach dieser Theorie ist das Verhältnis von $a$ zu $b$ gleich dem Verhältnis von $c$ zu $d$, wenn $a$, $d$-mal genommen, gleich $b$, $c$-mal genommen, ist. Diese Definition kann, mangels einer arithmetischen Theorie irrationaler Zahlen, nur auf rationale Zahlen angewendet werden. Eudoxos gab jedoch eine neue Definition, die dieser Einschränkung nicht unterliegt – in einer Form, die sich den Methoden der modernen mathematischen Analyse annähert. Diese Theorie wird von Euklid weiterentwickelt und zeichnet sich durch große logische Eleganz aus.

Eudoxos erfand oder verbesserte auch die „Methode der Ausschöpfung“, die dann von Archimedes mit großem Erfolg angewendet wurde. Diese Methode ist eine Antizipation der Integralrechnung. Nehmen wir zum Beispiel die Frage nach dem Flächeninhalt eines Kreises. Man kann in einen Kreis ein regelmäßiges Sechseck oder ein regelmäßiges Zwölfeck oder ein regelmäßiges Polygon mit tausend oder einer Million Seiten einschreiben. Der Flächeninhalt eines solchen Polygons ist, egal wie viele Seiten es hat, proportional zum Quadrat des Kreisdurchmessers. Je mehr Seiten das Polygon hat, desto mehr nähert es sich dem Kreis an. Man kann beweisen, dass, wenn das Polygon eine ausreichend große Anzahl von Seiten hat, die Differenz zwischen seinem Flächeninhalt und dem Flächeninhalt des Kreises kleiner ist als jeder im Voraus festgelegte Wert, so klein er auch sein mag. Zu diesem Zweck wird das Axiom des Archimedes verwendet. Es besagt (wenn es etwas vereinfacht wird), dass wenn die größere von zwei Größen halbiert wird und dann die Hälfte wieder halbiert wird und so weiter, nach einer endlichen Anzahl von Schritten eine Größe erreicht wird, die kleiner ist als die kleinere der beiden ursprünglichen Größen. Mit anderen Worten, wenn $a$ größer als $b$ ist, dann gibt es eine ganze Zahl $n$, so dass $2^n \cdot b$ größer ist als $a$.

Die Methode der Ausschöpfung führt manchmal zu einem genauen Ergebnis, zum Beispiel bei der Lösung des Problems der Quadratur der Parabel, das von Archimedes gelöst wurde; manchmal kann sie, wie beim Versuch, die Quadratur des Kreises zu berechnen, nur zu sukzessiven Annäherungen führen. Das Problem der Quadratur des Kreises ist das Problem der Bestimmung des Verhältnisses des Umfangs zum Durchmesser des Kreises, genannt „$\pi$“. Archimedes verwendete in seinen Berechnungen die Annäherung 22/7; durch das Ein- und Umschreiben eines regelmäßigen Polygons mit 96 Seiten bewies er, dass „$\pi$“ kleiner als $3 \frac{1}{7}$ und größer als $3 \frac{10}{71}$ ist. Mit dieser Methode kann jede erforderliche Annäherung erreicht werden, und das ist alles, was irgendeine Methode zur Lösung dieses Problems tun kann. Die Verwendung von ein- und umgeschriebenen Polygonen zur Annäherung an „$\pi$“ geht auf Antiphon, einen Zeitgenossen des Sokrates, zurück.

Euklid, dessen Werke in meiner Jugend immer noch das einzige anerkannte Lehrbuch der Geometrie für Schüler waren, lebte in Alexandria um 300 v. Chr., einige Zeit nach dem Tod von Alexander dem Großen und Aristoteles. Der größte Teil seiner „Elemente“ war kein Originalwerk, aber die Reihenfolge der Abfolge der Theoreme und die logische Struktur waren größtenteils seine eigenen. Je mehr man die Geometrie studiert, desto bewundernswerter erscheinen sie. Die Interpretation der Parallelen durch das berühmte Parallelenpostulat hat den doppelten Vorteil: Die Deduktion ist hier streng und gleichzeitig ist die Zweifelhaftigkeit der Ausgangsannahme nicht verborgen. Die Theorie des Verhältnisses (der Dreisatz), die Eudoxos folgt, umgeht alle Schwierigkeiten im Zusammenhang mit irrationalen Zahlen durch Methoden, die im Wesentlichen denen ähneln, die von Weierstrass im XIX. Jahrhundert in die mathematische Analyse eingeführt wurden. Danach geht Euklid zu einer Art geometrischer Algebra über und behandelt im Buch X irrationale Zahlen. Danach geht er zur Betrachtung der räumlichen Geometrie über und schließt mit der Konstruktion der regelmäßigen Polyeder ab, die von Theaitetos perfektioniert und in Platons „Timaios“ übernommen wurde.

Euklids „Elemente“ sind zweifellos eines der größten Bücher, die jemals geschrieben wurden, und eines der vollkommensten Denkmäler des altgriechischen Intellekts. Natürlich trägt dieses Buch auch Züge der typisch griechischen Begrenzung: Die Methode darin ist rein deduktiv und enthält keine Möglichkeit zur Überprüfung der Ausgangsannahmen. Diese Annahmen galten als unbestreitbar, aber im XIX. Jahrhundert zeigte die nicht-euklidische Geometrie, dass sie teilweise fehlerhaft sein konnten und dass nur die Beobachtung entscheiden kann, ob sie es sind.

Euklid verachtete den praktischen Nutzen, den Platon einführte. Es wird erzählt, dass ein Schüler, nachdem er die Beweise gehört hatte, fragte, was er vom Studium der Geometrie gewinnen würde; da rief Euklid einen Sklaven und sagte: „Gib dem jungen Mann einen Groschen, da er unbedingt einen Vorteil aus dem ziehen muss, was er studiert.“ Die Verachtung der Praxis war jedoch pragmatisch gerechtfertigt. Niemand nahm zu Zeiten der Griechen an, dass das Studium der Kegelschnitte irgendeinen Nutzen bringen würde: aber schließlich entdeckte Galilei im XVII. Jahrhundert, dass Geschosse sich entlang einer Parabel bewegen, und Kepler, dass Planeten sich entlang von Ellipsen bewegen. Plötzlich wurde die Arbeit, die die Griechen aus reiner Liebe zur Theorie geleistet hatten, zum Schlüssel zur Kriegsführung und zur Entwicklung der Astronomie.

Die Römer waren zu praktisch veranlagt, um Euklid richtig einzuschätzen; der erste von ihnen, der ihn erwähnte, war Cicero, zu dessen Zeiten es möglicherweise keine lateinische Übersetzung von Euklids Werken gab; und tatsächlich gibt es keinen schriftlichen Beweis für die Existenz einer lateinischen Übersetzung vor Boëthius (480–524 n. Chr.). Die Araber schätzten ihn besser: Ein Exemplar von Euklids Werken wurde dem Kalifen um 760 n. Chr. vom byzantinischen Kaiser geschenkt, und unter Harun al-Raschid, um 800 n. Chr., wurde eine Übersetzung ins Arabische angefertigt. Die erste bis heute erhaltene lateinische Übersetzung aus dem Arabischen wurde von Adelard von Bath im Jahr 1120 n. Chr. angefertigt. Von dieser Zeit an wurde das Studium der Geometrie im Westen allmählich wiederbelebt; aber erst in der späten Renaissance wurden wichtige Fortschritte in dieser Sache erzielt.

Nun komme ich zur Astronomie, in der die Leistungen der Griechen ebenso bemerkenswert waren wie in der Geometrie. Schon vor ihnen legten die Babylonier und Ägypter die Grundlagen der Astronomie durch viele Jahrhunderte von Beobachtungen. Die scheinbare Bewegung der Planeten wurde aufgezeichnet, aber es war nicht bekannt, dass der Morgen- und der Abendstern ein und dasselbe sind. In Babylonien wurde definitiv und möglicherweise auch in Ägypten die Periode der Finsternisse entdeckt, was die Vorhersage von Mondfinsternissen (aber nicht von Sonnenfinsternissen, da sie nicht immer an einem bestimmten Ort sichtbar waren) ziemlich zuverlässig machte. Den Babyloniern verdanken wir die Teilung des rechten Winkels in neunzig Grad und des Grades in sechzig Minuten; sie mochten die Zahl sechzig und gründeten sogar ein Zahlensystem darauf. Die Griechen schrieben die Weisheit ihrer ersten Forscher Reisen nach Ägypten zu, aber in Wirklichkeit wurde vor den Griechen sehr wenig erreicht. Die Vorhersage einer Sonnenfinsternis durch Thales ist jedoch ein Beispiel für ausländischen Einfluss; es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass er irgendetwas zu dem hinzufügte, was er aus ägyptischen und babylonischen Quellen gelernt hatte, und es war reines Glück, dass seine Vorhersage eintraf.

Beginnen wir mit einigen der frühesten Entdeckungen und korrekten Hypothesen. Anaximander dachte, dass die Erde frei schwebt und von nichts gestützt wird. Aristoteles, der oft die besten Hypothesen seiner Zeit ablehnte, wandte sich gegen Anaximanders Theorie, wonach die Erde, da sie im Zentrum liegt, unbeweglich bleibt, weil sie keinen Grund hat, sich in diese und nicht in eine andere Richtung zu bewegen (295b). Wenn dies richtig wäre, sagte er, würde ein Mensch, der in die Mitte eines Kreises gestellt wird, an dessen Umfang sich an verschiedenen Punkten Nahrung befindet, aus Mangel an Grund, sich für diese und nicht für jene Nahrung zu entscheiden, verhungern. Dieses Argument taucht in der scholastischen Philosophie wieder auf, aber nicht im Zusammenhang mit der Astronomie, sondern mit der Frage des freien Willens. Es erscheint in Form der Geschichte vom „Buridans Esel“, der sich nicht für einen von zwei Heuhaufen entscheiden konnte, die in gleichem Abstand links und rechts von ihm platziert waren, und deshalb verhungerte.

Höchstwahrscheinlich war Pythagoras der Erste, der dachte, dass die Erde kugelförmig ist, aber seine Argumente waren wohl eher ästhetischer als wissenschaftlicher Natur. Bald wurden jedoch auch wissenschaftliche Argumente gefunden. Anaxagoras entdeckte, dass der Mond mit reflektiertem Licht leuchtet, und lieferte eine korrekte Theorie der Finsternisse. Er selbst dachte noch, dass die Erde flach sei, aber die Form des Schattens der Erde bei Mondfinsternissen lieferte den Pythagoreern die endgültigen Argumente dafür, dass die Erde kugelförmig ist. Sie gingen weiter und betrachteten die Erde als einen der Planeten. Sie wussten (man sagt, aus dem Mund des Pythagoras selbst), dass der Morgenstern und der Abendstern ein und dasselbe sind, und glaubten, dass alle Planeten, einschließlich der Erde, sich in einem Kreis bewegen, jedoch nicht um die Sonne, sondern um ein „zentrales Feuer“. Sie entdeckten, dass der Mond der Erde immer dieselbe Seite zuwendet, und glaubten, dass die Erde dem „zentralen Feuer“ immer eine Seite zuwendet. Die Mittelmeerregionen liegen ständig auf der vom „zentralen Feuer“ abgewandten Seite, und es ist für sie daher immer unsichtbar. Das „zentrale Feuer“ wurde „Haus des Zeus“ oder „Mutter der Götter“ genannt. Es wurde angenommen, dass die Sonne mit vom „zentralen Feuer“ reflektiertem Licht scheint. Neben der Erde gab es einen anderen Körper, die Gegenerde, der sich in der gleichen Entfernung vom „zentralen Feuer“ befand. Dafür hatten sie zwei Gründe: einen wissenschaftlichen und einen, der aus ihrem arithmetischen Mystizismus resultierte. Der wissenschaftliche Grund war die korrekte Beobachtung, dass eine Mondfinsternis manchmal auftritt, wenn sowohl die Sonne als auch der Mond zusammen über dem Horizont stehen. Die Lichtbrechung (Refraktion), die die Ursache dieses Phänomens ist, war ihnen unbekannt, und sie dachten, dass in solchen Fällen die Finsternis durch den Schatten eines anderen Körpers als der Erde verursacht werden müsse. Der zweite Grund war, dass Sonne und Mond, die fünf Planeten, die Erde, die Gegenerde und das „zentrale Feuer“ zehn Himmelskörper bildeten, und zehn war eine mystische Zahl bei den Pythagoreern.

Diese pythagoreische Theorie wird Philolaos, einem Thebaner, zugeschrieben, der Ende des V. Jahrhunderts v. Chr. lebte. Obwohl sie unrealistisch und in gewisser Hinsicht völlig unwissenschaftlich ist, ist sie sehr wichtig, da sie einen Großteil der Vorstellungskraft beinhaltet, die erforderlich war, um die Hypothese des Kopernikus entstehen zu lassen. Die Erde nicht als Zentrum des Universums zu betrachten, sondern als einen der Planeten, nicht als auf ewig an einen Ort gebunden, sondern als im Raum wandernd – dies zeugt von einer außergewöhnlichen Befreiung vom anthropozentrischen Denken. Als der intuitiv entstandene Vorstellungsrahmen des Menschen über das Universum erschüttert wurde, war es nicht mehr so schwierig, mit wissenschaftlichen Argumenten zu einer genaueren Theorie zu gelangen.

Verschiedene Beobachtungen trugen dazu bei. Oinopides, der etwas später als Anaxagoras lebte, entdeckte die Neigung der Ekliptik. Bald stellte sich heraus, dass die Sonne viel größer als die Erde sein musste; diese Tatsache unterstützte die Ansicht derjenigen, die bestritten, dass die Erde das Zentrum des Universums ist. Die Theorien des „zentralen Feuers“ und der Gegenerde wurden von den Pythagoreern bald nach Platon aufgegeben. Herakleides Pontikos (lebte ungefähr von 388 bis 315 v. Chr., ein Zeitgenosse des Aristoteles) entdeckte, dass Venus und Merkur um die Sonne kreisen, und vertrat die Ansicht, dass die Erde alle vierundzwanzig Stunden eine vollständige Umdrehung um ihre eigene Achse macht. Diese Entdeckung war ein sehr wichtiger Fortschritt, den keiner seiner Vorgänger gemacht hatte. Herakleides war ein Anhänger der Schule Platons und muss ein großer Mann gewesen sein, aber er genoss nicht den Respekt, den man hätte erwarten sollen; er wird als dicker Geck beschrieben.

Aristarchos von Samos, der ungefähr von 310 bis 230 v. Chr. lebte und somit etwa fünfundzwanzig Jahre älter als Archimedes war, ist der interessanteste aller alten Astronomen, weil er die Hypothese aufstellte (die vollständig mit der Hypothese des Kopernikus übereinstimmt), dass alle Planeten, einschließlich der Erde, sich in Kreisen um die Sonne drehen und die Erde innerhalb von vierundzwanzig Stunden eine Umdrehung um ihre Achse vollzieht. Es ist leicht enttäuschend, dass das einzige erhaltene Werk von Aristarchos „Über die Entfernungen von Sonne und Mond“ von einem geozentrischen Standpunkt ausgeht. Es stimmt, dass für die Probleme, die in diesem Buch behandelt werden, völlig irrelevant ist, welche Theorie darin angenommen wird, und daher dachte er vielleicht, dass es unklug sei, in seinen Berechnungen in unnötigen Widerspruch zur allgemeinen Meinung der Astronomen zu treten; oder vielleicht gelangte er zu der mit Kopernikus vergleichbaren Hypothese erst, nachdem er dieses Buch geschrieben hatte. Thomas Heath neigt in seiner Arbeit über Aristarchos, die den Text dieses Buches mit Übersetzung enthält, zu letzterer Annahme. Jedenfalls ist der Beweis dafür, dass Aristarchos einen mit Kopernikus vergleichbaren Standpunkt vertrat, ziemlich überzeugend.

Das früheste und beste Zeugnis ist das von Archimedes, der, wie wir gesehen haben, ein jüngerer Zeitgenosse von Aristarchos war. In einem Brief an König Gelon von Syrakus berichtete er, dass Aristarchos „ein Buch, das aus einigen Hypothesen besteht“, veröffentlichte, und weiter: „Seine Hypothesen sind, dass die Sterne unbeweglich sind und die Sonne unbeweglich bleibt, dass die Erde sich um die Sonne in einem Kreis dreht, wobei die Sonne im Zentrum der Bahn liegt.“ Kleanthes, so heißt es an einer Stelle bei Plutarch, „dachte, dass es die Pflicht der Griechen sei, Aristarchos von Samos der Gottlosigkeit anzuklagen, weil er den Herd des Universums (d. h. die Erde) in Bewegung setzte, und zwar war dies das Ergebnis seines Versuchs, 'die Phänomene zu retten', indem er annahm, dass der Himmel in Ruhe bleibt und die Erde sich in einem schrägen Kreis bewegt und sich gleichzeitig um ihre eigene Achse dreht.“ Kleanthes war ein Zeitgenosse von Aristarchos und starb um 232 v. Chr. In einem anderen Abschnitt bei Plutarch wird gesagt, dass Aristarchos diese Ansicht nur als Hypothese aufstellte, aber dass sein Anhänger Seleukos sie als bestimmten Standpunkt unterstützte (Seleukos' Blütezeit um 150 v. Chr.). Aëtius und Sextus Empiricus behaupten ebenfalls, dass Aristarchos die heliozentrische Hypothese aufstellte, sagen jedoch nicht, dass es bei ihm nur eine Hypothese war. Aber selbst wenn er dies tat, scheint es sehr wahrscheinlich, dass er, wie Galilei zweitausend Jahre später, der Angst nachgab, religiöse Vorurteile zu beleidigen (eine Angst, die, wie die Haltung des oben erwähnten Kleanthes zeigt, durchaus begründet war).

Die mit der Hypothese des Kopernikus vergleichbare Hypothese, nachdem sie von Aristarchos aufgestellt worden war – sei es in positiver Form oder als Versuch –, wurde schließlich von Seleukos, aber von keinem anderen alten Astronomen, angenommen. Diese allgemeine Ablehnung war hauptsächlich Hipparchos zu verdanken, der von 161 bis 126 v. Chr. lebte. Er wird von Heath als „der größte Astronom der Antike“ charakterisiert. Er war der erste, der sich systematisch mit Fragen der Trigonometrie befasste, entdeckte die Präzession der Äquinoktien, berechnete die Länge des lunaren Monats mit einem Fehler von weniger als einer Sekunde, verbesserte die von Aristarchos durchgeführten Berechnungen der Größe und Entfernung von Mond und Sonne, erstellte einen Katalog von achthundertfünfzig Fixsternen und gab die Breite und Länge ihrer Position an. Wie zum Trotz gegen die heliozentrische Hypothese des Aristarchos nahm er die von Apollonius (dessen Tätigkeit auf 220 v. Chr. datiert wird) geschaffene Theorie der Epizykel an und verbesserte sie. Gerade diese Theorie ist in ihrer Entwicklung später als das ptolemäische System bekannt (nach dem Astronomen Ptolemäus, der Mitte des II. Jahrhunderts n. Chr. lebte).

Kopernikus erfuhr etwas, wenn auch nicht viel, von der fast vergessenen Hypothese des Aristarchos und war erfreut, eine alte Autorität zur Unterstützung seiner Neuerung zu finden. Im Übrigen war die Auswirkung dieser Hypothese auf die spätere Entwicklung der Astronomie praktisch null.

Die alten Astronomen verwendeten bei der Berechnung der Größe von Erde, Mond und Sonne sowie der Entfernungen von Mond und Sonne theoretisch korrekte Methoden, aber es fehlte ihnen an präzisen Messinstrumenten. Viele der von ihnen erzielten Ergebnisse waren – angesichts dieses Mangels – außergewöhnlich genau. Eratosthenes bestimmte den Durchmesser der Erde auf 7850 Meilen, d. h. mit einem Fehler von nur etwa 50 Meilen. Ptolemäus berechnete, dass die mittlere Entfernung zum Mond das 29,5-fache des Erddurchmessers beträgt (die korrekte Zahl liegt bei etwa 30,2). Keiner von ihnen konnte der genauen Berechnung der Größe und Entfernung der Sonne nahekommen; alle unterschätzten diese Entfernung. Nach ihren Berechnungen betrug sie:

nach Aristarchos – 180,

nach Hipparchos – 1245,

nach Poseidonios – 6545 Erddurchmesser.

Die korrekte Zahl beträgt $11726$ Erddurchmesser. Später wurden diese Berechnungen ständig korrigiert (bei Ptolemäus nimmt der Fehler in den Berechnungen jedoch zu; bei Poseidonios beträgt diese Entfernung etwa die Hälfte der korrekten Zahl. Im Allgemeinen waren die Vorstellungen dieser Astronomen vom Sonnensystem gar nicht so weit von der Wahrheit entfernt.

Die griechische Astronomie war geometrisch, nicht dynamisch. Die Alten stellten die Bewegung der Himmelskörper als gleichmäßig und kreisförmig oder als aus kreisförmigen Bewegungen bestehend dar. Sie hatten keine Vorstellung von Kraft. Es gab Sphären, die sich als Ganzes bewegten und auf denen sich verschiedene unbewegliche Himmelskörper befanden. Mit dem Aufkommen von Newton und seinem Gravitationsgesetz wurde ein neuer, weniger geometrischer Standpunkt eingeführt. Es ist kurios, die Rückkehr zum geometrischen Standpunkt in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zu bemerken, aus der das Konzept der Kraft im Newtonschen Sinne verbannt ist.

Das Problem für den Astronomen ist folgendes: Anhand der Daten der scheinbaren Bewegungen der Himmelskörper durch Hypothese eine dritte Koordinate – die Tiefe – so einzuführen, dass die Beschreibung des Phänomens so einfach wie möglich wird. Das Wichtigste an der Hypothese des Kopernikus ist nicht die Wahrheit, sondern die Einfachheit; im Zusammenhang mit der Relativität der Bewegung stellt sich die Frage der Wahrheit überhaupt nicht. Die Griechen versuchten in ihrer Suche nach Hypothesen, die „die Phänomene retten“ würden, tatsächlich, wenn auch nicht ganz beabsichtigt, dieses Problem auf dem richtigen wissenschaftlichen Weg zu bewältigen. Ein Vergleich ihrer Leistungen mit denen ihrer Vorgänger und Nachfolger bis zum Aufkommen des Kopernikus sollte alle Forscher von ihrem wahrhaft erstaunlichen Genie überzeugen.

Zwei große Männer – Archimedes und Apollonius – im III. Jahrhundert v. Chr. schließen die Liste der erstklassigen griechischen Mathematiker ab. Archimedes war ein Freund, vielleicht sogar ein Cousin des Königs von Syrakus und wurde getötet, als die Römer die Stadt im Jahr 212 v. Chr. einnahmen. Apollonius lebte von Jugend an in Alexandria. Archimedes war nicht nur Mathematiker, sondern auch Physiker und studierte Hydrostatik. Apollonius ist hauptsächlich für seine Arbeiten über Kegelschnitte bekannt. Damit beschränke ich mich bei ihrer Behandlung, da sie in einer zu späten Epoche lebten, um Einfluss auf die Philosophie auszuüben.

Nach diesen beiden Männern, obwohl in Alexandria noch bedeutende Arbeit geleistet wurde, war das große Zeitalter beendet. Unter römischer Herrschaft verloren die Griechen die Selbstsicherheit, die der politischen Freiheit innewohnt, und gewannen, nachdem sie diese verloren hatten, einen „lähmenden“ Respekt vor ihren Vorgängern. Der römische Soldat, der Archimedes tötete, war das Symbol für den Untergang des originellen Denkens, den die römische Herrschaft über die gesamte hellenistische Welt brachte.